Громов - СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление
 Скачать 1.34 Mb.
|
|
x суть правосторонние пределы в точке разрыва j t , а ) ( − s t x – левосторонние преде- лы. 10.2. Необходимые условия оптимальности Необходимые условия экстремума функционала (147) состоят из: • правила множителей Лагранжа; • уравнений Эйлера–Лагранжа; • условий Эрдмана–Вейерштрасса; • условий трансверсальности. Для рассматриваемых разрывных задач эти условия имеют следующий вид. Правило множителей . Вводятся функции Лагранжа для разрывных задач: ) 1 , 1 ( 1 ) ( ) ( − = λ = ∑ = q j F F m i j i i j (148) и ∑ = + Φ = p k k k g L 1 µ , (149) а затем отыскиваются функции k i i t t x µ ), ( ), ( λ , удовлетворяющие (145), (146) и доставляющие стационарное значение вспо- могательному функционалу J (стационарной величиной называется такое значение J, вариация J δ которой равна нулю: 0 = δJ ): ∑ ∫ ∫ − = + + = + = 1 1 ) ( 1 1 q j t t j t t j j q dt F L Fdt L J . (150) В этом случае вариация J δ функционала J имеет следующее выражение: ) 151 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 2 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 2 ) 1 ( 2 1 1 ) 1 ( 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 dt t x x F x F dt d dt x x F x F dt d dt x x F t L dt x x F x x F t L dt x x F t L t dx x F t x L t dx x F t x L t dx x F t x L t dx x F t x L J i n i t t i q i q n i i t t i i q n i t i i q q n i t i n i t i i n i t i i n i q i t i q q i i n i t i i n i i t i i n i i t i i q q q q δ ∂ ∂ + ∂ ∂ − + + + δ ∂ ∂ + ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ∂ ∂ + + + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ∂ ∂ − ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = δ ∑ ∫ ∑∫ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = − − = = − = = = = − + = + = − − = + − − + − + − & & & & & & & & & & & & & & Уравнения Эйлера–Лагранжа . Из выражения (151) вытекает, что если x(t) – кривая, доставляющая стационарное зна- чение функционалу J (т.е. 0 = δJ ), то между точками разрывов удовлетворяются уравнения Эйлера–Лагранжа: ) 1 , 1 ; , 1 ( 0 ) ( ) ( − = = = ∂ ∂ − ∂ ∂ q j n i x F x F dt d i j i j & . (152) Условия Эрдмана–Вейерштрасса и условия трансверсальности. В концевых точках q t t , 1 и точках разрыва j t вы- полняются соотношения, обобщающие условия трансверсальности и условия Эрдмана–Вейерштрасса (см. п. 9.2): 1) при 1 t t = 0 ) ( ; 0 1 1 ) ( 1 1 ) 1 ( 1 = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = = ∑ t t i j i n i t t i i x F t x L x x F t L & & & ; (153) 2) при ) 1 ..., , 3 , 2 ( − = = q j t t j 0 ) ( ) ( ; 0 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + − = + = − − j j t t i j j i t t i j j i t x F t x L t x F t x L & ; (154) 0 1 ) 1 ( 1 ) ( = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑ ∑ = = − = = − + n i t t i i j n i t t i i i j j j j x x F x x F t L & & & & ; (155) 3) при q t t = 0 ) ( ; 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − = − ∑ q q t i q q i n i t i i q g x F t x L x x F t L & & & . (156) Для задач с фиксированными величинами разрывов (скачков) краевые условия типа (146) включают соотношения вида ) ( ) ( ) ( j i j i j i k t x t x g ∆ − − ≡ + − , (157) где ) ( j i ∆ – постоянная (величина скачка i x в момент времени j t ), p k q j n i , 1 , 1 , 2 , , 1 = − = = Тогда при ) 1 , 2 ( − = = q j t t j условия (154) и (155) имеют вид 0 1 ) 1 ( 1 ) ( = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑ ∑ = = − = = − + n i t t i i j n i t t i i j j j j x x F x x F t L & & & & ; (158) 0 ) ( ) 1 ( ) ( = ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − + = − = j j t t i j t t i j j i x F x F t x L & & . (159) Контрольные вопросы 1. Перечислите необходимые условия оптимальности. 