Курсовая работа Дианы. Содержание Введение Индукция в геометрии теоретические аспекты Практическое применение темы индукция в геометрии заключение Список использованных источников введение

• Название: Содержание Введение Индукция в геометрии теоретические аспекты Практическое применение темы индукция в геометрии заключение Список использованных источников введение
• Дата: 04.03.2023
• Размер: 5.98 Mb.
• Имя файла: Курсовая работа Дианы.doc
• Тип: Реферат; #968316
• страница: 3 из 3

Задача №5. Доказать, что для n-го члена геометрической прогрессии { } со знаменателем q справедлива формула bn =  .

Решение:

Доказательство проводим методом математической индукции по натуральному параметру  n.

1)   (истина);

2) Предположим, что формула справедлива для всех натуральных значений  n от 2 до k включительно, т. е. 

3)    _,  (истина)

Согласно принципу математической индукции, можно сказать, что рассматриваемая формула верна для любого натурального n.

Задача №6. Доказать, что при каждом натуральном  n  число    делится на 6.

Решение:

Обозначим число  . Надо доказать, что  делится на 6 при любом натуральном n:

1)    (истина);

2)    (предположение);

3)  

 (по предположению),

Если мы сумеем доказать, что  , то тогда можем утверждать, что          , т. е.3 и 2 взаимопростые числа.

Это доказательство проведем также методом математической индукции:

1. 
   ;
   

2. 
    (предположение);
   

3) 



 (по предположению);

 (по свойствам делимости).

Тогда   (по свойству делимости).

Итак,    и 2. Следовательно,  .

Согласно методу математической индукции, мы можем сказать, что число    делится на 6 для любого натурального значения n.
Задача №7. Доказать, что при каждом натуральном n справедлива формула 

Решение:

1)   ; 1 = 1(истина);

2)    (предположение).

3)  ,  .

Чтобы доказать, что А = В, мы можем:

1. 
   с помощью тождественных преобразований перевести А в В;
   

2. 
   с помощью тождественных преобразований перевести В в А;
   

3. 
   с помощью тождественных преобразований перевести А в С;
   

4. 
   с помощью тождественных преобразований перевести В в С;
   

Воспользуемся приемом (3)



 .

Согласно принципу математической индукции, делаем вывод:

 при     N.

Таким образом, доказательство - предположим противное, то есть предположим, что утверждение справедливо не для всякого натурального n. Тогда существует такое натуральное m, что:

1) утверждение для n=m несправедливо,

2) для всякого n, меньшего m, утверждение справедливо (иными словами, m есть первое натуральное число, для которого утверждение несправедливо).

Очевидно, что m>1, т.к. для n=1 утверждение справедливо (условие 1). Следовательно, – натуральное число. Выходит, что для натурального числа утверждение справедливо, а для следующего натурального числа m оно несправедливо. Это противоречит условию 2.

Заметим, что в доказательстве использовалась аксиома о том, что в любой совокупности натуральных чисел содержится наименьшее число [8].

Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называется методом полной математической индукции.

2.3 Построение по индукции

Задача №8. На плоскости даны п точек. Построить n-угольник, стороны которого являются основаниями равнобед­ренных треугольников с вершинами в данных п точках и углами при вершинах ).

Решение:

Мы будем считать, что некоторые из углов могут быть и больше 180°, условившись, что при соответствующий равнобедренный треугольник обращен во внешнюю сторону по отношению к многоугольнику, а при — во внутреннюю сторону (причем Угол при вершине в этом Случае равен 360° - ).

1° Пусть n = 3. Допустим, что задача решена, x_1,x_2,x₃— вершины искомого треугольника, A₁,A₂,A₃— заданные вершины построенных на его сторонах равнобедренных треугольников с углами при вершинах (рисунок 4 ).

При повороте плоскости вокруг точки А₁на угол (условимся считать, что все повороты производятся против часовой стрелки) вершина х₁перейдет в х₂, при повороте вокруг точки А₂на угол вершина х₂перейдет в x₃.

Оба эти поворота, последовательно выполненные один за другим, равносильны одному повороту на угол вокруг некоторой точки A, которую можно построить по точкам А₁и A₂ и углам и следующим образом: на отрезке А₁ А₂про точках A₁и А₂строим углы и точка А пересечения вторых сторон этих углов и будет центром результирующего пово­рота на угол .

При этом результирующем повороте вершина х₁переходит в x₃. Следовательно, вершина х₃переходит в х₁при повороте вокруг точки А на угол 360° - .

