3группа_математика_сириус-школьный-этап. Школьный этап Всош по математике 21 октября 2021 г класс
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
При каком наименьшем n Васютка и бабушка могут показать маме такой фокус? Ответ. 36. Решение. Пусть Васютка разломал менее 36 пирожков, те. осталось ещё 10 или более пирожков. Допустим, что Васютка сказал маме про взятый ею пирожок, что в нём есть начинка первого типа. Почему он мог не угадать Потому что среди 10-ти и более оставшихся пирожков есть пирожок без начинки первого типа (так как всего есть 9 пирожков, в которых есть начинка первого типа, а именно его и могла дать мама Васютке. Аналогично, Васютка не всегда угадает начинку, если скажет, что она второго, третьего. . . , десятого типа. Значит, n ⩾ Мы сейчас доказали, что если n < 36, то Васютка не может точно назвать ни одну начинку в следующем пирожке. Но бывает ли ситуация при n = 36, когда Васютка всё же справится назвать начинку, которая точно будет в следующем пирожке Оказывается, да Для этого бабушка, заранее договорившись с Васюткой, выдаст ему все пирожков без начинки первого типа. Тогда Васютка поймёт, что все оставшиеся пирожки содержат начинку первого типа, и назовёт маме эту начинку Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г класс 8-1. Два прямоугольника 8 × 10 и 12 × 9 наложены друг на друга так, как показано на рисунке. Площадь чёрной части равна 37. Чему равна площадь серой части Если необходимо, округлите ответ доили запишите ответ в виде обыкновенной дроби 8 12 9 Ответ. 65. Решение. Площадь белой части равна 8 · 10 − 37 = 43, а значит площадь серой части равна 12 · 9 − 43 = В квадрате ABCD проведен такой отрезок CE, что углы, показанные на чертеже, равны 7α и 8α. Найдите значение угла α в градусах. Если необходимо, округлите ответ доили запишите ответ в виде обыкновенной дроби. B A E D C 7α 8α Ответ. 9 ◦ Решение. В треугольнике DF E углы равны 7α, 8α и 45 ◦ Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. B A E D C F 7α 8α 45 ◦ Так как сумма углов треугольника DF E равна 180 ◦ , то 7α + 8α + 45 ◦ = 180 ◦ , откуда = 1 15 · 135 ◦ = Что получится, если в выражении (a + 1)(a + 3)(a + 4)(a + 5)(a + 6) раскрыть скобки и привести подобные члены) a 5 + 360 b) a 5 + 19a 4 + 137a 3 + 461a 2 + 702a + 360 c) a 5 + 19a 4 + 138a 3 + 476a 2 + 776a + 480 d) a 4 + 18a 3 + 119a 2 + 342a + 360 e) a 5 + 18a 4 + 123a 3 + 402a 2 + 656a + 480 Ответ. b). Решение. Откинем все варианты, кроме b): • вариант a) неправильный поскольку помимо указанных двух слагаемых должны быть ещё какие-то; • вариант d) неправильный, поскольку в нём получился многочлен й степени варианты си) неправильные, поскольку в них неверный свободный член. 8-4. В финал конкурса красоты среди жирафов прошли два жирафа Высокий и Пятнистый. 105 голосующих поделены на 5 округов, каждый округ поделён на участков, а на каждом участке по 3 голосующих. Голосующие большинством выбирают победителя на своём участке в округе побеждает жираф, победивший в большинстве участков округа наконец, победителем финала объявляется жираф, победивший в большинстве округов. Победил жираф Высокий. Какое наименьшее число голосующих могли проголосовать за него? Ответ. 