3группа_математика_сириус-школьный-этап. Школьный этап Всош по математике 21 октября 2021 г класс
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
Дамир записал на доску число 0, для числа 105 записал (−4), для числа 61 записал Чему равна сумма всех чисел на доске? Ответ. 495 Решение. Заметим, для однозначных чисел на доску записываются нули, которые не влияют на сумму. Для чисел, у которых первая и последняя цифра совпадают, на доску тоже записываются нули, не влияющие на сумму. Почти все остальные числа разбиваются на пары число и число, полученное перестановкой первой и последней цифры. Например, 17 и 71, 122 и 221, 103 и 301. Если для одного числа пары на доску записывается число x, то для другого числа пары Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. записывается −x, в результате чего x и −x дают вместе нулевой вклад в сумму всех чисел на доске. Осталось разобраться с числами, у которых нет пары. Это числа, оканчивающиеся на 0! Для них надо всё посчитать напрямую. Числа вида a0 (где a = 1, 2, . . . 9) дадут вклад a в считаемую сумму, таких чисел одно для каждого a. Числа вида a ∗ 0 тоже дадут вклад a в считаемую сумму, таких чисел 10. Итого, получается 11 слагаемых, равных a, в считаемой сумме. Следовательно, считаемая сумма равна · 11 + 2 · 11 + 3 · 11 + . . . + 9 · 11 = 45 · 11 = Места велосипедистов вгонке определяются по сумме времени на всех этапах: первое место угонщика с наименьшим суммарным временем. . . , последнее место угонщика с наибольшим суммарным временем. Было 500 велосипедистов, гонка проходила в 15 этапов, гонщиков с одинаковыми временами как на этапах, таки по сумме на всех этапах, не было. Вася каждый раз приезжал седьмым. Какое самое низкое место (то есть место с наибольшим номером) он мог занять? Ответ. 91. Решение. Оценка. Заметим, что если гонщик A имеет более высокое место, чем гонщик B, то хотя бы водной гонке A обогнал B. Васю в 15 гонках обогнало небо- лее 6 · 15 = 90 других гонщиков (не более — потому что кто-то мог обогнать Васю в нескольких гонках ). Поэтому выше Васи может быть не более 90 гонщиков, то есть Вася не мог занять место ниже 91. Пример. Покажем, что Вася действительно мог занять е место. Пусть в каждой из 15 гонок 7 гонщиков, обогнавших Васю, каждый раз были разными. Они финишировали примерно за 5 часов, Вася — ровно за 10 часов, остальные — за примерно 10.1 часов. Тогда суммарное время каждого из 90 гонщиков, обгонявших Васю, примерно + 14 · 10.1 = часа, суммарное время Васи 15 · 10 = 150 часов, суммарное время каждого из остальных гонщиков — 15 · 10.1 = 151.5 часов. У Васи 91 место. Осталось подобрать точные времена (вместо за примерно 5 часов, за примерно часов) так, чтобы не было гонщиков с одинаковыми местами. Ясно, что это можно сделать, если у кому-то в каких-то гонках добавить по долям секунды все времена, которые должны быть разными, сделаем разными, но при этом Вася останется на 91 месте. 10-7. Парабола с ветвями, направленными вверх, проходит через точки с координатами) и (13, 0). Парабола с ветвями, направленными вверх, тоже проходит через точку с координатами (13, 0). Также известно, что вершина параболы делит пополам отрезок, соединяющий начало координат и вершину параболы Π 2 . В точке с какой абсциссой парабола Π 2 ещё раз пересекает ось Ответ Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. Решение. Дважды воспользуемся таким фактом если и абсциссы точек пересечения параболы с осью 0x, то абсцисса вершины равна x 1 +x 2 абсцисса вершины середина отрезка с концами и x 2 ). x 1 x 2 x 1 +x 2 Применяя этот факт, получаем, что координата вершины параболы равна 2 = 11.5 , а тогда координата вершины параболы равна 2 · 11.5. x y B 2 B 1 11.5 2 · Если обозначить через t искомую абсциссу второй точки пересечения параболы с осью 0x, то, снова применяя факт, получаем 2 · 11.5 , откуда t = 33. Комментарий. Условие, что ветви парабол направлены вверх, в решении не исполь- зовалось. 10-8. В трапеции ABCD основания AD и BC равны 8 и 18 соответственно. Известно, что описанная окружность треугольника ABD касается прямых BC и Найдите периметр трапеции. Ответ. 56. Решение. Сделаем следующее замечание. Через точку B на окружности проходит прямая, параллельная хорде AD. Ясно, что тогда B — середина дуги AD, то есть = в самом деле, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие, ∠1 = ∠3 по теореме об угле между касательной и хордой, следовательно, ∠2 = ∠3). 3 2 1 D A B Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. Далее, из точки C проведены две касательные к окружности значит, они равны = CB = 18 D A C B 8 18 18 x Осталось найти длину стороны AB, которую обозначим за x. Для этого заметим, что = ∠BDA как накрест лежащие. Значит, равнобедренные треугольники и BDA подобны как равнобедренные треугольники с равными углами при основаниях. Из подобия получаем x 8 = 18 x , откуда x = 12. Итого, периметр трапеции равен + 18 + 18 + 8 = 56 Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г класс 11-1. Близнецы Паоло и Севилья празднуют свой день рождения в кафе с друзьями. Если итоговую сумму счёта разделить поровну на всех, то каждый должен будет заплатить по 12 евро. А если разделить её поровну на всех, кроме Паоло и Севильи, то каждый должен будет заплатить по 16 евро. Сколько друзей пришло к Паоло и Севилье надень рождения? Ответ. 6. Решение. Пусть пришло n друзей. Тогда получаем уравнение 12(n + 2) = откуда n = За круглым столом сидело 14 участников конференции. Вовремя перерыва некоторые из них (ноне все) ушли пить кофе. Оказалось, что у каждого участника, оставшегося за столом, ушел ровно один сосед. Сколько участников могли отправиться за кофе Приведите всевозможные варианты ответа. Ответ. 6, 8, 10 или 12 участников. Решение. Пусть участник А остался за столом. Тогда из его соседей остался ровно один, пусть Б. Но из соседей Б остался тоже ровно один участники это участник А. Значит, все оставшиеся за столом участники разбиваются на пары. Итак, оставшиеся участники сидят рядом парами, и между парами сколько угодно участников (ноне менее, чем 1) ушли пить кофе. Значит, остались 2, 4, 8, 10 и т.д. участников. Но 10 и более остаться не могли между пятью и более парами будет хотя бы 5 ушедших пить кофе, и всего получится не менее 15 человек за столом, а по условию их Раз остались 2, 4, 6 или 8 участников, то ушли 6, 8, 10 или 12 участников. 11-3. Точка O — центр окружности. Чему равно значение угла x в градусах Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. Ответ. 58. Решение. Угол ACD прямой, поскольку он опирается на диаметр окружности. 10 ◦ 42 ◦ x 48 ◦ 48 ◦ A O D B C Значит, ∠CAD = 90 ◦ − ∠CDA = 48 ◦ . Также AO = BO = CO как радиусы окружностей, откуда ∠OCA = ∠ACO = и x = ∠OBC = ∠OCB = 48 ◦ + 10 ◦ = Вначале на экране калькулятора горело натуральное число. Каждый раз Таня добавляла к текущему числу n на экране калькулятора натуральное число, на которое не делилось. Например, если на экране было число 10, Таня могла добавить 7 и получить Таня повторила такую операцию пять рази на экране оказалось число 100. При каком наибольшем начальном числе такое могло случиться? Ответ. 89. Решение. Оценка. Заметим, что Таня каждый раз увеличивала число на экране не меньше чем на 2, потому что любое число делится на 1. Если Таня пять раз добавила двойку, то начальное число было равно 90, и двойку к нему добавлять было нельзя. Значит, Таня хотя бы раз добавила число, большее двух. Следовательно, суммарно она увеличила число хотя бы на 11, откуда n ⩽ 89. Оценка. При n = 89 такое возможно 100 = 89 + 2 + 2 + 2 + 2 + Функция f(x) определена при всех положительных значениях x. Оказалось, что f 4y+1 y+1 = 1 y при любом y > 0. Найдите f(3). Ответ. 0.5 Решение. Надо подставить вместо y такое число, чтобы было 3 , то есть y = 2 . Получаем f(3) = 1 2 Комментарий. Заметим, что такая функция существует. Доказательство этого практически совпадает с решением задачи a , y = a−1 4−a , откуда при a ̸= получаем f(a) = 4−a a−1 . Возникает вопроса чему равны f(1) и f(4)? Оказывается, они могут равняться любым числам Ведь условие f( 4y+1 y+1 ) = 1 y ничего не говорит ни про значение f(1), ни про значение f(4): выражение 4y+1 y+1 никогда неравно, а при y = 0, которое нам нельзя подставлять по условию Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. 11-6. Петя всеми способами расставляет знаки + ив выражении 1∗2∗3∗4∗5∗6 на места звёздочек. Для каждой расстановки знаков он считает получившийся результат и пишет его на доску. Над доске некоторые числа могут встречаться несколько раз. Все числа на доске Петя складывает. Чему равна полученная Петей сумма? Ответ. 32. Решение. Заметим, что каждая из цифр 2, 3, 4, 5, 6 даст нулевой вклад в Петину сумму она поровну раз будет входить со знаком + и со знаком −. А цифра 1 будет входить вовсе суммы со знаком + столько раз, сколько всего будет слагаемых. Так как каждая из звёздочек может принимать два значения, то будет 2 5 = 32 слагаемых. Итак, Петина сумма равна Дан параллелограмм ABCD, в котором ∠B = и BC = BD. На отрезке BC отмечена такая точка H, что ∠BHD = 90 ◦ . Точка M — середина стороны Найдите угол AMH. Ответ дайте в градусах. Ответ. 132 ◦ Решение. Отметим, что ∠DMB = 90 ◦ , так как DA = DB, а в равнобедренном треугольнике BDA медиана DM является высотой. Так как углы DHB и прямые, то точки M, B, H и D лежат на одной окружности. Ясно, что достаточно найти угол DMH, так как ∠AMH = ∠DMH + Углы DMH и DBH равны, так как эти углы опираются на одну дугу DH в окружности. Значит, надо найти угол DBH. Но его легко можно найти из равнобедренного треугольника DBC, если знать угол C при основании этого треугольника = 180 ◦ − 2∠C. Но угол C равен 180 ◦ − 111 ◦ = 69 ◦ . Тем самыми В караване 100 верблюдов, одногорбых и двугорбых, и тех, и других хотя бы по одному. Если взять любых 62 верблюда, то у них будет не менее половины общего числа горбов в караване. Пусть N — количество двугорбых верблюдов. Сколько значений (в диапазоне от 1 до 99) может принимать N? Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. Ответ. 72. Решение. Если всего было N двугорбых верблюдов, то было 100−N одногорбых, а всего было 100 + N горбов. Выстроим верблюдов вряд сначала одногорбых, а потом двугорбых. Ясно, что если условие про 62 верблюда выполнено для первых 62 верблюдов, то оно выполнено и про любые 62 верблюда. Возможны два случая первые верблюда все одногорбые, или среди них есть хотя бы один двугорбый) Пусть первые 62 верблюдов одногорбые. Тогда по условию 62 ⩾ 1 2 (100 + N откуда N ⩽ 24. 2) Среди первых 62 верблюдов есть двугорбые, пусть их количество равно y. Тогда по условию 62 + y ⩾ 1 2 (100 + 38 + y) , откуда y ⩾ 14. Тогда N ⩾ 14 + 38 = Итак, количество двугорбых верблюдов лежит в диапазонах от 1 до 24 включительно или от 52 до 99 включительно. Получается 24 + 48 = 72 варианта |