СОПРОМАТ. Сопротивление материалов. Введение
 Скачать 1.44 Mb.
|
|
Теории прочности (исправлено) При расчете детали на прочность необходимо решить две задачи: 1) определить истинное напряженно-деформированное состояние детали при действии заданных нагрузок; 2) определить максимальное напряжение, действующее в опасных сечениях и сравнить эти напряжения с допускаемыми. При простых видах нагружения эти задачи решаются просто: Например: при растяжении S F max р max В случае же сложных напряженных состояний, когда одновременно действуют напряжения σ', σ'', σ''' или когда имеется совместное действие нормальных и касательных напряжения σ и τ эти расчетные формулы уже не подходят. В этом случае пользуются теорией прочности. В настоящее время таких основных теорий пять. Эти теории названы гипотезами предельных состояний. Их большое количество объясняется недостаточ- ными знаниями о свойствах материалов. Первая теория – теория наибольших нормальных напряжений. По этой теории из всех действующих на тело напряжений учитывается только одно наибольшее осевое напряжение. Условие прочности по этой теории ] [ max В настоящее время в практике не используется. Вторая теория – теория наибольших линейных деформаций. Эта теория исхо- дит из предпосылки, что разрушения происходят в результате нарушения сил сцепления вследствие увеличения расстояния между молекулами, т.е. максимальное относительное удлинение: ] [ max где 3 2 1 max E 1 , а допустимое относительное удлинение E В результате: ] [ ) ( 3 2 1 экв Третья теория – теория наибольших касательных напряжений. Исходит из условия, что образование остаточной деформации происходит сдвигом одной части от- носительно другой, поэтому критерий перехода упругого состояния в пластичное – это наибольшее касательное напряжение в точке. ] [ 4 2 2 экв Четвертая теория – энергетическая теория форм изменения. За критерий прочности принимается количество удельной потенциальной энергии – форм изменения накопленной деформированной элементом. Условие прочности: ] [ 2 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 экв (также известно, как теория Мизес-Хенки) или в частном случае при σ y =0, полагая σ x =σ, τ xy =τ ] [ 3 2 2 экв Пятая теория – теория прочности Мора. Эта теория трактует, что прочность материала в каждом случае зависит от величины и знака наибольших σ 1 и наименьших σ 3 – главных напряжений. 19 ] [ k 3 1 экв ; сж р k - отношение предела текучести при растяжении к пре- делу текучести при сжатии. В настоящее время наиболее часто используется: 1) при расчете пластичных материалов – 3,4; 2) при расчете хрупких – 5. Изгиб с кручением (исправлено) Совместное действие изгиба с кручением испыты- вают многие детали, наиболее характерный пример – это валы, на которых насажены зубчатые колеса. В резуль- тате зацепления зубьев зубчатых колеса действуют окружные силы и радиальные силы. От действия радиальных сил F r в сечении возни- кают нормальные напряжения (изгиб), а от действия окружных сил F t – касательные (кручение). В результате на вал действуют сочетания напряжений двух видов напряжений. Для решения данной задачи, строятся эпюры крутящих и суммарных (по горизон- тальной и вертикальной плоскости) изгибающих моментов. 20 Из эпюр определяются опасные сечения, а именно, где действуют максимальные значения моментов. От действия максимального изгибающего момента возникают нормальные напря- жения: Z изг W М max max От действия, крутящего моменты: Z max p кр max W 2 T W T где полярный момент сопротивления кручению (круглого сечения): Z Z p W W W Эквивалентные напряжения при изгибе с кручением по третьей теории прочности: ] [ 4 2 2 экв Проводя соответствующие подстановки, получим: ] [ 2 2 Z изг экв W T М Если использовать четвертую теорию прочности: ] [ 3 2 2 экв Получим ] [ 75 , 0 2 2 Z изг экв W T М Учитывая, что для круглого сечения y Z I I , то , Z y M M tg Расположение нейтральной силовой линии в сечении будет отклоняться на угол β. Наиболее опасной в части напряжения бу- дет точки А и А’ сечения. Если в окрестностях этой точки выделить элементарный объем, то по четырем граням выделенного элемента будут действовать касательные напряжения, а по двум – нормальные, т.е. деталь будет находиться в плос- конапряженном состоянии. 