24. Решение. Чтобы Высокий победил в финале, он должен победить в х округах. Чтобы победить в округе, Высокий должен победить в х участках этого округа. Итого, нужно победить хотя бы в 3 · 4 = 12 участках. Чтобы победить на участке нужно, чтобы за тебя проголосовали хотя бы 2 голосующих. Итого, необходимо хотя бы 24 голосующих Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. Комментарий. В задачах с вопросами какое наибольшее и какое наименьшее» обычно решение состоит из двух частей оценки и примера. Оценка — это доказательство, что большего (или меньшего, в зависимости от вопроса) ответа добиться нельзя, а пример это доказательство, что указанного ответа добиться можно. В решении выше мы не привели пример (те. не доказали, что 24 голосующих достаточно. Для полноты решению не хватает фразы Из рассуждений выше понятно, что 24 голосующих за Высокого может быть достаточно по 2 голосующих на участках каких-то 3 округов». 8-5. В турнире принимают участие 6 команд P , Q, R, S, T и U, они должны сыграть каждая с каждой по одному разу. Каждый день они разбиваются на 3 пары и одновременно проходят матчи во всех трёх парах. Канал Спортивный выбрал, какой матч он будет транслировать в каждый из дней день 2 день 3 день 4 день 5 день − Q R − S P − T T − U P − В какой день могут играть друг с другом команды S и U? Отметьте всевозможные варианты. Ответ. Только в 1-й. Решение. Посмотрим на команду P : в 1, 3 и 5 дни она сыграет с командами Q, T и. Значит, в оставшиеся два дня она должна сыграть с командами S и U. Поскольку вой день S играет сто ничего не остаётся, кроме как во второй день играть св й — c S. 1 день 2 день 3 день 4 день 5 день − Q R − S P − T T − U P − R P − U P − Теперь можно восстановить оставшиеся игры вой и й дни день 2 день 3 день 4 день 5 день − Q R − S P − T T − U P − R P − U P − S T − Q Q − Аналогично, посмотрим на команду T . В й день она должна играть или с R, или с R уже играет с P , а значит T будет играть с S. Тогда матч T − R должен пройти в первый день день 2 день 3 день 4 день 5 день − Q R − S P − T T − U P − R T − R P − U P − S T − S T − Q Q − Получается, что в й день оставшийся матч — матч S − U, который мы и искали Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. Комментарий. Описанная в условии ситуация действительно возможна день 2 день 3 день 4 день 5 день − Q R − S P − T T − U P − R T − R P − U Q − S P − S T − S S − U T − Q R − U Q − R Q − Внутри треугольника ABC выбрана точка D так, что ∠BAD = и = ∠BCD = 30 ◦ . Известно, что AB = 15 и CD = 8. Найдите длину отрезка Если необходимо, округлите ответ доили запишите ответ в виде обыкновенной дроби. Ответ. 3,5 Решение Пусть прямая AD пересекает отрезок BC в точке X. Поскольку в треугольнике ABX углы A и B равны и 60 ◦ , то угол X прямой. Значит = AB/2 = 7,5 , поскольку AX — катет прямоугольного треугольника ABX, лежащий напротив угла в 30 градусов. Аналогично, в прямоугольном треугольнике имеем DX = CD/2 = 4. Таким образом, AD = AX − DX = 3,5. 30 ◦ 30 ◦ 60 ◦ B C A X D 15 Решение Пусть прямые CD и AB пересекаются в точке Y . Угол AY D внешний для треугольника BY C, поэтому ∠AY D = ∠CBY + ∠BCY = 30 ◦ + 30 ◦ = Таким образом, в треугольнике AY D углы при вершинах A и Y равны по 60 градусов, поэтому этот треугольник равносторонний. Пусть AD = AY = DY = x. Заметим, что треугольник BCY равнобедренный, поскольку его углы при вершинах B и C равны. Значит, 15 − x = BY = CY = 8 + x, откуда 2x = 7 и x = 3,5. 30 ◦ 30 ◦ 15 − x 8 x B C Y A D Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. 8-7. Петя задумал четыре различные цифры, неравные. Затем он всеми способами составил из этих цифр четырёхзначные числа без повторяющихся цифр. Сумма всех этих чисел оказалась равна 73326. Какие 4 цифры задумал Петя? Ответ. 1, 2, 3, 5. Решение. Пусть Петя задумал цифры a, b, c и d. Всего будет 24 числа, составленных из этих цифр. Если сложить все эти числа, то каждая из цифр a, b, c и d будет встречаться в каждом разряде 6 раз. Поэтому сумма всех х чисел будет равна · (a + b + c + d) · 1111 = 73326 . Отсюда a +b+c+d = 11. Число 11 можно представить в виде суммы четырёх различных цифр только одним способом 11 = 1 + 2 + 3 + Именно эти цифры и задумал Петя. 8-8. Турнир по шахматам проходит последующей системе каждый из 15 учеников школы Белая ладья должен сыграть один раз с каждым из 20 учеников школы «Чёрный слон, те. всего должно быть проведено 300 партий. В каждый момент времени проводится не более одной партии. После n партий болельщик Саша, который смотрел все партии и знает всех участников, воскликнул Я точно могу назвать одного из участников следующей партии!» При каком наименьшем n такое могло случиться? Ответ. 280. Решение. Оценка. Пусть прошло меньше 280 партий, те. осталось ещё больше партий. Тогда среди участников школы Белая ладья есть как минимум два ученика, которые сыграли ещё не все свои партии. Тогда Саша не может точно назвать участника следующей партии от школы Белая ладья. Аналогично, Саша не может назвать и участника следующей партии от школы «Чёрный слон. Значит, n хотя бы 280. Пример. Мы сейчас доказали, что если n < 280, то Саша не может назвать ни одного из участников следующей партии. Но бывает ли ситуация при n = 280, когда Саша всё же справится назвать кого-то, кто будет играть в следующей партии? Оказывается, да Для этого 14 учеников школы Белая ладья должны сыграть все свои партии, это как раз 280 партий. Тогда в следующей партии точно примет участие оставшийся ученик школы Белая ладья — его Саша и назовёт. Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г класс 9-1. Отрезок P Q поделён на несколько более маленьких отрезков. На каждом из них построен квадрат (см. рис.). P Q Чему равняется длина пути по стрелочкам, если длина отрезка P Q равняется 73? Если необходимо, округлите ответ доили запишите ответ в виде обыкновенной дроби. Ответ. 219. Решение. Заметим, что в каждом квадрате вместо того, чтобы пройти по одной стороне, мы идём по трём сторонам. Поэтому длина пути по стрелочкам в 3 раза больше длины пути по отрезку, откуда ответ 73 · 3 = Валера нарисовал зигзаг внутри прямоугольника. Часть углов отмечены на чертеже. Чему равняется угол θ? Ответ дайте в градусах. Если необходимо, округлите ответ доили запишите ответ в виде обыкновенной дроби. 10 ◦ θ 14 ◦ 33 ◦ 26 ◦ Ответ. 11 ◦ Решение Пусть наш зигзаги две стороны прямоугольника — это ломаная G Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г = Тогда, пользуясь тем, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна, находим ∠ACB = 90 ◦ − 10 ◦ = 80 ◦ , ∠F EG = 90 ◦ − 26 ◦ = 64 ◦ . Теперь, пользуясь тем, что развёрнутый угол равен 180 ◦ , находим ∠DCE = 180 ◦ − 80 ◦ − 14 ◦ = 86 ◦ , ∠DEC = 180 ◦ −64 ◦ −33 ◦ = 83 ◦ . Наконец, пользуясь тем, что сумма углов треугольника равна 180 ◦ , находим ∠CDE = 180 ◦ − 86 ◦ − 83 ◦ = Решение II. Проведём через вершины зигзага недостающие прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны, то угол в 14 ◦ разобьётся на углы и 14 ◦ −10 ◦ = а угол в 33 ◦ — на углы и 33 ◦ − 26 ◦ = Угол θ складывается из углов и 7 ◦ , поэтому θ = 4 ◦ + 7 ◦ = Арина выписала вряд без пробелов все числа от 71 дополучив большое число 717273. . . 81. София стала дописывать к нему следующие числа (те. вначале она дописала 82, потом 83, . . . ). В тот момент, когда большое число стало кратно София остановилась. Последним она дописала число N. Чему равно N? Ответ. 88. Решение. Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на Чтобы число делилось на 4, число, образованное его последними двумя цифрами, тоже должно делится на 4. Значит, последнее число, которое напишет София, должно делится на Ближайшее число, которое делится на 4, — 84, но число 71727374. . . 84 имеет сумму цифр 158, те. не делится на 3. Следующее число, которое делится на 4, — 88. Сумма цифр числа 71727374. . . 88 равна 216, те. всё число делится на 3. Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. 9-4. Числа a и b таковы, что a+b > 0. Какие из следующих неравенств обязательно верны) a 5 b 2 + a 4 b 3 ⩾ 0; b) a 4 b 3 + a 3 b 4 ⩾ 0; c) a 21 + b 21 > 0 ; d) (a + 2)(b + 2) > ab; e) (a − 3)(b − 3) < ab; f) (a + 2)(b + 3) > ab + Ответ, c), Решение) a 5 b 2 + a 4 b 3 ⩾ 0 ⇔ a 4 b 2 (a + b) ⩾ 0, что верно) a 4 b 3 + a 3 b 4 ⩾ 0 ⇔ a 3 b 3 (a + b) ⩾ 0, что неверно, например, при a = −1, b = 2. c) Заметим, что если x > y, то x 21 > вне зависимости от знаков x и y, поэтому из a > −b следует, что a 21 > −b 21 , те. a 21 + b 21 > 0 d) (a + 2)(b + 2) > ab ⇔ 2(a + b) + 4 > 0, что верно) (a − 3)(b − 3) < ab ⇔ 9 < 3(a + b), что неверно, например, при a = b = 1. f) (a + 2)(b + 3) > ab + 5 ⇔ 3a + 2b + 1 > 0, что неверно, например, при a = −4, b = Окружность поделена 100 точками на 100 равных дуг. Рядом с точками написали числа от 1 до 100, каждое по одному разу. Оказалось, что для любого числа если провести через точку с числом k диаметр, то по разные стороны от этого диаметра чисел, меньших k, будет поровну. Какое число может быть написано в точке, диаметрально противоположной точке с числом 83? Ответ. Только 84. Решение. Посмотрим на нечётное число 2m + 1. Мысленно отбросим его и число, диаметрально ему противоположное. По условию, среди оставшихся чисел, все числа, меньшие 2m + 1, делятся на две одинаковые по численности группы. Значит, среди оставшихся чисел чётное количество чисел, меньших 2m + 1. Всего чисел, меньших + тоже чётное количество — их 2m. Из этого следует, что число, диаметрально противоположное 2m + 1 должно быть его больше! Тогда напротив 99 может стоять только 100, напротив 97 — только 98 (ведь числа и 100 уже стоят друг напротив друга, напротив 95 — только 96 (ведь все большие числа уже поставлены друг напротив друга, и т.д. Значит, напротив 83 стоит 84. Комментарий. Отметим, что любой вариант, где для всех m = 1, 2, . . . , 50 числа − и 2m стоят в диаметрально противоположных точках, подходит. 9-6. Петя хочет положить 99 монет в клетки доски 2×100 так, чтобы не было двух монет в клетках с общей стороной, ив каждой клетке лежало не более одной монеты. Сколько существует способов так положить монеты? Ответ. 396. Решение. Заметим, что будет ровно 1 пустой столбец. Тогда слева от него ровно два способа раскладки, и справа от него тоже ровно два способа раскладки Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. Всего получается 2 · 2 = 4 способа раскладки при фиксированном пустом столбце каждый способна картинке слева надо скомбинировать с каждым способом на картинке справа. Но это рассуждение не работает в тех случаях, когда пустой столбец самый правый или самый левый — тогда получается не 4, а только 2 способа раскладки. Итого, всего будет 98 · 4 + 2 + 2 = 396 способов. 9-7. Дана трапеция ABCD. На её боковой стороне CD выбрана точка M так, что D = 4/3 . Оказалось, что отрезок BM делит диагональна два отрезка, отношение длин которых также равно 4/3. Какие значения может принимать отношение Если необходимо, округлите ответ доили запишите ответ в виде обыкновенной дроби. Ответ. 7/12 ≈ 0,58 Решение. Пусть отрезок BM пересекается с отрезком AC в точке N. Если A = 4/3 , то CN/NA = 4/3 = CM/MD, откуда по теореме, обратной теореме Фалеса (или из подобия треугольников CND и CAD), прямые MN и AD параллельны но это невозможно, ведь тогда прямые BC и MN тоже параллельны, но они пересекаются в точке B. Значит, NA/NC = Продлим отрезок BM до пересечения с прямой AD в точке K. Треугольники и KAN подобны по двум углам, откуда KA/BC = NA/NC = 4/3. Треугольники BCM и KDM также подобны по двум углам, откуда KD/BC = MD/MC = Осталось заметить, что − KD BC = KA BC − KD BC = 4 3 − 3 4 = 7 12 ≈ 0,58. Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. 9-8. Все цифры в записи 6-значных натуральных чисел a и b – чётные, а в записи любого числа между ними есть нечётная цифра. Найдите наибольшее возможное значение разности b − Ответ Решение. Оценка. Докажем, что к 9-значному числу a, меньшему 888 888, все цифры которого чётны, можно добавить число, не большее 111 112 так, что вновь все его цифры будут чётные. Если среди цифр числа a, кроме первой, есть цифра, меньшая, то можно увеличить её на 2. В противном случае число имеет вид A88 888. Так как A < 8, ток нему можно добавить 111 112 и получится (A + 2)00 000. Если же a = 888 888 , то все большие 6-значные числа содержат в себе нечётную цифру, поэтому среди них не может найтись подходящее число b. Пример. Осталось проверить, что разность 111 112 бывает. Рассуждения из оценки подсказывают, что примером могут быть числа a = 288 888 и b = 400 000. И правда у любого числа между ними есть или цифра 3, или цифра 9. Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г класс 10-1. На столе стоят несколько мисок, в каждой из которых лежат несколько виноградин. В разных мисках может лежать различное количество виноградин. Если в мисок добавить еще по 8 ягод винограда, то среднее количество ягод во всех мисках увеличится на 6. Сколько мисок на столе? Ответ. 16. Решение. Обозначим количество мисок за n. Общее количество ягод увеличилось на 12 · 8 = 96. Так как среднее количество ягод увеличилось на 6, то их общее количество должно было увеличиться на 6n. Следовательно, 6n = 96, откуда n = Большой прямоугольник на рисунке состоит из 20 одинаковых маленьких. Периметр фигуры A равен 56 см, периметр фигуры B равен 56 см. Чему равен периметр фигуры C? Ответ дайте в см. C A B Ответ. 40. Решение. Пусть горизонтальный размер прямоугольничка равен x, а вертикальный размер равен y. Из условия получаем систему уравнений 6x + 2y = 56, 4x + 6y = Нужно найти, чему равно 2x + 6y. Решая систему, находим x = 8, y = 4, откуда + 6y = 40 Точка O — центр окружности. Чему равно значение угла x в градусах Школьный этап ВсОШ по математике • 21 октября 2021 г. Ответ. 9. Решение. Так как OB = OC, то ∠BCO = 32 ◦ . Значит, для нахождения угла x достаточно найти угол ACO: x = 32 ◦ − Так как OA = OC, то ∠ACO = ∠OAC = 90 ◦ − 67 ◦ = здесь мы воспользовались тем, что треугольник ACD прямоугольный угол ACD, опирающийся на диаметр, прямой). Итак, x = 32 ◦ − 23 ◦ = Вначале на экране калькулятора горело натуральное число. Каждый раз Оля добавляла к текущему числу n на экране калькулятора натуральное число, на которое не делилось. Например, если на экране было число 10, Оля могла добавить 7 и получить Оля повторила такую операцию пять рази на экране оказалось число 200. При каком наибольшем начальном числе такое могло случиться? Ответ. 189. Решение. Оценка. Заметим, что Оля каждый раз увеличивала число на экране не меньше чем на 2, потому что любое число делится на 1. Если Оля пять раз добавила двойку, то начальное число было равно 190, и двойку к нему добавлять было нельзя. Значит, Оля хотя бы раз добавила число, большее двух. Следовательно, суммарно она увеличила число хотя бы на 11, откуда n ⩽ 189. Оценка. При n = 189 такое возможно 200 = 189 + 2 + 2 + 2 + 2 + Для каждого натурального числа от 1 до 999 Дамир отнял от первой цифры последнюю и записал все полученные 1000 разностей на доску. Например, для числа 7 |