Гипотезы теории чисел. Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число n можно разложить на простые множители

• Название: Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число n можно разложить на простые множители
• Анкор: Гипотезы теории чисел
• Дата: 06.10.2019
• Размер: 253.84 Kb.
• Имя файла: Гипотезы теории чисел.docx
• Тип: Документы; #88759
• страница: 2 из 4

uses System;

var

c, Sum, SumMin, pl: Integer;

p: array [0..50000000] of integer; //массив найденных простых чисел

dt, dt1: DateTime;
//функция Лиувилля

function Liouville(n1: Integer): Integer;

var

Counter, i, n, ll: Integer;

begin

n := n1;

Counter := 0;

ll := 1;

while (n > 1) do

begin

i := p[ll - 1];// делим на простые числа

while (i <= n) do

begin

if (n mod i) = 0 then

begin

n := n div i;

counter := counter + 1;

break;

end;

if (i * i > n) or (ll >= pl) then // до корня из n

begin

i := n;

end

else

begin

i := p[ll]; // к следующему простому

ll := ll + 1;

end;

end;

end;

if (Counter mod 2) = 0 then

Result := 1

else

Result := -1;

if (Counter = 1) and (n1 <> 2) then

begin

p[pl] := n1; // найденное простое число в массив простых чисел

pl := pl + 1;

end;

end;
begin

c := 2;

Sum := 1;

SumMin := 1;

p[0] := 2;

pl := 1;

dt := DateTime.Now;

while true do

begin

Sum = Sum+Liouville(c);

if Abs(Sum) > SumMin then

begin

WriteLn('N=', c, ' L(N)=', Sum);

SumMin := Abs(Sum)

end;

if Sum > 0 then

begin

WriteLn('Контрпример к гипотезе Пойа N=', c, ' L(N)=', Sum);

dt1 := DateTime.Now;

WriteLn('Время расчета: ', dt1 - dt);

Exit;

end;

c := c + 1;

end;

end.

Еще немного математики :



радикал числа n - rad(n).
Область определения - простые числа.

Область значений - простые числа.
где — простые числа, входящие в разложение n на простые множители.
Примеры:

rad(30)=2*5*3=30 rad(40)=2*5=10 rad(693)=3*7*11=231 rad(650)=2*5*13=130 rad(1024)=2

Понятно что rad(n) ≤ n
Более известна, чем функция Луивилля, очень похожая на нее, функция Мёбиуса - μ(n)
Область определения - простые числа.

Область значений - [-1;0;1]
Если rad(n)

Если rad(n)=n, и содержит четное число простых множителей, то μ(n)=1;

Если rad(n)=n, и содержит нечетное число простых множителей, то μ(n)=-1;

μ(1)=1;
Пример:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
μ(n)	1	-1	-1	0	-1	1	-1	0	0	1	-1	0	-1	1	1	0	-1	0

Функция Мертенса M(n), это накопленное значение функции Мёбиуса.

Сумма всех значений функции Мебиуса до n.



Область определения - простые числа.

Область значений - целые числа.

Пример:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
M(n)	1	0	-1	-1	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-2	-1	-3	-2	-1	-1	-2	-2

Функция M(n) весьма нерегулярна - она совершает колебания в обе стороны вокруг нулевого значения, проходя 0 в n=2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254 …

некоторые другие значения функции Мертенса:

n	1000	2000	3000	10000
M(n)	2	5	-6	-23	212	−3195437	461113106	−2061910120

для всех n верно, что
Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех