Цель занятия: формирование умений решать текстовые задачи; применять математические методы для решения профессиональных задач; з. Документ Microsoft Word (2). Система работы по формированию навыков решения текстовых задач. Лескевич Тамара Иосифовна, учитель математики Содержание
 Скачать 209.2 Kb.
|
|
Приложение 2 Виды задач на проценты. С математической точки зрения 1% от A означает сотую долю этого числа A. Определение процента от числа Найти: 25% от 120. Решение: 1) 25% = 0,25; 2) 120 . 0,25 = 30. Ответ: 30. Определение числа по известной его части, выраженной в процентах Найти число, если 15% его равны 30. Решение: 1) 15% = 0,15; 2) 30 : 0,15 = 200. или: х - данное число; 0,15.х = 300; х = 200. Ответ: 200. После рассмотрения этих простейших задач можно рассмотреть задачи типа: 1. На сколько процентов 10 больше 6? 2. На сколько процентов 6 меньше 10? Решение: 1. ((10 - 6).100%)/6 = 66 2/3 % 2. ((10 - 6).100%)/10 = 40% Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%? Решение: Пусть цена товара х руб. 1) х + 0,25х = 1,25х; 2) 1,25х - 0,25.1,25х = 0,9375х 3) х - 0,9375х = 0,0625х 4) 0,0625х/х . 100% = 6,25% Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих? Решение: 1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; 2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих. Ответ: 2,5 кг. При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием "процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор". Поэтому предлагаю задачи на эти понятия. Процентное содержание. Процентный раствор. Задача: Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%. 10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли. Ответ: 1,5 кг. Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли. Задача: Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава. 1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав; 2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве; 3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве; Ответ: 40%, 60%. Приложение 3 Решение задач на проценты Рассмотрим простые задачи на проценты , предлагаемые в общеобразовательной школе в 5-7 классах. Задача 1. В одном из городов Грузии часть жителей умеет говорить только по-грузински, часть - только по- русски. По-грузински говорят 85% всех жителей, а по- русски - 75%. Сколько процентов всех жителей говорит на обоих языках? Решение. 1) 100%-75% = 25% всех жителей не говорят по-русски. 2) 85%-25% = 60% говорят по- русски и по-грузински. Задача 2. Объем строительных работ увеличивается на 80%. На сколько процентов нужно увеличить число рабочих, если производительность труда будет увеличена на 20%? Решение. 1) 100%+80% = 180% = 1.8 (объем строительных работ по сравнению с первоначальным) 2) 100%+20% = 120% = 1.2 - производительность труда по сравнению с первоначальной. 3) 1.8:1.2 = 1.5 = 150% - составляет количество рабочих, необходимых теперь по сравнению с первоначальным, т.е. на 50% надо увеличить число рабочих. Задача 3. В связи с введением рационализаторского предложения время, необходимое для изготовления некоторой детали машины, уменьшилось на 20%. На сколько процентов увеличилась производительность труда? Решение. 1) 1-0.2 = 0.8% прежнего времени необходимо теперь для изготовления той же детали. 2) 1:0.8 = 1.25 = 125% - такова теперь производительность труда по сравнению с прежней, т.е. производительность труда увеличилась на 25%. Задача 5. Ширину прямоугольника увеличили на 3.6 см, а длину уменьшили на 16%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась больше прежнего на 5%. Найти ширину нового прямоугольника. Решение.Площадь измененного прямоугольника составляет 1.05 площади первоначального. Так как длина нового равна 0.84 прежнего, то ширина нового составляет 1.05:0.84=1.25 ширины прежнего, отсюда первоначально ширина была 3.6:0.25=14.4 (см). Значит, ширина нового прямоугольника 14.4+3.6=18 (см). Задача 6. Длину прямоугольника уменьшили на 2.4 см, а ширину увеличили на 30%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась на 4% больше прежнего. Найти длину нового прямоугольника. Ответ: 9.6 см. Задача 7. Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата? Ответ: Увеличилась на 44% Задача 8. На сколько процентов увеличится объем куба, если каждое его ребро увеличить на 10%? Решение: 1 - ребро куба, тогда объем куба 1 куб. ед. 1) 1 + 0.1 = 1.1 - ребро нового куба. 2) 1.1-1.1-1.1 = 1.331 - объем нового куба. 3) 1.331 - 1 = 0.331 (куб. ед.) - увеличился объем куба. 4) 0.331 : 1 = 33.1% - на столько процентов увеличился объем куба. Задача 9. На сколько процентов увеличится полная поверхность куба, если каждое его ребро увеличить на 20%? Решение: 1 - ребро куба; 1.2 - ребро нового куба. Решение задачи запишем формулой. (1.2 ·1.2 ·6) : (1·1·6) = 1.44 = 144%, т. е. поверхность куба увеличилась на 44%. Задача 10. Слиток сплава серебра с цинком весом в 3.5 кг содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и получили слиток весом в 10.5 кг, содержание серебра в котором было 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке? Решение: 1) 3.5-0.76 = 2.66 (кг) серебра в первом слитке. 2) 10.5-0.84 = 8.82 (кг) серебра в 10.5 кг сплава. 3) 8.82 - 2.66 = 6.16 (кг) серебра во втором слитке. 4) 10.5 - 3.5 = 7 (кг) вес второго слитка. 5) 6.16: 7 = 0.88 = 88% серебра содержалось во втором слитке. Задача 11. 5 л сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 л 20-ти процентных сливок и к смеси добавили 1 л чистой воды. Какой жирности получилась смесь? Решение: 1) 5-0.35 = 1.75 (л) жира в 5 л сливок. 2) 4-0.2 = 0.8 (л) жира в 4 л сливок. 3) 1.75+0.8 = 2.55 (л) жира в смеси. 4) 5+4+1 = 10 (л) - вес смеси. 5) 2.55 : 10 = 0.255 = 25.5% - жирность смеси. Задача 18. Древесина только что срубленного дерева содержит 64% воды. Через неделю количество воды стало уже 48% от веса дерева. На сколько уменьшился при этом вес дерева, если только что срубленное оно весило 7.5 ц. (Ответ дать с точностью до 0.1 ц) Решение: 1) 7.5-0.64 = 4.8 (ц) содержится воды в только что срубленном дереве. 2) 7.5 - 4.8 = 2.7 (ц) содержится сухой древесины в дереве. 3) 100% - 48% = 52% веса дерева через неделю составляют 2.7 ц сухой древесины. 4) 2.7 : 0.52 = 5,2 (ц) весит дерево через неделю. 5) 7.5 - 5.2 = 2.3 (ц) - на столько уменьшился вес дерева за неделю. Приложение 4 Задачи на процентные вычисления в жизненных ситуациях. Задача 1:Влажность свежескошенной травы 70%, а влажность сена 16%. Сколько надо скосить травы, чтобы получить 1 т сена? Решение:1) 100%- 16%=84% сухого вещества содержит сено. 1 т- 1000 кг 2) Составим пропорцию: 1000 кг – 100% х кг – 84% х=  кг – сухого вещества.3) 100%- 70%= 30% - сухого вещества содержит свежескошенная трава. 4) х кг – 100% 840 кг – 30% х =  2800 (кг) = 2,8 тОтвет: 2,8 т. Задача 2:Перерабатывая цветочный нектар в мед, пчелы освобождают его от значительной части воды. Нектар содержит 70% воды, а мед 16%. Сколько килограммов нектара надо переработать для получения 1 кг меда? Решение: 1) 100%- 16% = 84% - чистый мед. 2) х кг – 84% 1 кг – 100% х =  0,84 (кг) чистый мед3) 100% - 70% = 30% чистый мед в нектаре. 