СОПРОМАТ. Сопротивление материалов. Введение
 Скачать 1.44 Mb.
|
|
Объемные напряженные состояния. Обобщенный закон Гука. Возьмем параллелепипед с гранями a, b, c, который под- вергнут деформации в трех взаимно перпендикулярных плос- костях. В результате действующей нагрузки, длины ребер из- менились и стали равны: a a b b c c . Относительное удлинение в направлении главных напряжений будет равно a a 1 , b b 2 , c c 3 Каждое из относительных удлинений можно найти, ис- пользуя принцип суперпозиции. Относительное удлинение ребра a будет иметь вид: '' ' 1 '' 1 ' 1 1 E 1 ' 1 – относительное удлинение от напряжения σ 1 на ребро a; E 2 '' 1 – относительная поперечная деформация от напряжения σ 2 на ребро a; E 3 '' 1 – относительная поперечная деформация от напряжения σ 3 на ребро a; Е – модуль упругости 1 рода. После подстановки и преобразования получим: )] ( [ E 1 E E E 3 2 1 3 2 1 1 Аналогично можно получить значения ε 2 и ε 3 . В результате получим: )] ( [ E 1 )] ( [ E 1 )] ( [ E 1 2 1 3 3 3 1 2 2 3 2 1 1 Данная система есть – обобщенный закон Гука или закон Гука для объемного напря- женного состояния. Если принять равным нулю, одно из главных направлений, мы получим закон Гука для плоского напряженного состояния. А приняв равным нулю, два главных направле- ния, получим закон Гука для линейного напряженного состояния. 10 Сдвиг и кручение. Чистый сдвиг. Чистым сдвигом называют такое напряженное состоя- ние, когда на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения, а все прочие силовые фак- тор равны нулю. Пусть к брусу приложены перпендикулярные оси силы F сд , расположенные близко друг к другу. Выделим эле- мент abcd, воздействие этих сил приведет к перекашиванию прямых углов, и элемент займет положение ab'c'd. Абсолютный сдвиг элементарного отрезка bc относи- тельно ad, отстоящего от него на расстоянии h будет равен cc'=δ. Т.к. деформации весьма малы и практически не из- меняют начальных размеров тела, то можно записать, что относительный сдвиг: tg h / (1) На гранях выделенного элемента возникают каса- тельные напряжения, которые можно определить из от- ношения сдвигающей силы к площади поперечного сече- ния бруса S сд F (2) Относительная деформация и напряжения при сдвиге связываются законом Гука для сдвига, который имеет вид: G (3) где G – коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости второго рода. Он связан с модулем упругости первого рода, как: ) 1 ( 2 E G где μ – коэффициент Пуассона. Объединяя (1), (2), (3) можно получить еще одну форму записи закона Гука для сдвига S G h F сд Расчетные формулы при сдвиге легли в основу расчетов на срез, поэтому условия прочности записываются, как условия прочности на срез: ] [ S F ср max сд max ср Обычно допускается допускаемое напряжение на срез (0,5…0,6) от допускаемого напряжения на растяжения. 11 Кручение. Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором поперечных сече- ниях бруса возникают только T, а прочие силовые факторы равны нулю. При изучении кручения приняты следующие допущения: 1. Ось цилиндра, подвергнутого скручиванию, не деформируется; 2. Поперечные сечения цилиндра при кручении поворачиваются как жесткие диски, не претерпевая деформации сдвига в плоскостях стыка; 3. Равноотстоящие поперченные сечения поворачиваются один относительно дру- гого на равные углы; 4. При кручении цилиндра в его поперечных сечениях возникают только касатель- ные напряжения, все прочие силовые факторы равны нулю. Пусть имеется цилиндр, закрепленный у основания, на проти- воположный конец цилиндра приложен T, радиус цилиндра – r; под действием T образующая abcd повернется и займет положение ab'c'd'. Двумя смежными сечениями в цилин- дре выделим диск толщиной dx и располо- женный от основания на расстоянии x. Ниж- ний конец диска повернулся на угол φ, а верхний на dφ. Проведя прямую bc'', параллельную b'c', получим, что абсолютный сдвиг элемента d r ' ' cc При этом относительный сдвиг элемента: dx d r Введем обозначение – относительный угол закручивания: dx d Откуда получаем: r Используя закон Гука для сдвига, напряжения на каком-то текущем ρ, можно определить: G G Рассмотрим частные случаи 1. Если ρ=0, то τ=0; 2. Если ρ=r, то τ=τ max Т.