Громов - СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление
 Скачать 1.34 Mb.
|
|
x x x × × = = = = = ричная матрица размер- ности m × m 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( )) ( ( − − − − − − − − = + − − + = R t R QR R B BP A R AR t R dt d T T 2 u x x B A + = & A, B – постоянные матрицы размер- ности n × n и n × m, соответственно T n x x ) ..., , ( 1 = x , T m u u ) ..., , ( 1 = u 0 0 = t , 0 0 ) ( x x = t – задано, 1 0 t t ≤ ≤ 1 t – задано, 1 1 ) ( x x = t , 1 x – сво- бодно , ] [ 2 1 2 1 ] [ 1 0 1 1 1 ∫ + + + = t T T T dt P Q R J u u x x x x u 1 , R Q – постоянные положительно полуоп- ределенные симмет- ричные матрицы раз- мерности n × n; P – по- стоянная положительно определенная симмет- ричная матрица раз- мерности m × m x u ) ( 1 * t t K − − = , где ) ( ) ( 1 1 1 t t R B P t t K T − = − − ) ( 1 t t R − – решение мат- ричного уравнения Рикка- ти: 1 1 1 1 0 , , ) 0 ( ), ( ) ( ) ( ) ( t t t R R R B BP R Q R A A R d dR T T ≤ τ ≤ − = τ = τ τ − − + τ + τ = τ − 0 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) , ( 0 0 0 1 0 0 0 min * = − × × = = = = = t t t t R t t V J J T x x x 3 u x x B A + = & A, B – постоянные матрицы размер- ности n × n и n × m, соответственно , ) ..., , ( , ) ..., , ( 1 1 Y m T n u u x x = = u x , ) ..., , ( , ) ..., , ( 1 1 T T u x m n u u x x = = 0 0 = t , 0 0 ) ( x x = t – задано, ∞ = ≤ ≤ 1 0 t t , ) ( 1 t x – свободно , ] [ 2 1 ] [ 0 dt P Q J T T ∫ ∞ + = = u u x x u Q – постоянная поло- жительно полуопреде- ленная симметричная матрица размерности n × n; P – постоянная положительно опреде- ленная симметричная матрица размерности m × m u* = –Kx, где 0 1 R B P K T − = – посто- янная матрица; 0 R – уста- новившееся решение мат- ричного уравнения Рикка- ти, т.е. ) ( lim 0 τ = ∞ → τ R R , где 0 ) 0 ( ; 1 = − − + + = τ − R R B RBP Q R A RA d dR T T 0 0 0 0 0 min * 2 1 ) , ( x x x R t V J J T = = = = = 3 0 R может быть также оп- ределена из квадратного алгебраического матрич- ного уравнения Риккати 0 0 1 0 0 0 = − − + + − R B BP R Q R A A R T T как его единственное по- ложительно определенное решение 4 u x x ) ( ) ( t B t A + = & , где A(t), B(t), x, u – матрицы и векто- ры, определенные в п. 1 0 t – задано, 0 0 ) ( x x = t – задано, , 1 0 t t t ≤ ≤ 1 t – задано, , ] , [ 2 1 2 1 ] [ 1 0 1 1 1 dt P N N Q R J T t t T T T × × + = ∫ u x u x x x u x u ] [ 1 * T T N R B P + − = − , где 1 1 ) ( x x = t , 1 x – свободно где 0 1 ≥ − − T N NP Q ; N(t) – матрица размер- ности n × m; P(t) – по- ложительно опреде- ленная матрица раз- мерности m × m; 1 R – см. п. 1 1 1 1 ) ( , ) ( ) ( R t R Q R B N P N RB R A RA R T T T = − + × × + + + − − = − & 5 , ) ( 1 u x x B N BP A T + + − = − & где A(t), B(t), x, u – матрицы и векто- ры, определенные в п. 1; P(t), N(t) – матрицы, опреде- лённые в п. 4 0 t – задано, 0 x – зада- но, , 1 0 t t t ≤ ≤ 1 t – задано, 1 1 ) ( x x = t , 1 x – свободно dt P N NP Q R J T t t T T T − × × + + = − ∫ u x u x x x u , 0 0 , ] , [ 2 1 2 1 ] [ 1 1 1 1 1 0 , 1 * ) 4 ( 1 * x u x u T T N P R B P − − + = = − = где R и * ) 4 ( u определены в п. 4 6 u x x ) ( ) ( t B t A + = & , где A(t), B(t), x, u – матрицы и векто- ры, определенные в п. 1 0 t – задано, 0 x – зада- но, , 1 0 t t t ≤ ≤ 1 t – задано, 1 1 ) ( x x = t , 1 x – свободно , ] ) ( ) ) ( ) ( )( ( ) ) ( ) ( [( 2 1 ] [ 1 0 dt t P t M t t Q t M t J T T t t u u x y x y u + − − − − = ∫ где y(t) – заданная функция (желаемый выходной сигнал); M(t) – матрица размерности n × n; P(t), Q(t) – см. п. 2; M(t)x – полученный выходной сигнал T n y y y ) ..., , , ( 2 1 = y ), ( ) ( * t t C h x u + − = где , ; 1 1 g h T T B P R B P C − − = = а матрица R(t) и вектор g(t) определяется из решений уравнений: , 0 ) ( , 1 1 = − + + − − = − t R QM M R B RBP R A RA R T T T & , ) ( 1 y g g Q M B RBP A T T T + + − − = − & 0 ) ( 1 = t g 7 ), ( ) ( ) ( t t B t A f u x x + + + = & где f(t) – известный n-мерный вектор; элементы A(t), B(t), x , u – определены в п. 1 0 t – задано, 0 0 ) ( x x = t – задано, 1 0 t t t ≤ ≤ , 1 t – задано, 1 1 ) ( x x = t – свободно , ] ) ( ) ( [ 2 1 2 1 ] [ 1 0 1 1 1 dt t P t Q R J t t T T T ∫ + × × + = u u x x x x u ) ( ), ( , 1 t P t Q R – см. п. 1 ), ( 1 * w x u + − = − R B P T где 0 ) ( , ) ( , ) ( , 1 1 1 1 1 = − − = = + − − − − = − − t R A B RBP R t R R B RBP Q R A RA R T T T T w f w w& & 8 u x x ) ( ) ( t B t A + = & , где A(t), B(t), x, u – матрицы и векторы, определенные в п. 1 0 t – задано, 0 0 ) ( x x = t – задано, 1 0 t t t ≤ ≤ , 1 t – задано, 1 1 ) ( φ = t Mx , M – матрица (q × n); 1 φ – заданный q-мерный вектор q ≤ n , 2 1 ] ) ( ) ( 2 ) ( [ 2 1 ] [ 1 1 1 1 0 x x u u u x x x u R dt t P t N t Q J T T T t t T + + + + = ∫ Q (t), N(t), P(t), 1 R – см. п. 1 , )] * ( [ 1 1 1 1 1 * φ − − − × × + − = − − − − FG B P F FG R B N P T T T T x u где , ) ( ), ( ) ( 1 1 1 R t R R B N P N RB Q R A RA R T T T = + + + + − − − = − & 0 ) ( , , ) ( , ] ) ( [ 1 1 1 1 = = = + − − = − − t G F B BP F G M t F F B P N RB A F T T T T T & & 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 min * 2 1 ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( 2 1 ) , ( − − − φ − × × φ + + × × − − = = = = = G FG t F t G t F t R t V J J T T T x x x x Г л а в а 6 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ОСОБОГО УПРАВЛЕНИЯ 6.1. Краткая формулировка задачи При решении задач встречаются случаи, когда управление u входит в дифференциальные уравнения математической модели объекта линейно, u x x γ u x f x ) , ( ) , ( ) , , ( t R t t dt d + = = , (56) где ; , ) ..., , , ( ; , ) ..., , , ( 2 1 2 1 m T m n T n U u u u X x x x ∈ = ∈ = u u x x ; ) ..., , , ( 2 1 T n γ γ γ = γ ], , [ ; ) , 1 , , 1 ( )} , ( { 1 0 t t t m j n i t r R ij ∈ = = = x а критерий качества имеет вид ) 57 ( , )] , ( ) , ( [ ) , , , ( ) , , ( ) , , , ( ] , , , , [ 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ∫ ∫ + + + Φ = + Φ = t t T t t dt t t t t dt t f t t t t J x r u x γ x x u x x x x x u где T m r r r ) ..., , , ( 0 02 01 0 = r ; ∑ = = m j j T u r 1 0 0 r u Функция Гамильтона H для (56), (57) имеет вид ) 58 ( ) , ( ) , ( 0 1 0 0 0 1 0 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = λ + γ λ = = λ + γ λ = λ = n i m j j n i ij i i i n i n i m j j ij i n i i i i i u r t u r t f H x x Если m U – m-мерный прямоугольник: ) , 1 ( }, ..., , , ) ..., , , ( { 2 2 2 1 1 1 2 1 m j b a b u a b u a b u a u u u U j j m m m T m m = < ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = = u ( j j b a , могут зависеть от t), то в силу принципа максимума (см. п. 4.3) для минимизации J[u] оптимальное управление опре- деляется из условия ) , , , ( min arg λ = ∈ u x u u t H m U (59) или < λ > λ = ∑ ∑ = = n i ij i j n i ij i j j r b r a u 0 0 0 при ; 0 при (60) При некоторых значениях x и λ функция H в (58) может оказаться независящей явно от какой-либо компоненты j u на отрезке 0 ] , [ 1 2 2 1 > τ − τ τ τ . В этом случае выполняется соотношение (рис. 9) 0 ) , ( ) , , ( 0 ≡ λ = Φ ∑ = n i ij i j t r t |