По точкам А и A₃, если они не совпадают (что может иметь место, лишь если ), можно построить сто­рону х₁ х₃. Для этого на отрезке АA₃по обе стороны от точек А и A₃ строим соответственно углы

и .

Точки пересечения сторон этих углов и будут вершинами х₁и х₃искомого треугольника. После этого нетрудно построить и вершину x₂.

При (когда точка А совпа­дает с A₃) решение задачи является неопределенным.

Рисунок 4
2° Предположим, что мы умеем строить n-угольник по вершинам построенных на его сторонах равнобедренных тре­угольников с заданными углами при вершинах, и пусть тре­буется построить. (n-1)-угольник по вершинам A_1,A₂,…, A_n,A_n+1 построенных на его сторонах равнобедренных треугольников с углами при вершинах.

Пусть х₁ х₂. . . х₁ х_nx_n+1 - искомый (п+1)-угольник (рисунок 4 б), Рассмотрим треугольник х₁ х_nx_n+1. Как в п. 1°, по известным вершинам А_nи А_n+1равнобедренных треугольников хnА_nх_n+1и х_n+1А_n+1х₁, построенных на сторонах x_nх_n+1и x_n+1x_1,можно найти вершину А равнобедренного треугольника х₁ Ах_n, построенного на диагонали х₁ х_nи имеющего угол при вершине, равный 360°— ( ).

Этим наша задача сводится к задаче о построении n-угольника x₁ x₂…x_nпо вершинам А₁ А₂... А_n-1 А построенных на его сторонах равнобедренных треугольников с известными углами при вершинах.

В силу индуктивного предположения n-угольник х₁ х₂, ... , х_nможет быть построен, после чего уже нетрудно построить и иско­мый (n+1)-угольник x₁x₂…x_nx_n+1.

При решение задачи является невозможным или неопределенным.

Таким образом, применение метода математической индукции к решению задач на построение может иметь место в том случае ... условии задачи фигурирует некоторое целое положительное число п (например, в задачах на построение n-угольников) [10].

Заключение
В теоретической части курсовой работы, для изложения сути метода математической индукции и её доказательств нами были введены некоторые определения, обозначения и понятия из математической логики и теории множеств. Приведены теоремы и доказательства к ним.

В практической части курсовой работы нами были рассмотрены примеры решения задач по следующим темам: вычисление по индукции, доказательство по индукции и построение по индукции.

Важно - уметь размышлять индуктивно. Очевидно, что  применение  метода математической  индукции  очень широко в разных разделах  математики   школьного   курса . В частности, его применяют:

1) в задачах на суммирование и для доказательства тождеств;

2) к доказательству неравенств;

3) к задачам на делимость;

4) для изучения свойств числовых последовательностей;

5)  в   геометрии :

• 
  для вычисления по  индукции ;
  
• 
  для доказательства по  индукции ;
  
• 
  для построения по  индукции ;
  
• 
  для нахождения геометрических мест по  индукции ;
  
• 
  для определения по  индукции ;
  
• 
  для  индукции  по числу измерений.
  

Метод математической индукции обучает искусству делать индуктивные предположения и является одним из методов решения олимпиадных задач.

Приобретение опыта решения задач с использованием метода математической индукции помогает повысить уровень логической культуры.


Список использованных источников

1. 
   Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М., Изд-во Просвещение, 1976. 48 с.
   
2. 
   Головина Л.И., Яглом ИМ. Индукция в геометрии. - М.: Наука, 1961. 120 с. (Популярные лекции по математике.)
   
3. 
   Генкин Л. О математической индукции. / под ред. Яглома И.М.. – М.: Физмат-лит., 1962. 36 с. (серия «Математическая библиотека).
   
4. 
   Рубанов И.С. Как обучать методу математической индукции/ Математика школе. - № l. 1996. С.14-20.
   
5. 
   Соломинский И.С., Головина Л.И., Яглом И.М. О математической индукции. - М.:Наука. - 1967. С.7-59.
   
6. 
   Соминский И.С. Метод математической индукции. – М.: Наука, 1965 – 56 с. с ил. (Серия «Популярные лекции по математике»).
   
7. 
   Шень А. Математическая индукция. – М.: МЦНМО, 2004. 36 с.
   
8. 
   Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. / Под редакцией Г.Н. Яковлева. – М.: Гл. ред. «Физ.-мат. лит.», 1982. 480 с.
   
9. 
   «Математика. Алгебра. Начало математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса». / Шабунин М.И., Прокофьев А.А. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2007. 424 с.
   
10. 
    «Математика. Алгебра. Начало математического анализа. Профильный уровень: задачник для 10 и 11 классов. / М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний. 2009. 477 с.