е. касательные напряжения в сечении цилиндра распреде- лятся по линейному закону, и их максимальная величина нахо- дится в наибольшей удаленной от центра части сечения. Если выделить в сечении элементарную площадку площадью dS, то на нее будет действовать элементарная внутренняя сила dF, ее величина определится: dS G dS dF Относительно центра сечения эта сила создает элементарный крутящий момент: dS G dF dT 2 12 Сумма всех элементарных моментов создает полный крутящий момент в сечении: s 2 s 2 s dS G dS G dT T Вводим обозначение – полярный момент инерции: s 2 P dS I Получаем, что формула относительно угла закручивания на единицу длины ци- линдра p I G T где p I G – жесткость бруса при кручении. Полный угол поворота φ одного сечения относительно другого, отстоящих друг от друга на расстоянии ℓ, определится: p I G T Величину касательного напряжения, возникающего в сечении, можно определить: p p I T I G T G G Если принять отношение через p p I W – это полярный момент сопротивления се- чения кручения, т.е. это отношение полярного момента инерции к расстоянию от оси вращения до наиболее удаленной точки сечения и тогда p W T Условия прочности при кручении по максимальным касательным напряжениям имеет вид: ] [ W T кр p max max Условие прочности по допускаемому углу закручивания; допускаемый угол закру- чивания берется, как правило: [θ]=0,5º на 1 м погонной длины вала. Определение диаметра вала. Диаметр вала, исходя из условия прочности, при расчете на чистое кручение можно определить: ] [ W T кр p max Для сплошного вала из стандартов: 3 в 3 в в 4 в в p p d 2 , 0 16 d d 32 2 d d 2 I W Отсюда диаметр вала: 3 кр max в ] [ 2 , 0 T d 13 Изгиб брусьев. Если деталь в процессе работы подвергается воздействию нагрузки, перпендику- лярной продольной оси или внешних пар сил, действующих в плоскости, проходящей через указанную ось, в результате чего в них возникают М изг , то такой вид нагружения называется изгибом. Если изгибающий момент – единственный силовой фактор, действующий в сече- нии, то такой изгиб называется чистым. При наличии в сечении бруса еще и поперечных сил, изгиб называется поперченным. Если плоскость действия силы при изгибе на совпадает ни с одной из главных плос- костей инерции бруса, то такой изгиб называется косым. Если мы будем изгибать брус, предвари- тельно нанесенной на него сеткой, то тогда полу- чим: 1) плоские поперечные сечения бруса остаются плоскими и поворачиваются относительно друг друга на угол; 2) плоские продольные сечения изгибаются, причем волокна на вогнутой стороне укорачиваются, на выпуклой – увеличиваются. Брус имеет слой, который в процессе изгиба не меняет соей длины - этот слой назы- вается нейтральной линией (н.л.). Линия, относительно которой происходит изгиб бруса, называется силовой (с.л.). Напряжение в брусе при чистом изгибе Пусть имеется прямолинейна балка. Выделим на ней се- чение ABCD с длинной элемента – dℓ. Приложим изгибающие моменты М изг . В связи с тем, что при чистом изгибе в любом сечении бруса возникает один и тот же М изг , то в случае однородного бруса изменения его кривизны для всех участков будет одним и тем же. Следовательно, ось од- нородного бруса примет форму дуги окружности при чистом из- гибе. 14 Сечение бруса изогнется на угол dφ, при этом дуга, лежащая на нейтральном слое, сохранит свою начальную длину d d Дуга, отстоящая на расстоянии y от нейтрального слоя, будет равняться: d ) y ( d 1 Относительное удлинение дуги: y d d d y ) ( По закону Гука напряжение при чистом из- гибе можно определить: y E E Частные случаи: 1. Если y=0, то σ=0; 2. Если y –> max, то σ –> max. Таким образом, при чистом изгибе напряжение в поперечном сечении бруса будет изменяться по линейному закону. Отсюда следует, что на нейтральном слое напряжение равно нулю, а максималь- ными они будут на наиболее удаленных участках. Поэтому при проектировании балок, подвергаемых чистому изгибу, их нужно изготавливать так, чтобы максимальные сече- ния они имели на периферии, а минимальные – в центре. Примеры балок: Свяжем напряжения, возникающие в сечении с внутренними силовыми факторами. На элементарную площадку dS со стороны отброшенной части будет действовать элементарная сила dS y E dS dN Сумма всех элементарных сил дает полную нормальную силу N, при этом следует учитывать, что в связи с тем, что при чистом изгибе в сечении действует только М изг , то N=0. 0 dS y E dS y E dN N s s s Так как 0 E и 0 S , следовательно y=0. Из чего можно сделать вывод, что нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. 15 Поскольку действие всех силовых факторов сводится к М изг , то: dS y E ydN dМ 2 изг Полный момент будет: Z 2 s изг изг I E dS y E dМ М При чистом изгибе в сечении бруса возникают нормальные напряжения, которые можно определить, как: Z изг I y М Вводим обозначение (осевой момент сопротивления): max z Z y I W Напряжения будут определятся, как: Z изг изг W М Условие прочности при чистом изгибе будет: Z max изг max изг W М В том случае, если сечение бруса не симметрично, то определяются 2 напряжения: - растяжения ] [ 1 max изг Z изг I h М -сжатия ] [ 2 max сж г Z изг сж I h М з Следует учитывать, что наиболее опасным в части разрушения является напряже- ние растяжения, поэтому они, как правило, подвергаются проверке. Косой изгиб. Под косым изгибом понимается такой случай плоского изгиба, при ко- тором плоскость действия М изг не сов- падает ни с одной из главных плоско- стей инерции бруса: Необходимо определить напряжения, которые будут возникать в сечении, отстоящем на расстоянии х от места приложения силы. Косой изгиб удоб- нее рассматривать как случай одно- временного действия двух М изг 16 sin cos F F F F Z y Действие этих двух сил на расстоянии х приведет к возникновению двух М изг sin cos x F x F М x F x F М z y y Z Используя принцип независимости действия сил напряжения σ в некоторой точке С се- чения можно определить как " ' σ' и σ'' – напряжения, возникающие при чистом изгибе. z I M y I М y y Z Z " ' z I M y I M y y Z Z -является общей формулой при вычислении напряжений при косом из- гибе. Для правильного построения эпюр напряжений необходимо определить положе- ние нейтральной и силовой линии. 0 bz ay 0 0 0 z I M y I M y y Z Z - для определения нейтральных линий. 0 0 0 y Z y Z Z I z M M I y M т.к. tg cos x F sin x F M M Z y М Z ≠ 0 0 0 0 tg I z I y y Z отсюда tg I I Z y y Z 0 0 Если принять, что tg Z y 0 0 , то конечная зависимость tg I I tg y z α – угол действия силы; β – угол расположения нейтральной линии относительно оси z. Из этого следует: 1) нейтральная линия всегда проходит через центр тя- жести сечения; 2) так как α ≠ β, то брус изгибается не в плоскости М изг , а в той плоскости где жесткость на изгиб минимальна. Условия прочности при косом изгибе: В общем случае: ] [ max max max z I M y I M y y Z Z Для сечений, имеющих две оси симметрии: ] [ W M W M y y Z Z max 17 Внецентровое растяжение и сжатие. Предположим, что имеется брус, на который действует сила F, проходящая параллельно оси бруса, но с ней несовпадающая. Необ- ходимо определить напряжения, которые возникают при этом в сече- нии бруса. Для этого перенесем силу F на ось. В результате приведе- ния сил расчетную схему можно свести к одновременному действию центральной силы, которая приведет к возникновению напряжения растяжения и к косому изгибу, который можно разложить на два случая чи- стого изгиба. Значения этих моментов можно определить F y F Z z F M y F M Используя принцип суперпозиций результирующие напряжения в точке С сечения определятся '' ' " ' σ' – напряжение, возникающее от действия центральной силы F: S F ' ; z I M y I M y y Z Z '' ' " - это напряжения, возникающие от действия двух чистых изгибов. Результирующие напряжения: z z I S y y I S S F z I z F y I y F S F F y F Z y F Z F 1 Формула для определения эквивалентных напряжения в внецентровом растяже- нии. Положение нейтральных линий можно определить: 0 1 0 0 z z I S y y I S F y F Z , т.е. 0 c by ax Нейтральная линия не будет проходить через центр пересечения осей. Условия прочности при внецентровом растяжении: ] [ 1 max max max z z I S y y I S S F F y F Z |