Курсовая работа Дианы. Содержание Введение Индукция в геометрии теоретические аспекты Практическое применение темы индукция в геометрии заключение Список использованных источников введение

• Название: Содержание Введение Индукция в геометрии теоретические аспекты Практическое применение темы индукция в геометрии заключение Список использованных источников введение
• Дата: 04.03.2023
• Размер: 5.98 Mb.
• Имя файла: Курсовая работа Дианы.doc
• Тип: Реферат; #968316
• страница: 1 из 3

Содержание

Введение………………..………………………………………………….….3.

1. «Индукция в геометрии» теоретические аспекты…………………….5.

2. Практическое применение темы « индукция в геометрии» ……..……13.

Заключение………………………………………..………………….……....25.
Список использованных источников ………….………………..…………26.

Введение
В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.

Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока.

Поэтому можно быть уверенным, что и завтра оно появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине движения Солнца по небу (более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар). И, тем не менее, этот индуктивный вывод правильно описывает те наблюдения, которые мы проведем завтра.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Данная тема является сегодня актуальной, но хоть и выросла область применения метода математической индукции, в школьной программе ему отводится мало времени. Но что полезного человеку принесут те два-три урока, за которые он услышит пять слов теории, решит пять примитивных задач, и, в результате получит пятёрку за то, что он ничего не знает.

А ведь это так важно - уметь размышлять индуктивно [1].

Цель работы: обобщить и адаптировать материал по теме «Индукция в геометрии» к школьному курсу математики.

Для достижения поставленной цели сформулируем и решим следующие задачи:

1)дать теоретическое обоснование основных положений темы «Индукция в геометрии».

2) решить серию задач для школьников по теме «Индукция в геометрии».
Отчет состоит из введения, двух разделов, заключения и списка использованных источников.

Степени разработанности темы: Метод математической индукции позволяет в поисках общего закона проверить возникающие при этом гипотезы, отбрасывать ложные и формулировать истинные. Данной тематике посвящён широкий ряд научных статей и диссертационных исследований. В них входят исследования Соминского И.С. [5], Головиной Л.И. [5], Яглом И.М. [5], Генкина Л. [3], Кутасова А.Д. [8], Пиголкиной Т.С. [8], Чехлова В.И. [8], Яковлевой Т.Х. [8], и других. В ходе исследования мы планируем опираться на работы указанных исследователей.

1. «Индукция в геометрии» теоретические аспекты:

Для изложения сути метода математической индукции и её доказательства введём некоторые определения, обозначения и понятия из математической логики и теории множеств.

Определение 1. Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно говорить, что оно истинно или ложно. Они обозначаются заглавными латинскими буквами.

Определение 2. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А ложно. Обозначается . Читается как «не А», «неверно, что А».

Определение 3. Конъюнкцией высказываний А и В называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Обозначается . Читается как «А и В».

Определение 4. Дизъюнкцией высказываний А и В называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний А или В истинно. Обозначается . Читается как «А или В».

Определение 5. Импликацией высказываний А и В называется новое высказывание, ложное тогда и только тогда, когда А – истинно, а В – ложно. Обозначается . Читается как «из А следует В», «А влечёт за собой В», «из А вытекает В».

Определение 6. Эквиваленцией высказываний А и В называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывания А и В имеют одинаковое истинностное значение. Обозначается А В. Читается как «А эквивалентно В», «А тогда и только тогда, когда В», «А в том и только в том случае, когда В».

Определение 7. Множество – это совокупность объектов одной природы. Они обозначаются большими латинскими буквами. Элементы множества обозначаются малыми латинскими буквами.

Замечание 1. Высказывание «элемент а принадлежит множеству А» или «а – элемент множества А» символически записывается так: .

Определение 8. Объединением множеств А₁, А₂, …, А_n называется новое множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих какому-либо из данных множеств А₁, А₂, …, А_n и обозначаемое .

Определение 9. Пересечением множеств А₁, А₂, …, А_n называется новое множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно всем данным множествам А₁, А₂, …, А_n и обозначаемое .

Определение 10. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть. .

Определение 11. Множество А называется подмножеством множества В (А ), если .

Теорема 1. А = В А В .

Доказательство:

А = В А В . Что и требовалось доказать.

Определение 12. Выражение «существует» называется квантором существования, обозначается . Выражение «для всех» или «для любых» называется квантором общности и обозначается .

Определение 13. Множество E R называется индуктивным, если Х Е

Определение 14. Наименьшее индуктивное множество, содержащее 1, называется множеством натуральных чисел. Обозначается N.

Теперь, когда введены все необходимые определения, можно приступить к изучению сути метода математической индукции [2].

Теорема 2. (Принцип математической индукции). Пусть E N удовлетворяет условиям: 1) 1 ; 2) n n + 1 . Тогда = N.
Доказательство:

Из условия следует, что E индуктивно, следовательно, N E. Отсюда N = E.

Замечание 2. Принцип математической индукции формулируют часто следующим образом. Пусть некоторое свойство P(x) выполнено для x = 1, и из условия, что P(x) выполнено, следует, что P(x + 1) тоже выполнено. Тогда P(x) справедливо для

Определение 15. Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называется методом математической индукции.

Замечание 3. Такое доказательство необходимо должно состоять из двух частей, из доказательства двух самостоятельных теорем.

1. 
   Утверждение справедливо для n = 1.
   
2. 
   Если утверждение справедливо для n = k, то оно справедливо и для n = k + 1,
   

Если обе теоремы доказаны, то на основании принципа математической индукции утверждение справедливо .

В качестве примера докажем некоторые теоремы элементарной алгебры и комбинаторики.

Теорема 3. Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов, сложенной со всевозможными их удвоенными произведениями, т. е. ( )² = + 2(a₁a₂ + a₁a₃ + … + a_n-1a_n). (1)

Доказательство:

1. 
   Для n = 2 данная формула примет вид (a₁ + a₂)² = . Данная формула, известная ещё из школьного курса математики седьмого класса, называется квадратом суммы. Именно поэтому она очевидна.
   
2. 
   Допустим, что для n = k – 1 формула (1) верна, т. е. ( )² = + 2S, где S – сумма всевозможных попарных произведений, составленных из a₁, a₂, …, a_k-1. Докажем, что формула (1) верна для n = k, т. е. ( )² = + 2S₁, где S₁–сумма всевозможных попарных произведений, составленных из a₁, a₂, …, a_k. Несложно заметить, что S₁ = S + (a₁ + a₂ + … + a_k-1)a_k. Действительно, ( )² = [(a₁ + a₂ + … + a_k-1) + + a_k)² =(a₁ + a₂ + … + a_k-1)² + 2(a₁ + a₂ + … + a_k-1)a_k + = + 2S + + + 2(a₁ + a₂ + … + a_k-1)a_k = + 2S₁.
   

Таким образом, доказаны две теоремы, а значит имеет место равенство ( )² = + 2(a₁a₂ + a₁a₃ + … + a_n-1a_n). Что и требовалось доказать.

Докажем методом математической индукции теоремы, связанные с вычислениями n-ого члена арифметической и геометрической прогрессий.

Определение 16.Если по какому-либо правилу fставится в соответствие , то указанное соответствие называется функцией , заданной на множестве Х.

Определение 17. функцию вида называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью.

Определение 18. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d–разностью арифметической прогрессии.

Теорема 4.n-й член арифметической прогрессии может быть вычислен по формуле a_n = a₁ + (n – 1)d, где а₁ – первый член прогрессии.

Доказательство:

1. 
   При n = 1 получаем верное тождество: а₁ = а₁. Следовательно дляn = 1 формула верна.
   
2. 
   Предположим, что формула верна для n = k, т. е. a_k = a₁ + (k – 1)d. Теперь пусть n = k + 1. Тогда необходимо доказать, что a_k+1 = a₁ + kd. Действительно, a_k+1 = a_k+ d = a₁ + (k – 1)d + d = a₁ + kd. Что и требовалось доказать.
   

Теорема 5. Сумму nчленов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле S_n =

Доказательство:

1. 
   Пустьn = 1. S₁ = = . Получили верное равенство.
   
2. 
   Пусть данная формула верна для n = k, т. е. S_k = . Тогда докажем, что S_k+1 = . В самом деле = = = = S_k + = S_k + + = S_k + + + в = S_k + + в = S_k + = S_{k +1,} Что и требовалось доказать.
   

Замечание 4. Пользуясь теоремами 4 и 5, несложно убедиться в том, что S_n =

Определение 19.Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и тоже число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии [7].