Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности

• Название: Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности
• Анкор: otvety_na_ekzamen_2012_g.docx
• Дата: 04.02.2017
• Размер: 12.42 Mb.
• Имя файла: otvety_na_ekzamen_2012_g.docx
• Тип: Документы; #2163

1. 
   Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности.
   

Теорема (о единственности предела). Последовательность может иметь не более одного предела.

Доказательство. Пусть последовательность {x_n} имеет два предела:



и причем а ≠bТогда для



найдется номер N₁такой, что при всехвыполняется неравенство |а— x_n| <ε. Найдется также номер N₂ такой, что при всех n ≥ N₂ выполняется неравенство |b — x_n| <ε.
Пусть Тогда |а — b| = |а — x_n + x_n — b| ≤ |а — x_n| + |x_n — b| < ε+ε=2ε=



Пришли к противоречию. Теорема доказана

2. 
   Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся последовательности.
   

Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности). Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть {x_n} сходится, и пусть . Тогда для
положительного числа 1 существует номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство | а- x_n |<l. Отсюда |x_n | -| а| ≤ |а - x_n| <1, т.е. |x_n| < |а| + 1. Следовательно, |x_n| ≤ max(|x₁|,..., |x_N|, |а| + 1), n =1, 2,..., и последовательность {xn} ограничена. Теорема доказана.

3. 
   Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.
   

Теорема (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Для функции f(x), имеющей (конечный) предел при x → x₀ существует проколотая окрестность этой точки, на которой данная функция ограничена.
Доказательство. Пусть

Тогда для положительного числа 1 найдетсяδ > 0 такое, что при 0 < |x — x0| <δ выполняется неравенство |f (x) — a| < 1. Отсюда

|f(x)| = |f(x) — a + a| ≤|f(x) — a| + |a| < 1 + |a|, т.е. |f(x)| < 1 + |a|,

и мы видим, что f (x) ограничена в проколотой δ-окрестности (x₀ — δ, x₀) U (x₀, x₀ + δ) точки x₀. Теорема доказана.

4. 
   Сформулируйте и докажите теорему о сохранении функцией знака своего предела.
   

Теорема (о сохранении функцией знака своего предела). Пусть предел

положителен. Тогда функция f (x) положительна в некоторой проколотой окрестности точки x0.

Доказательство. Пусть lim f (x) = a, a > 0. Тогда для положительного числа —а/2, найдется δ > 0 такое, что при 0 < |x — x₀| < δ выполняется неравенство

|f (x)-a|<a/2

Это неравенство равносильно такому:

следовательно, f (x) > a/2,т.е. данная функция положительна при x принадлежащем промежутку (x₀ — δ, x₀) U (x₀, x₀ + δ). Теорема доказана.

5. 
   Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенстве.
   

Теорема (о предельном переходе в неравенстве). Пусть функции f (x) и g(x) определены в проколотой окрестности (x₀) точки x₀, причем для любого x (x₀) выполняется неравенство f (x)≥g(x). Тогда, если эти функции имеют пределы и то a ≥ b.

Доказательство. Пусть вопреки утверждению теоремы a < b, и пусть . Тогда существует δ₁ > 0 такое, что при 0 < |x — x0| < δ₁ имеет место неравенство |f (x) — a| < ε, т.е. a — ε< f (x) < a + ε. Аналогично существует δ₂ > 0 такое, что при 0 < |x — x₀| < δ₂ выполняется неравенство |g(x) — b| < ε, т.е. b—ε< g(x) < b+ε.

Если δ = min(δ₁, δ₂), и 0 < |x — x₀| <δ, то, т.е. f (x) < g(x) для указанных значений x — противоречие. Теорема доказана.
Замечание. Если в условии теоремы неравенство f (x) ≥g(x) заменить на строгое, т.е. если f (x) > g(x), то отсюда, вообще говоря, не следует, что a > b. Например, при |x| < 1, x = 0, имеем |x| > x². В то же время

6. 
   Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции.
   

7. 
   Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения функций.
   
8. 
   Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции.
   

9. 
   Докажите, что
   

10. 
    Сформулируйте и докажите теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой.
    

11. 
    Сформулируйте и докажите теорему о произведении бесконечно малой функции на ограниченную.
    

12. 
    Сформулируйте и докажите теорему о связи между бесконечно большой и бесконечно малой
    

13. 
    Сформулируйте и докажите теорему о замене бесконечно малой на эквивалентную под знаком предела.
    

14. 
    Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечно малых.
    

15. 
    Сформулируйте и докажите теорему о сумме конечного числа бесконечно малых разных порядков.
    

16. 
    Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций.
    

17. 
    Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции.
    

