РГЗ по ОТС. ОТС РГЗ №1. Сигналы и их характеристики

• Название: Сигналы и их характеристики
• Анкор: РГЗ по ОТС
• Дата: 22.05.2022
• Размер: 280.38 Kb.
• Имя файла: ОТС РГЗ №1.docx
• Тип: Документы; #542331

Задание 1

1. Сигналы и их характеристики

   1. 
      Сигнал определяется восьмизначным равномерным кодом согласно варианту и подварианту (табл. 1), где символ «0» соответствует нулевой посылке, а символ «1» – прямоугольному видеоимпульсу напряжения с амплитудным значением 10 В и длительностью 0.1 мкс.
      

Дан сигнал: 01111010.

2. 
   Требуется:
   

• 
  
  
  Записать математическую модель сигнала в виде линейной комбинации функций Хэвисайда, построить временной график
  

Рис 1. Временной график заданного сигнала.

• 
  Найти спектр сигнала относительно базиса Уолша, построить спектральную диаграмму
  

Функции Уолша формируются из функций Радемахера с помощью следующего соотношения:



где n – номер функции Уолша, n_k – значение (0 или 1) k – разряда номера функции Уолша n, записанного в виде m – разрядного двоичного кода Грея, rad_k (θ) – функция Радемахера, которая имеет вид:

.


- 3 битный код Грэя;



;
П одставляя все имеющиеся значения, получаем:













Рис 2.1. Система i -х функций Уолша





Рис 2.2.Система i -х функций Уолша (продолжение)
Тогда спектром сигнала относительно базиса Уолша будет:


;
























Рис 3. Спектральная диаграмма сигнала относительно базиса Уолша

• 
  Найти аналитически спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса длительностью 1 с и амплитудой 1 В относительно ядра Фурье
  

Математическая модель прямоугольного видеоимпульса:




;

Е го спектральная плотность рассчитывается по формуле:







Рис 4. Спектральная плотность одиночного видеоимпульса

• 
  Пользуясь свойствами преобразования Фурье, найти спектральную плотность заданного сигнала относительно ядра Фурье, построить графики её модуля и аргумента
  

Рис 5. Временной график заданного сигнала.











Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса рассчитывается по формуле:



− где длительность импульса.

Используем, теорему о спектре сигнала смещённого во времени :



− где задержка импульса.

Найдём длительность и задержку для исходного сигнала:








Рис 6. Модуль спектральной плотности заданного сигнала



Рис 7. Аргумент спектральной плотности заданного сигнала

• 
  Найти спектр периодической последовательности, полученной повторением заданного сигнала, относительно комплексного базиса Фурье, построить амплитудную и фазовую спектральные диаграммы
  

Найденная в прошлом пункте спектральная плотность имеет форму огибающей спектральных коэффициентов ряда Фурье периодической последовательности, образованной повторением заданного импульсного сигнала. Тогда формула для нахождения спектра относительно базиса Фурье будет иметь следующий вид:







− где − частота заданного сигнала с периодом Т=0.8 мкс.

Рис 8. Амплитудная спектральная диаграмма



Рис 9. Фазовая спектральная диаграмма

• 
  Найти автокорреляционную функцию сигнала, построить график
  

Автокорреляционная функция сигнала есть скалярное произведение, сигнала и его смещенной копии на величину :



Представим это произведение графически ( Δ =10⁷ с – смещение).










Рис 10.1. Заданный сигнал и его смещенная копия








Рис 10.2. Заданный сигнал и его смещенная копия (продолжение)

Исходный сигнал задан на промежутке [0, T], поэтому его автокорреляционная функция определяется как:











Рис 11. Автокорреляционная функция заданного сигнала U(t)

Полученная автокорреляционная функция достигает максимума при =0 и равна при этом значении аргумента энергии сигнала:


;



А также она является четной для вещественных сигналов.

• 
  Определить эффективную ширину спектра, как полосу частот, содержащую 95% энергии сигнала
  

Спектральную плотность энергии сигнала U(t) легко получить из обобщенной формулы Релея при этом получим:



Найдем 95% этой энергии:







;








Полосу частот, содержащую 95% энергии можно определить с помощью блока решений Given – Find в программе MathCAD.

• 
  Найти сигнал, который получается из заданного при воздействии фильтра с прямоугольной АЧХ и линейной ФЧХ (частота среза фильтра в МГц и крутизна ФЧХ в рад/МГц приведены в табл. 2), построить временной график полученного сигнала (для выполнения этого пункта рекомендуется использовать математическую программу MathCAD, MATLAB и т.п.)
  

=24 МГц – частота среза фильтра согласно варианту 4;

S=0.9 рад/МГц – крутизна ФЧХ фильтра согласно подварианту 1.

Запишем математическую модель КЧХ фильтра с помощью функций Хэвисайда:


;



Здесь мы крутизну делим на 2 , а частоту умножаем на 2 , т. к. КЧХ фильтра зависит от круговой частоты .

Спектральная плотность выходного сигнала находится как произведение КЧХ фильтра и спектральной плотности входного:


;



;
Сигнал, который получится на выходе, вычислим по формуле:




Рис 12. Временной график сигнала полученного из заданного при воздействии фильтра с прямоугольной АЧХ и линейной ФЧХ

• 
  Н айти сигнал, который получается при воздействии заданного сигнала на RC-фильтр нижних частот с параметрами, указанными в табл. 3 ( в кОм, в пФ), построить временной график полученного сигнала
  

R=0.25 кОм – согласно варианту 4;

C=900 пФ – согласно подварианту 1.

Рис 13. Фильтр нижних частот

Фильтр нижних частот имеет импульсную характеристику:



Сигнал на выходе линейной цепи является сверткой входного сигнала и импульсной характеристики:



В нашем случае сигнал существует на промежутке [0,T] поэтому:


;


Рис 14. Временные графики выходного и входного сигналов

2. Линейные инвариантные к сдвигу цепи

   1. 
      ЛИС-цепь определяется схемой согласно варианту (табл. 4), ее параметры ( в кОм, в пФ, в мГн ) – согласно подварианту (табл. 5). Однотипные элементы нумеруются в соответствии с их расположением на схеме: слева направо и сверху вниз. Предполагается, что выход цепи подключен к устройству с бесконечным входным сопротивлением.
      

Рис 15. Заданная ЛИС цепь
R₁=2 кОм; R₂=1 кОм; L₁=1 мГн; – согласно подварианту.

2. 
   Требуется:
   

• 
  Найти комплексную частотную характеристику цепи, АЧХ и ФЧХ; построить графики АЧХ и ФЧХ
  

КЧХ линейной цепи вычисляется по формуле:





Рис 16. Амплитудно-частотная характеристика линейной цепи




Рис 17. Фазо-частотная характеристика линейной цепи

• 
  Найти импульсную и переходную характеристики, построить графики
  

Исходная ЛИС-цепь имеет комплексную характеристику:



Заменим тогда:



Импульсную характеристику найдем по формуле обратного преобразования Лапласа от КЧХ линейной цепи:



В нашем случае имеем:






Рис 18. Импульсная характеристика линейной цепи

Переходную характеристику можно найти, проинтегрировав полученную импульсную характеристику:




Рис 19. Переходная характеристика линейной цепи

• 
  Найти отклик цепи на заданный сигнал, построить график
  

Отклик цепи получим по ранее приведенной формуле − свертке входного сигнала и импульсной характеристики:





Рис 20. Временные графики выходного и входного сигналов