4) х кг – 100% 0,84 – 30% х =  (кг) нектараОтвет: 2,8 кг. Задача 3: В драматическом кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков? Решение: Пусть х – девочек, тогда мальчиков: х – 100% у – 80% у =  х – мальчиков0,8х – 100% х – z% z=  Ответ: 125% девочек от числа мальчиков. Задача 4: Под кукурузу отвели участок поля в форме прямоугольника. Через некоторое время первоначальную длину участка увеличили на 35%, а ширину уменьшили на 14%. На сколько процентов изменилась площадь участка? Решение: Пусть х ед. – ширина, а длина – у ед. Тогда первоначальная площадь участка равна – ху. По условию задачи длину увеличили на 35%, найдем новую длину: у- 100% у  - 135%у  (ед)По условию ширина уменьшилась на 14%, найдем новую ширину: х ед. – 100% хн ед. – 86% хн =  0,86х (ед)Найдем новую площадь: 1,35у  х=1,161хуху – 100% 1,161ху – а% а=  3) 116,1%-100%= 16,1% На 16,1% изменилась площадь участка. Задача 5: Свежие грибы содержат 90% влаги, сушенные 12%.Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих? Решение: 1) 100 % - 90 %=10 % - сухого вещества в свежих грибах. 2) 10 кг свежих – 100 % х кг сухого – 10 %  сухого вещества в 10 кг свежих грибов.3) 100% - 12%=88 %- сухого вещества в сушеных грибах. 4) 1 кг – 88% у кг – 100%  Ответ:  кг сушеных грибов получится из 10 кг свежих.Задача 6: Сколько белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при переработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов? Решение: При переработке свежих грибов – 50% их массы При сушке – 10% массы обработанных грибов; Пусть х кг нужно собрать х кг – 100% у кг – 50%  у кг - 100% 1 кг - 10%  Х=2∙10=20 (КГ) Ответ: 20 кг нужно собрать ,чтобы получить 1 кг сушеных грибов. Задача 7: Бригада косарей в первый день скосили половину луга и еще 2 га, а во втором день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга. Решение: 1 день – половину луга и 2 га. 2 день – 25% оставшейся части и 6 га, оставшиеся. 100% - 25%= 75% - оставшееся часть поля во 2 день. х га – 100% 6 га – 75%  - осталось скосить после первого дня.По условию задачи другая половина больше 8 га на 2 га, т.е. 10 га – половина луга 10га∙2 = 20 (га) -весь луг. Ответ: 20га. Приложение 5 Задача 1: Участок леса содержит 96% сосен. Лесозаготовительная компания планирует вырубить на этом участке 150 сосен, в результате чего их содержание понизится до 95%. Сколько сосен останется на участке? Следует обратить внимание на типичную ошибку при решении таких задач. Первоначально, кажется, что 150 сосен – это и есть 1%, который вырубили. Решение: Составим блок-схему. Сосны 95% Сосны 96% - 150 =  х х-150Опишем задачу: Пусть х всего деревьев в лесу до вырубки. Тогда (х-150) деревьев в лесу после вырубки 150 сосен. Сосен в лесу было 0,96х, а стало 0,95(х-150). Составим и решим уравнение. 1. 0,96х – 150 = 0,95(х-150) 0,96х – 150 = 0,95х – 0,95∙150 0,96х- 0,95х = 150(1 – 0,95) 0,01х = 150∙0,05 умножим на 100 х = 150∙5 х = 750(деревьев) было в лесу 0,95(750-150)=  (сосен) стало в лесу.Ответ: 570 сосен. Задача 2: В свежих грибах было 90% воды. Когда их подсушили, то они стали легче на 15 кг при влажности 60%. Сколько было свежих грибов? Решение. Пусть х кг – свежих грибов, тогда х кг – 100% у кг – 90% у кг =  х кг – воды в свежих грибах.