СОПРОМАТ. Сопротивление материалов. Введение
 Скачать 1.44 Mb.
|
|
цилиндр радиусом R 1 лежит на вогнутой ци- линдрической поверхности радиусом R 2 или шар ради- уса R 1 находится на дне вогнутой сферической поверхно- сти радиуса R 2 , то для определения σ max можно воспользо- ваться формулами Для цилиндра 2 1 1 2 max 418 , 0 R R R R pE Для шара 3 2 2 1 1 2 2 max 388 , 0 R R R R FE 28 Устойчивость сжатых стержней. Формы равновесия. Равновесие абсолютно твердого тела может быть трех видов: 1) устойчивое равновесие; 2) безразличное; 3) неустойчивое. Аналогичные примеры можно привести и из области равновесия деформирую- щихся тел. Если по каким-либо причинам упругое тело или конструкция при отклонении из равновесного положения не возвращается к исходному, то говорят, что произошла по- теря устойчивости. Например: имеется стержень, на конце которого закреплен груз массой G. 1 случай: после отклонения стержень легко возвращается в первоначальную форму; 2. стержень так же возвращается к первоначальной форме, но уже с трудом; 3. при короткой нагрузке G 3 стержень изогнется, и прямолинейная форма устойчи- вого равновесия перейдет в криволинейную форму. Если теперь стержень замкнуть еще больше после нескольких колебаний, то он займет исходное положение в изогнутом виде. Максимальная сжимающая нагрузка F крит при которой прямолинейная форма стержня устойчива, называется критической силой. Смысл расчета на устойчивость сжа- тых стержней заключается в том, чтобы он при некотором значении осевой нагрузки F сохранял устойчивость с некоторым запасом. Допускаемая сжимающая сила должна быть в несколько раз меньше критической. Это условие устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня можно представить в виде ] [ ] [ уст кр n F F где [F]—допускаемое значение силы, сжимающей стержень, F KP - критиче- ское значение сжимающей силы для рассчитываемого стержня; [n уст ] - норматив- ный (требуемый) коэффициент запаса устойчивости. 29 Очевидно, что при потере устойчивости стержень изгибается в плоскости наимень- шей жесткости, т. е. каждое из его поперечных сечений поворачивается вокруг той из главных осей, относительно которой момент инерции минимален, поэтому в формулу Эйлера (109) входит величина J min . Шарнирное закрепление обоих концов стержня принято называть основным случаем продольного изгиба. При других способах закрепления концов стержня можно получить формулу для критической силы путем сопоставления формы изогнутой оси данного стержня с формой, которая получается у стержня с шарнирно-закрепленными концами. μ=1 μ=2 μ=0,7 μ=0,5 В формулу Эйлера вводится приведенная длинна стержня ℓ пр = μℓ соответствующую картине деформирования (рис. 109 и 110), тогда она примет вид 2 min 2 2 min 2 ) ( I Е I Е F пр кр где μ - коэффициент приведения длины. Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, также называется критическим. Определим критическое напряжение σ кр исходя из формулы Эйлера S Е S F кр кр 2 min 2 ) ( I Отношение момента инерции к площади равно квадрату радиуса инерции: 2 min min i S I . После подстановки этого значения формула критического напряжения может быть пере- писана в следующем виде: 2 min 2 2 ) ( i Е кр . Вводится обозначение min i - гибкости стержня; как частное от деления двух величин, каждая из которых имеет размерность длины. Чем больше гибкость λ, тем меньше критическое напряжение, тем меньше критиче- ская сила которая вызовет продольный изгиб стержня. 2 2 Е кр 30 Предел применимости формулы Эйлера. Формула Эйлера справедлива лишь при больших гибкостях, превышающих не- которое предельное значение, при которомнапряжения в стержне достигнут предела пропорциональности σ пц : пц 2 2 пред кр Е , откуда пц пред Е 2 Для стержней из малоуглеродистой стали формула Эйлера справедлива при гибко- стях более λ пред =100, для деревянных стержней λ пред =75, для чугунных стержней λ пред =80 и т. п. На практике приходится иметь дело со сжатыми стержнями, гибкость которых меньше предельной. В таких случаях формулу Эйлера использовать нельзя. Для расчета сжатых стержней, когда формула Эйлера оказывается неприменимой, приходится поль- зоваться эмпирическими формулами. Для расчетов используется формула Ясинского b - a крит где а и b - коэффициенты, характеризующие качество материала (значения табл.). Для стали марки Ст3 при гибкости 60≤λ≤100 формула Ясинского имеет вид 1,2 - 04 3 крит Если критическое напряжение, вычисленное по формуле Ясинского, оказывается выше предела текучести σ т , то опасна не потеря устойчивости, а появление значительных остаточных деформаций. В этом случае под критическим напряжением следует понимать предел текучести, т.