21 Прочность при переменных напряжениях. Усталость материала. Многие детали машин в процессе работы испытывают напряжения. циклически меняющиеся во времени. Как показывает практика, нагрузки, циклически изменяющиеся во времени по величине или по величине и по знаку, могут привести к разрушению кон- струкции при напряжениях, существенно меньших, чем предел текучести (или предел прочности). Явление разрушения материала от действия переменных напряжений называется усталостью материала. Механизм усталостного разрушения связан с неоднородностью реальной струк- туры материалов (различие размеров зерен, очертаний, ориентации соседних зерен ме- талла; наличие различных включений – шлаков, примесей; дефекты кристаллической ре- шетки и т. д.). В связи с неоднородностью возникает концентрация напряжений, которая приводит: к микропластическим деформациям сдвига на границах. Способность материала воспринимать многократные действия переменных напря- жений без разрушения называется цикличной прочностью. Циклы изменения напряжений могут быть: 1) симметричный цикл; 2) ассиметричный цикл; 3) отнулевой цикл. Основные параметры циклов: Наибольшее и наименьшее напряжения циклов – σ max и σ min Среднее напряжение 2 min max m Амплитуда 2 min max a На практике чаще всего встречается симметричный и отнулевой циклы изменения напряжении. 22 Если механические характеристики де- талей, работающих в статике, в большинстве случаев определяются диаграммой растяже- ния, то механические характеристики этих же деталей, но работающих в динамике, опреде- ляются путем построения специальных кри- вых выносливости (кривые Вёлера). Кривую усталости строят по точкам в координатах: число циклов n – максимальное по модулю напряжение σ=σ max Кривая устало- сти показывает, что с увеличением числа цикла максимальное напряжение, при котором происходит разрушение материала, значительно уменьшается. При этом для многих материалов можно установить такое наибольшее напряжение цикла, при котором образец не разрушается после любого числа циклов. Максимальное напряжение, при котором образец при любом числе циклов нагру- жения не разрушается называется пределом выносливости образца – обозначается σ -1 Обычно за предел выносливости у черных металлов принимается такое предельное напряжение, при котором они способны выдержать 10 7 циклов нагружения. У цветных металлов этот предел 10 8 Примерно 40% деталей, работающих при динамических нагрузках, выходят из строя из-за недостаточной усталостной прочности. Поэтому очень важно оценить какие же факторы влияют на усталость. Факторы, оказывающие влияние на величину предела выносливости (исправлено) I. Один из основных факторов, который влияет на усталостную прочность – концен- тратор напряжения. Концентратором напряжений называется резкое изменение сече- ния детали. В качестве концентратов могут быть 1) Галтельный переход – изменения размеров поперечного сечения де- тали. (σ н – номинальное напряжение, σ max – это максимальное напряжение, возникающее в зоне концентра- ции.); 2 Небольшие выточки, отверстия. 3) Посторонние включения или пузырьки воздуха, попадающие в металл. 23 Количественно концентрация напряжений оценивается коэффициентами концентра- ции. Различают теоретический коэффициент концентрации напряжений: н max Эффективный коэффициент концентрации: k 1 1 k Эффективный коэффициент определяется, как отношение предела выносливости образца без концентратора напряжений к пределу выносливости образца с концентрато- ром напряжения Два эти коэффициента связаны между собой: ) 1 ( q 1 k где q σ – коэффициент чувствительности материала. II. Абсолютные размеры детали. Экспериментально установлено, что с увеличением размеров детали предел ее вы- носливости уменьшается. Это связано с тем, что чем больше размеры поперечного сече- ния, тем больше вероятность появления в них разного рода концентраторов. Практически это учитывается масштабным фактором 0 d 1 d 1 ) ( ) ( Это отношение предела выносливости образца данного размера к пределу выносли- вости эталонного размера (величина табл.). III. Качество обработки поверхности. Установлено, что чем выше чистота обра- ботки поверхности и соответственно выше качество, тем выше усталостная прочность. Однако, при этом следует учитывать, что увеличение класса чистоты на один класс, ведет к увеличению стоимости детали минимум на 10 – 15%. Оценивается это коэффициентом n 1 1 Отношение предела выносливости образца данной шероховатости к пределу вынос- ливости полированного образца. Чистоту обработки поверхности можно повысить следующими способами: а) путем среза неровностей (шли- фовка, полировка и т.д.); б) путем прикатки неровностей. Кроме уменьшения шероховатости позво- ляет повысить поверхностную твердость. На поверхности детали образуются оста- точные напряжения сжатия, которые ока- зывают положительную роль при работе деталей. 24 В большинстве случаев расчеты на прочность деталей, работающих при переменных напряжениях, выполняют, как поверочные, то есть проверяется запас циклической проч- ности готовой детали. При этом определяют коэффициенты запаса прочности для одного или нескольких предположительно опасных сечений готовой детали, а затем сравнивают эти коэффици- енты с допускаемыми. Выделяют три коэффициента запаса прочности: 1. Коэффициент запаса прочности от действия переменных нормальных напряже- ний: ] [ 1 n k n m a 2. Коэффициент запаса прочности при действии переменных касательных напряже- ний: ] [ 1 n k n m a где ψ σ и ψ τ – коэффициенты чувствительности материала к асимметрии циклов нагруже- ния (табличная величина). 3. Результирующий коэффициент запаса прочности min 2 2 n n n n n n Допускаемые коэффициенты запаса прочности выбирается из таблиц и зависит от степени ответственности конструкции, а также от требований надежности к ее работе. Практические меры повышения сопротивления усталости (исправлено) a. применять более однородные материалы с мелкозернистой структурой, свобод- ные от внутренних очагов концентрации (трещин, газовых пузырьков, неметал- лических включений); b. придавать деталям такие очертания, при которых была бы уменьшена концен- трация напряжений. Не следует допускать переходов от одного размера к дру- гому без специальных переходных кривых. Иногда допускается применять спе- циальные надрезы, которые называются деконцентраторами напряжений; c. тщательно обрабатывать поверхности деталей: не допускается глубоких цара- пин; d. применять методы поверхностного упрочнения – наклеп, с его помощью можно увеличить срок службы деталей в 2…5 раз. 25 Контактные напряжения (исправлено) Контактные напряжения - механические напряжения, которые возникают при вза- имодействии твёрдых деформируемых тел на площадках их соприкасания и вблизи пло- щадок. Знание контактных напряжений важно для расчёта на прочность подшипников, зубчатых и червячных передач, кулачковых механизмов и т. п. Решение некоторых контактных задач для упругих тел впервые дано Г. Герцем. В основу его теории контактных напряжений положены следующие, предположения: 1. материал соприкасающихся тел в зоне контакта однороден и следует закону Гука; 2. линейные размеры площадки контакта малы по сравнению с радиусом кривизны и линейными размерами соприкасающихся поверхностей в окрестности точек контакта; 3. силы давления, распределенные на поверхности контакта, расположены по нор- мали к этим поверхностям; 4. на поверхности контакта возникают только нормальные напряжения, прочие си- ловые факторы равны нулю. При этом найдено, что при сжатии двух тел, ограниченных плавными поверхно- стями, площадка контакта имеет форму эллипса (в частности, круга или полоски). Контактные напряжения имеют местный характер, т. е. быстро убывают при доста- точном удалении от места контакта (соприкасания тел). Распределение контактных напряжений по площадке контакта и в её окрестности неравномерно и характеризуется большими градиентами. При сжатии двух тел, имеющих гладкую криволинейную поверхность, в зоне кон- такта происходит соединение точек поверхностей этих тел. В результате образуется по- верхность, называемая поверхностью давления, а ее контур - контуром давления. В об- щем случае, как показал Герц, контур давления является эллипсом. Напряжения в пределах поверхности давления распределены по полуэллипсоиду, причем на границе поверхности касания они равны нулю, а в центре напряжение прини- мает наибольшее значение: b a F 5 , 1 max , где F - сила, с которой тела давят друг на друга; а, b - длины полуосей эллиптического контура давления, значения которых зависят от геометрии поверхностей сдавливаемых тел, от модулей упругости и коэффициентов Пуассона материала этих тел, а также от силы F. Средние напряжения находятся, как b a F ср . Как видно, значение σ max в 1,5 раза больше среднего напряжения по поверхности касания. Частные случаи сжатия: 26 1. Случай сжатия 2 цилиндров: Так, при сжатии двух цилиндров ра- диусами R 1 и R 2 , загруженных нагрузкой, равномерно распределенной по длине ци- линдров, интенсивностью р, образуется поверхность давления в виде прямоуголь- ной полоски с размерами ℓ*2b. Если цилиндры сделаны из одного материала (причем E 1 =E 2 и μ 1 = μ 2 =0,3), то 2 1 2 1 max 2 1 2 1 418 , 0 ) ( 522 , 1 R R R R pE R R E R R p b При неограниченном увеличении одного из радиусов, например R 2 , получим реше- ние задачи о сжатии цилиндра с полупространством. В результате получим 1 max 1 418 , 0 522 , 1 R pE E R p b Как видно из формулы, наибольшее напряжение σ max зависит от отношения p/R. 2. В случае центрального сжатия двух упругих ша- ров радиусами R 1 и R 2 поверхность касания является кру- гом радиуса а. Предполагая справедливыми равенства E 1 =E 2 и μ 1 = μ 2 =0,3получим 3 2 2 1 2 1 2 max 3 2 1 2 1 388 , 0 ) ( 109 , 1 R R R R FE R R E R R F a В случае шара радиусом R 2 лежащего на упругом полупространстве (R 2 =∞), найдем 3 1 2 2 max 3 1 1 388 , 0 109 , 1 R FE R E R F a |