После сушки грибы стали легче на 15 кг, значит, воды в них стало (0,9х-15) кг, что составляет 60%. По условию грибы стали легче на 15 кг, значит, общая масса подсушенных грибов (х-15) кг (0,9х-15)кг – 60% (х -15)кг – 100%  (0,9х-15)  = (х-15) 9х -150=6х -90 9х – 6х=-90+150 3х=60 х=60:3 х=20 20 кг – было свежих грибов. Ответ:20 кг. Задача 3: Имеется 735 г 16% -ного раствора йода в спирте. Нужно получить 10%-ный раствор йода. Сколько граммов спирта надо долить для этого к уже имеющемуся раствору? Решение. Найдем массу йода в 16%- нам в растворе: 735 г – 100% х г – 16% х=  (г) – чистого йода в этом растворе.Пусть х г – спирта надо долить, тогда общая масса (735+х) г. Масса йода в этом растворе не меняется, но составляет 10%. Составляем пропорцию: (735+х) г – 100% 117,6 г – 10% (735+х) = 117,6 735+х = 1176 х = 1176-735 х = 441 441 г – спирта надо долить для того, чтобы раствор стал 10%-ным. Ответ:441 г. Задача 2: Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем? Решение. ?, на 80 орехов больше, чем в третьем. ?, 10% больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. ? Пусть х – орехов было в первом ящике, z – орехов во втором ящике: х – 100% z – 110% z=  Пусть у орехов было в третьем ящике. у – 100% z – 130% z =  По условию в первом на 80 орехов больше, чем в третьем. Составим два уравнения:  Решим систему уравнений:  11  = 13у880+11у = 13у 11у – 13у= -880 - 2у = -880 у = -880: (-2) у = 440 440 – орехов в третьем ящике х = 80+440 х = 520 520 орехов в первом ящике.  572 ореха во втором ящике. Ответ: 520, 572, 440 орехов. Задача 3:После ведения санитарной обработки на базе отдыха количество мух уменьшилось на 9%, а количество комаров – на 4%. В целом количество насекомых уменьшилось на 5%. Сколько процентов от общего числа насекомых составляли комары? Решение: Пусть х – было мух, у- было комаров. 0,91х – стало мух после обработки. 0,96у – стало комаров после обработки 0,95(х+у) – стало насекомых после обработки. Уравнение: 0,91х+0,96у=0,95(х+у) 0,91х+0,96у=0,95х+0,95у 0,96у-0,95у=0,95х-0,91х 0,01у=0,04х у=4х – следовательно, общее число насекомых 5х, а комаров было 80 % от общего числа насекомых. Задача 4: В библиотеке книги на английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36% от всех книг на иностранных языках, книги на французском языке – 75% от книг на английском языке, на немецком языке 185 книг. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке? Решение: Пусть х книг всего было на иностранных языках, тогда:  (книг) на английском языке; (книг) на французском; по условию задачи на немецком языке – 185 книг, зная, что всего книг х, составим и решим уравнение: 36х+27х+18500=100х 36х+27х-100х=-18500 63х-100х=-18500 -37х=-18500 х=-18500:-37 х=500 500 книг было всего. Ответ:500 книг. Задача 5: В смеси ацетона и воды ацетона в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20 литров воды, получили смесь с процентным содержанием ацетона 12%. Сколько литров ацетона было в смеси первоначально? Решение: Вся смесь 5х – 100 % Вода 4х – у % у =  Ацетона – 20 % Пусть х литров раствора первоначально, тогда ацетона 20% - 0,2 х литров, После добавления воды, количество ацетона не меняется, но общий вес раствора (х+20) литров. Составим пропорцию: (х + 20) лит. – 100 % 0,2 х лит. – 12 %  (х+20)12 = 0,2х  12 х+240 = 20х 12 х-20 х = -240 -8 х = -240 х= 30 30 лит. – 100 % у лит. – 20 % у =  лит.Ответ: 6 литров ацетона было в растворе первоначально. |