е. σ кр =σ т ; это имеет место для стальных стержней малой гибкости при λ<60. На рис. приведен график, характеризующий зави- симость критического напряжения от гибкости для стержней из стали Ст3. Стержни, для которых справедлива формула Эй- лера, называют стержнями большой гибкости. Стержни, для которых справедлива формула Ясин- ского, называют стержнями средней гибкости. Нако- нец, в случае, когда критические напряжения, вычис- ленные по формуле Ясинского, превышают предел те- кучести, имеем стержни малой гибкости. Для них кри- тические напряжения также приравнивают пределу текучести. Для тех случаев, когда формула Эйлера неприменима и критическое напряжение определяют по эмпирическим зависимостям, допускаемую сжимающую силу вычисляют по формуле ] [n S ] [ yсс кр F 31 32 Пластины и оболочки. Большинство элементов инженерных конструкций в расчетной схеме, подлежащих расчету на прочность, связаны с расчетом бруса, пластинок или оболочек. Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значи- тельно меньше двух других. К оболочкам или пластинам можно отнести: в машиностроении - это корпуса все- возможных машин; в кораблестроении - корпуса судов, сухих и плавучих доков; в ж\д транспорте кузова вагонов, цистерны и т.д. Геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности. Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной. Если срединная поверхность оболочки образует поверхность вращения в форме ци- линдра, то оболочку называют цилиндрической. Задача о расчете тонкостенных оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда возможно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует. Теория оболочек, построен- ная в этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек. Чем меньше отношение толщины h оболочки к ее радиусу R, тем точнее выполня- ется предположение о постоянстве напряжений по толщине и тем более точно выполня- ются расчеты по безмоментной теории. Оболочка считается тонкой (ГРАНИЦА – условная), если 20 1 R h Тонкостенная осе-симметричная оболочка Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая форму тела вра- щения толщина, которой мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности (рис.16.1). При расчете тонкостенных оболочек все нагрузки, действующие на них, приклады- вают к срединной поверхности оболочки. К тонким оболочкам могут быть отнесены такие часто встречающиеся элементы конструкций как резервуары, цистерны, газовые баллоны, корпуса аппаратов химиче- ских агрегатов и др. При расчете таких элементов конструкций используется безмоментная теория оболочек, основные допущения которой заключаются в следующем: 1. нагрузки, действующие на поверхности оболочки, считаются перпендикуляр- ными срединной поверхности и симметричными относительно оси вращения оболочки; 2. вследствие малой толщины оболочки изгибающий момент не возникает; 3. напряжения по толщине стенки оболочки распределены равномерно. Из оболочки, изображенной на рис.16.1 выделим двумя смежными плоскостями nn 1 n 2 и nn 3 n 2 , (т.е. плоскостями проходящими через ось симметрии оболочки), с углом d 33 между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки BC и AD, элемент ABCD. Радиусы кривизны элемента ABCD в меридиональной плоскости обозначим через ρ m , а радиусы кривизны в плоскости, перпендикулярной меридиану, обозначим через ρ t ,. Нормальные напряжения, действующие по боковым граням AB и CD, соприкасающимся с меридиональными плоскостями, называются окружными напряжениями t . Нормаль- ные напряжения, действующие по боковым граням BС и AD, называются меридиональ- ными напряжениями m . Кроме напряжений m и t на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления q, перпендикулярного поверхности ABCD. Равнодействующая сила от давления q определится как q·AB·CD; Равнодействующая сила от напряжения m определится как m ·δ·BC; Равнодействующая сила от напряжения t определится как t ·δ·AB. После проецирования данных сил на нормаль к поверхности O 1 K и необходимых математических преобразований получим: q t t m m где - толщина оболочки. Это основное уравнение безмоментной теории оболочек или уравнение Лапласа. Второе уравнение равновесия можно получить, рассмот- рев равновесие нижней части резервуара с сечением радиуса r, ортогональным к оси вращения сосуда. В этом случае давле- ние жидкости в отрезанной части сосуда p, ее собственный вес G ж и вес самого отсеченного резервуара G р будут уравновеши- ваться меридиональными напряжениями на грани отсеченной части: 34 𝜎 𝑚 = 𝑝 ∙ 𝑟 2 ∙ 𝛿 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐺 ж + 𝐺 р 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝛿 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 Данное выражение часто именуется уравнением равновесия зоны или просто урав- нением зоны. При изучении напряжений и деформаций в оболочках можно выделить следующие различиях, вызванных наличием газа или жидкости внутри оболочки. - В случае газового давления величина давления q постоянная во всех точках по- верхности оболочки. - Для резервуаров, наполненных жидкостью, значение q по их высоте переменно. Для случая наполнения резервуара жидкостью необходимо учитывать, что если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то вертикальные составляющие сил давления равны весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью. Поэтому давление жидкости в различных сечениях оболочки будет различным, в отличие от дав- ления газа. Примеры определения напряжений в тонкостенных сосудах. Пример 1. Пусть имеется сферическая оболочка радиусом R и толщиной , которая находится под действием внутреннего давления р. Определить напряжения, возникающие в оболочке. Благодаря симметричности сосуда ρ m = ρ t = ρ Из условия полной симметрии оболочки следует t m Согласно формуле Лапласа, имеем p отсюда следует: 2 p t m Напряженное состояние для свободно выбранного элемента сферы является двухос- ным, т.е. 2 2 1 p ; 0 3 , а следовательно эквивалентное напряжение по теории Мора: 2 3 1 p k экв Пример 2. Пусть имеется цилиндрический сосуд, который находится под действием внутреннего давления р. Радиус цилиндра r, толщина . Определить напряжения, возни- кающие в цилиндре. Для цилиндрической части сосуда имеем: ρ t =r; ρ m = ∞; α=0. 35 Из уравнения Лапласа 0 m m p t t , преобразуя получим r p t Из уравнения равновесия зоны (при 𝐺 ж + 𝐺 р = 0): 𝜎 𝑚 = 𝑝 ∙ 𝑟 2 ∙ 𝛿 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐺 ж + 𝐺 р 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝛿 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑝 ∙ 𝑟 2 ∙ 𝛿 т.е. окружное напряжение оказывается вдвое большим меридионального. Если выделить некоторый элемент из оболочки, то можно сказать, что он находится в двухосном напряженном состоянии, т.е. t 1 ; m 2 ; 0 3 . Исходя из этого эквива- лентное напряжение по теории Мора можно найти, как: r p k экв 3 1 Таким образом, для цилиндра эквивалентное напряжение оказывается в два раза боль- шим, чем для сферической оболочки того же радиуса и той же толщины. Связь напряжения и давлений на оболочки Теорема: Если на какую-либо поверхность дей- ствует равномерно распределенное давление, то, неза- висимо от формы поверхности, проекция равнодей- ствующей сил давления на заданную ось равна произ- ведению давления р на площадь проекции поверхности к плоскости, перпендикулярной заданной оси. Задана поверхность S, на которую действует рав- номерно распределенное давление р. Требуется опреде- лить проекцию на ось х равнодействующей сил давле- ния. Проекция давления p х равна dS p p s x cos , где - угол между нормалью к по- верхности и осью х. Площадь проекции элемента dS на плоскость Z, перпендикулярную к оси x, равна cos ' dS dS . Следовательно, ' ' pS dS p p s x Таким образом, для того чтобы определить проекцию равнодействующей сил давле- ния на ось x, нужно предварительно спроецировать поверхность на плоскость Z, а затем умножить давление на площадь этой проекции. Теорема: Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то верти- кальная составляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью. Вертикальная составляющая сил давления для площадки dS, равна произведению давления, действующего на эту площадку, на проекцию площадки на уровень жидкости, 36 т.е. pdS'. Так как y p , где γ-плотность жидкости, то верти- кальная сила, действующая на площадку dS, будет ' dS y F Но ydS’ - объем элементарной призмы, расположенной над площадкой dS. Суммарная искомая сила, следовательно, будет равна весу жидкости в объеме, расположенном над по- верхностью S. Следует иметь ввиду, что найденная сила не зависит от формы сосуда, удерживающего жидкость. Например, в сосудах, при равных объемах. сила, приходящаяся на дно сосуда, будет одной и той же, равной весу жидкости в объеме вышерасположенного цилиндра ABCD. СОПРОМАТ закончен. Спасибо за внимание |