Гипотезы теории чисел. Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число n можно разложить на простые множители
![]()
|
uses System; var c, Sum, SumMin, pl: Integer; p: array [0..50000000] of integer; //массив найденных простых чисел dt, dt1: DateTime; //функция Лиувилля function Liouville(n1: Integer): Integer; var Counter, i, n, ll: Integer; begin n := n1; Counter := 0; ll := 1; while (n > 1) do begin i := p[ll - 1];// делим на простые числа while (i <= n) do begin if (n mod i) = 0 then begin n := n div i; counter := counter + 1; break; end; if (i * i > n) or (ll >= pl) then // до корня из n begin i := n; end else begin i := p[ll]; // к следующему простому ll := ll + 1; end; end; end; if (Counter mod 2) = 0 then Result := 1 else Result := -1; if (Counter = 1) and (n1 <> 2) then begin p[pl] := n1; // найденное простое число в массив простых чисел pl := pl + 1; end; end; begin c := 2; Sum := 1; SumMin := 1; p[0] := 2; pl := 1; dt := DateTime.Now; while true do begin Sum = Sum+Liouville(c); if Abs(Sum) > SumMin then begin WriteLn('N=', c, ' L(N)=', Sum); SumMin := Abs(Sum) end; if Sum > 0 then begin WriteLn('Контрпример к гипотезе Пойа N=', c, ' L(N)=', Sum); dt1 := DateTime.Now; WriteLn('Время расчета: ', dt1 - dt); Exit; end; c := c + 1; end; end. Еще немного математики : радикал числа n - rad(n). Область определения - простые числа. Область значений - простые числа. Примеры: rad(30)=2*5*3=30 rad(40)=2*5=10 rad(693)=3*7*11=231 rad(650)=2*5*13=130 rad(1024)=2 Понятно что rad(n) ≤ n Более известна, чем функция Луивилля, очень похожая на нее, функция Мёбиуса - μ(n) Область определения - простые числа. Область значений - [-1;0;1] Если rad(n) Если rad(n)=n, и содержит четное число простых множителей, то μ(n)=1; Если rad(n)=n, и содержит нечетное число простых множителей, то μ(n)=-1; μ(1)=1; Пример:
Функция Мертенса M(n), это накопленное значение функции Мёбиуса. Сумма всех значений функции Мебиуса до n. Область определения - простые числа. Область значений - целые числа. Пример:
Функция M(n) весьма нерегулярна - она совершает колебания в обе стороны вокруг нулевого значения, проходя 0 в n=2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254 … некоторые другие значения функции Мертенса:
для всех n верно, что Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех |