Громов - СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление
 Скачать 1.34 Mb.
|
u ℵ . (111) Здесь ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 , , , , m m m u H u u H u u H u H H L L L L L u Условия (110) и (111) эквивалентны требованию положительности корней s характеристического уравнения 0 0 , det ) ( 2 1 2 = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = u u u ℵ ℵ T sE H s D . (112) Неравенство нулю определителя матрицы ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 2 1 2 u u u ℵ ℵ T H (113) во всех точках x * (t), u * (t) оптимальной траектории эквивалентно условию Гильберта (см. п. 9.4) и в данном случае означает непрерывность управления u * (t). Если указанный определитель отличен от нуля в каждой точке экстремали, то задача назы- вается невырожденной. С л е д с т в и я . 1. Условия для открытого ядра области ) , ( x t U m (условия (95) – (99)) означают, что во всех точках тра- ектории, в которых минимум H по u, ) , ( t U m x u ∈ достигается при выполнении строгих неравенств ) , 1 ( 0 ) , , ( v i t i = > ℵ u x (114) (т.е. в так называемом открытом ядре области ) , ( t U m x ) справедлив принцип максимума (см. п. 4.3), не учитывающий нали- чие связей (89). Здесь все ) , 1 ( 0 1 v i i = = β и дифференциальные уравнения (95)–(96) при условии (99), дающем ) , , ( λ x u u t = имеют единственное решение: λ λ = λ λ = ). , , , ( ); , , , ( 0 0 0 0 0 0 i i i i i i t t t t x x x x (115) В этом случае ) , , , ( 0 0 0 i t t λ = x u u (116) и решение задачи оптимизации погружено в (2n + 1) параметрическое семейство решений, причем решение (115) зависит от параметров ) , , , ( 0 0 0 i i x t t λ , по крайней мере, непрерывно. Если же на траектории нет точек разрыва функции u(t), то решение, по крайней мере, дважды непрерывно дифференци- руемо по ) , , , ( 0 0 0 i i x t t λ 2. Если ) , , ( u x t i ℵ не зависит явно от x, то условия (95), (99) эквивалентны принципу максимума п. 4.3, так как в этом случае ) , ( t U m x зависит лишь от t: ) (t U U m m = 3. Условия для границы области ) , ( t U m x находятся следующим образом. Если при определении минимума H по u часть компонент вектора ℵ удовлетворяются в виде равенств, то недостающие множители j β могут быть найдены из усло- вий (102). Если минимум H по u достигается во внутренней точке области m U , то управление j u и множители j β нахо- дятся из условий (102) и тех из (89), которые выполняются в виде равенств 0 ) , , ( ; 0 = = ∂ ∂ + ∂ ∂ u x β u u t H T ℵ ℵ (117) Из (117) находятся u и β . При этом ) , ( ), , ( λ x β β λ x u u = = непрерывны в точке соединения, если только в ней нет раз- рыва в функции u(t). Контрольные вопросы 1. Типы граничных условий. 2. Необходимые условия оптимальности. 3. Аналог необходимого условия Клебша. Г л а в а 9 ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Задачи, в которых уравнения движения не приведены к форме Коши (т.е. не записаны в виде дифференциальных урав- нений первого порядка, разрешенных относительно производных) * , а управляющие функции u(t) явно не введены (и по ка- ким-либо причинам такое приведение невозможно или нежелательно), можно решать методами классического вариационно- го исчисления. Отметим, что с точки зрения вычислений всегда желательно привести систему уравнений к форме Коши, так как имен- но для такой системы разработаны эффективные алгоритмы численного интегрирования. 9.1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа Задача Больца . Одна из наиболее общих формулировок для задач с однократными интегралами и дополнительными условиями заключается в следующем. Пусть класс траекторий определяется: 1) кривыми x(t) c координатами 1 0 ), , 1 ( ) ( t t t n i t x i ≤ ≤ = ; 2) параметрами ) , 1 ( r j a j = Параметры j a можно рассматривать как некоторые постоянные координаты кривой С: Y t t ) ), ( ( ) ( a x z = в (n + r)-мерном пространстве, T r n a a x x x z ) ..., , , ..., , , ( 1 2 1 = Пусть кривые (x(t), a) удовлетворяют уравнениям движения (или уравнениям связей, вообще говоря, неинтегрируемым) вида ) , 1 ( 0 ) , , , ( n m j t F j < = = = a x x & (118) и условиям ) , 1 ( 0 ) , , , ( ) ), ( , ), ( , ( 1 0 1 1 0 0 ρ = = + Φ = ∫ k dt t f t t t t I t t k k k a x x a x x & , (119) где T n x x dt d ) ..., , ( 1 & & & = = x x Необходимо найти кривую из указанного класса траекторий, которая минимизирует функционал ∫ + Φ = 1 0 ) , , , ( ) , , , , ( 1 1 0 0 t t dt t f t t J a x x a x x & . (120) Задача Майера . Эта задача формально получается из задачи Больца при ) , 1 ( 0 , 0 ρ = ≡ ≡ k f f k . В этом случае краевые условия (119) становятся общими граничными условиями, число которых должно быть 2 2 + + = ρ r n . Если фиксирован век- тор параметров а, то число степеней свободы σ системы дифференциальных уравнений (118), равное разности между чис- лом зависимых переменных и числом независимых дифференциальных уравнений, для задачи Майера равно: m n − = σ Задача Лагранжа . Эта задача вытекает из задачи Больца при ρ = ≡ ≡ Φ , 1 , 0 , 0 k f k Виды связей и граничных условий. Связи вида (119) при ) (a k k Φ = Φ , т.е. при ∫ Φ − = t t t k k dt t f 0 ) ( ) , , , ( a a x x & , где все или часть компонент вектора а фиксирована, называются изопериметрическими. Если 0 ≡ k f , то связи типа (119) задают под- вижные граничные условия. Если связи типа (119) имеют вид , , 0 ); , 1 ( 0 ) ( ); , 1 ( 0 ) ( 10 1 2 2 00 0 1 2 2 1 1 1 0 0 2 2 2 1 1 1 t t t t n k x t x n k x t x n n k k k k k k − ≡ Φ = − ≡ Φ = = − ≡ Φ = = − ≡ Φ + + где 10 0 ..., , 1 t x k – заданные числа, то граничные условия называются закрепленными. Если 0 ; 0 ; , 1 ; , 1 10 1 00 0 1 2 1 = − = − < = = t t t t n n k n k , то 1 n концов закреплено, а остальные условия называются свобод- ными граничными условиями. Если граничные условия 0 ) , , , ( 1 0 1 0 = Φ x x t t k при ) , 1 , 0 ( ρ = = k f k можно разбить на две группы 0 ) , ( 0 0 1 = Φ x t k ; 0 ) , ( 1 1 2 = Φ x t k ; n k k < ρ ρ + ρ = ρ = 1 1 2 1 1 , ..., , 1 , , 1 и если ) , ( ) , ( 0 0 1 1 x x t h t q − ≡ Φ , то задача называется задачей с разделенными условиями для концов. Общие условия (119) называются смешанными граничными условиями. 9.2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца Первое необходимое условие экстремума состоит из: • правила множителей Лагранжа; • уравнений Эйлера–Лагранжа; • условий Эрдмана–Вейерштрасса; • условий трансверсальности. Пусть минимизирующая кривая С: {x = x(t), a} допускает в любой точке слабые (малые как по x(t), так и по ) (t x& ) ва- риации ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( t t t t t t x x x x x x & & & − = δ − = δ по любым совместимым со связями (118) направлениям в пространстве n n X X ∈ x , и функции k k f f Φ Φ, , , обладают непрерывными производными до третьего порядка. Тогда необходимые ус- ловия экстремума формулируются следующим образом. Правило множителей Лагранжа : существуют функции µ 0 , µ k , ) (t j λ и функции ∑ ∑ ρ = = + + = 1 1 0 ) , , , ( ) ( k m j j j k k t F t f f F a x x λ µ µ & ; (121) ∑ ρ = Φ + Φ = 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 ) ), ( , ), ( , ( ) ), ( , ), ( , ( k k k t t t t t t t t L a x x µ a x x µ (122) такие, что множители k µ µ , 0 0 ≥ – постоянные и решение исходной задачи на условный экстремум лежит среди решений задачи на безусловный экстремум для вспомогательного функционала ∫ + = 1 0 t t Fdt L J Всегда можно считать 1 0 = µ , за исключением особых (анормальных) случаев. Уравнения Эйлера–Лагранжа . Между угловыми точками (см. 126) минимизирующей кривой: C: {x = x(t), a} выполня- ются уравнения Эйлера–Лагранжа: t n i x i F F x F dt d i = − ∑ =1 & & ; (123) ) , 1 ( 0 n i F dt d F i i x x = = − & , (124) где t F F x F F x F F t i x i x i i ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ; ; & & З а м е ч а н и е . Уравнение (123) является следствием остальных (при условии, что все ) (t x i обладают вторыми произ- водными) и для функций F, не содержащих явно t, приводит к первому интегралу. C F x F n i x i i = − ∑ =1 & & (125) в силу (127), (128), непрерывному при переходе через угловую точку. Решения x(t) уравнения Эйлера–Лагранжа называются экстремалями независимо от того, являются ли они минимизи- рующими, максимизирующими или седловыми кривыми для функционала J со связями (118), (119). Условия Эрдмана–Вейерштрасса . Величины ∑ = − n i x i i F x F 1 & & и ) , 1 ( n i F i x = & непрерывны вдоль кривой С: {x = x(t), a}. В частности, если при t t ′ = кривая С имеет угловую точку, т.е. хотя бы по одной компоненте ) (t x i имеет место разрыв (перво- го рода) в производной: + + ′ = − ′ = = ≠ = i t t i t t i i x dt t dx dt t dx x & & 0 0 ) ( ) ( , (126) то справедливы соотношения ) , 1 ( n i F x F x F F i i i i i i x x x i x x i x = = ∂ ∂ = ∂ ∂ = + = = + & & & & & & & & (127) и 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ ∑ = + + + = = = = = − = − = − = − + − n i x i x x n i x i x x n i x i n i x i i i i i i i i i F x F F x F F x F F x F & & & & & & & & & & & & (128) Здесь ) ,..., ( ; ) ,..., , ( ; ) , , , ( ; ) , , , ( 2 1 2 1 T n T n x x x x x x t F F t F F − − − − + + + + = + = − = = = = = + − & & & & & & & & & & & & & & x x a x x a x x x x x x Условие трансверсальности . Концевые точки 0 и 1 кривой С: {x = x(t), a} таковы, что равенство ∑∫ ∑ ∑ = = = = + + + − r j t t j a n i i x n i x i dt da F dL dx F dt F x F j i i 1 1 0 1 1 1 0 0 & & & (129) выполняется тождественно для j i i i i da t dx dx t dx dx dt dt ), ( ), ( , , 1 1 0 0 1 0 = = (т.е. для всех произвольных и независимых значений указанных вариаций концов траекторий и вариаций параметров). Здесь dL – полный дифференциал функции ) , ), ( ), ( , , ( 1 0 1 0 k t t t t L |