18. 
    Сформулируйте и докажите теорему о сохранении знака непрерывной функции в окрестности точки.
    

19. 
    Сформулируйте теорему о непрерывности элементарных функций. Докажите непрерывность функции y = sin x.
    

Теорема . Все элементарные функции непрерывны на своей области определения

20. 
    Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке.
    

21. 
    Сформулируйте определение точки разрыва функции и дайте классификацию точек разрыва.
    

22. 
    Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.
    

23. 
    Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
    

24. 
    Сформулируйте и докажите теорему о связи дифференцируемости и непрерывности функции.
    

25. 
    Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух дифференцируемых функций.
    

26. 
    Сформулируйте и докажите теорему о производной частного двух дифференцируемых функций.
    

При условии g(x)≠0

27. 
    Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции.
    

28. 
    Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции.
    

29. 
    Сформулируйте и докажите свойство инвариантности формы записи дифференциала первого порядка.
    

30. 
    Сформулируйте и докажите теорему Ферма.
    

31. 
    Сформулируйте и докажите теорему Ролля.
    

32. 
    Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа.
    

33. 
    Сформулируйте и докажите теорему Коши.
    

34. 
    Сформулируйте и докажите теорему Лопиталя - Бернулли для предела отношения двух бесконечно малых функций.
    

35. 
    Сравните рост показательной, степенной и логарифмической функций на бесконечности.
    

36. 
    Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
    

37. 
    Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
    

38. 
    Выведите формулу Маклорена для функции y = e^x с остаточным членом в форме Лагранжа.
    

39. 
    Выведите формулу Маклорена для функции y = sin x с остаточным членом в форме Лагранжа.
    

40. 
    Выведите формулу Маклорена для функции y = cos x с остаточным членом в форме Лагранжа.
    

41. 
    Выведите формулу Маклорена для функции y = ln(1 + x) с остаточным членом в форме Лагранжа.
    

42. 
    Выведите формулу Маклорена для функции y = (1 + x)^μ с остаточным членом в форме Лагранжа.
    

43. 
    Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие неубывания дифференцируемой функции.
    

Из условия монотонности функции следует, что f(x) не убывает на І. Пусть

44. 
    Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие невозрастания дифференцируемой функции.
    

Теорема (необходимое и достаточное словия убывания дифференцируемой функции на промежутке). Пусть функция непрерывна на промежутке I и дифференцируема вовсех его точках, за исключением, может быть конечного их числа. Если производная f’(x) отрицательна всюду где определена и не равна тождественно 0 ни на одном интервале I₁ принадлежащем I, то функция убывает на I

Из условия монотонности функции следует, что f(x) убывает на І. Пусть для некоторых точек х₁ и х₂, x₁2, этого промежутка f(x₁)=f(x₂). Тогда для любой точки х(х₁,х₂) имеем f(x₁)≥f(x)≥(x₂). Это означает, что функция постоянна на (х₁,х₂) , и следовательно, f’(x) тождественно равна 0 на этом интервале, что противоречит условию теоремы. Таким образом f(x₁)≠f(x₂), а тогда f(x₁)>f(x₂) и функция возрастает на I. Теорема доказана.

45. 
    Сформулируйте и докажите достаточное условие возрастания дифференцируемой функции.
    

Из условия монотонности функции следует, что f(x) не убывает на І. Пусть

46. 
    Сформулируйте и докажите достаточное условие убывания дифференцируемой функции.
    

Теорема (необходимое и достаточное словия убывания дифференцируемой функции на промежутке). Пусть функция непрерывна на промежутке I и дифференцируема вовсех его точках, за исключением, может быть конечного их числа. Если производная f’(x) отрицательна всюду где определена и не равна тождественно 0 ни на одном интервале I₁ принадлежащем I, то функция убывает на I

Из условия монотонности функции следует, что f(x) убывает на І. Пусть для некоторых точек х₁ и х₂, x₁2, этого промежутка f(x₁)=f(x₂). Тогда для любой точки х(х₁,х₂) имеем f(x₁)≥f(x)≥(x₂). Это означает, что функция постоянна на (х₁,х₂) , и следовательно, f’(x) тождественно равна 0 на этом интервале, что противоречит условию теоремы. Таким образом f(x₁)≠f(x₂), а тогда f(x₁)>f(x₂) и функция возрастает на I. Теорема доказана.

47. 
    Сформулируйте и докажите первое достаточное условие экстремума (по первой производной)
    

48. 
    Сформулируйте и докажите второе достаточное условие экстремума (по второй производной).
    

49. 
    Сформулируйте и докажите достаточное условие выпуклости функции.
    

50. 
    Сформулируйте и докажите необходимое условие точки перегиба.
    

51. 
    Сформулируйте и докажите достаточное условие точки перегиба.