2. Приведите физическую интерпретацию задачи с разрывами. Г л а в а 1 1 ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ 11.1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача в пространстве 2 1 ) , ( ) , ( R R R × ∆ × ∆ = Ξ r n C C : f in ) , ), ( ), ( ( 1 0 0 ′ → ⋅ ⋅ Β t t u x ; (з) 0 )) ( ), ( , ( ) ( ) , ), ( ), ( ( 1 0 = − = ⋅ ⋅ Φ t t t t t t u x x u x ϕ & ; (1) m i t t i ′ = ≤ ⋅ ⋅ Β , 1 , 0 ) , ), ( ), ( ( 1 0 u x ; (2) m m i t t i , 1 , 0 ) , ), ( ), ( ( 1 0 + ′ = = ⋅ ⋅ Β u x , (3) где m i t t t t dt t f t t t t i i i , 0 , )) ( , ), ( , ( ) , , ( ) , ), ( ), ( ( 1 0 1 1 0 0 1 0 = ψ + = ⋅ ⋅ Β ∫ x x u x u x Здесь ∆ – заданный конечный отрезок, , , 1 0 ∆ ∈ t t f i : R × R n × × R r → R – функции n + r + 1 переменных, R R R R R → × × × ψ n n i : – функции 2n + 2 переменных, n r n R R R R → × × ϕ : вектор-функция n + r + 1 переменных. Ограничение (1) называется дифференциальной связью, вектор-функция )) ( ..., ), ( ( ) ( 1 ⋅ ⋅ = ⋅ n x x x – фазовой переменной, вектор-функция )) ( ..., ), ( ( ) ( 1 ⋅ ⋅ = ⋅ r u u u – управлением. Четверка ) , ), ( ), ( ( 1 0 t t ⋅ ⋅ u x называется управляемым процессом в задаче Лагранжа, если ) , ( ) ( ), , ( ) ( 1 r n C C R u R x ∆ ∈ ⋅ ∆ ∈ ⋅ , 1 0 1 0 , int , t t t t < ∆ ∈ , и всюду на отрезке ] , [ 1 0 t t выполняется дифференциальная связь (1), и допустимым управляемым процессом, если эта четверка является управляемым процессом и, кроме того, выполнены огра- ничения (2), (3). Допустимый управляемый процесс ) ˆ , ˆ ), ( ˆ ), ( ˆ ( ˆ 1 0 t t ⋅ ⋅ = & u x ξ называется оптимальным (в слабом смысле) процессом, или слабым минимумом в задаче (з), если существует такое 0 > δ , что для любого допустимого управляемого процесса ) , ), ( ), ( ( 1 0 t t ⋅ ⋅ = u x ξ , удовлетворяющего условию δ < − Ξ ξ ξ ˆ , выполнено неравенство ) ˆ ( ) ( ξ ξ Β Β ≥ Правило решения. 1. Составить функцию Лагранжа: ) ], , ([ ) ( ), ..., , , ( , )) ( , ), ( , ( )) , , ( )( ( ) , , ( ) ), ( ; , ), ( ), ( ( * 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 n m t t m i i i m i i i t t C p t x t t x t dt t t t f t t R u x x p u x p u x ∈ ⋅ λ λ λ = λ ψ λ + − + λ = = λ ⋅ ⋅ ⋅ Α ∫ ∑ ∑ = = ϕ & 2. Выписать необходимые условия оптимального в слабом смысле процесса ) ˆ , ˆ ), ( ˆ ), ( ˆ ( ˆ 1 0 t t ⋅ ⋅ = u x ξ : а) стационарности по x – уравнение Эйлера: ] ˆ , ˆ [ ) ( ˆ ) ( ) ( ˆ ) ( 0 ) ( ˆ ) ( ˆ 1 0 0 t t t t t t f t p t L t L dt d x m i ix i x x ∈ ∀ ϕ − λ = ⇔ = + − ∑ = p & & для лагранжиана )) , , ( )( ( ) , , ( 0 u x x p u x t t t f L m i i i ϕ − + λ = ∑ = & ; б) трансверсальности по x: 1 , 0 , ˆ ) 1 ( ) ˆ ( ˆ ) 1 ( ) ˆ ( ˆ 0 ) ( ) ( = ψ λ − = ⇔ − = ∑ = k t p l t L m i t ix i k k t x k k x k k & для терминанта ∑ = ψ λ = m i i i t t t t l 0 1 1 0 0 )) ( , ), ( , ( x x ; в) стационарности по u: ] ˆ , ˆ [ 0 ) ( ˆ ) ( ) ( ˆ 0 ) ( ˆ 1 0 0 t t t t t t f t L m i u iu i u ∈ ∀ = ϕ − λ ⇔ = ∑ = p ; г) стационарности по k t : 1 , 0 , 0 )) ˆ ( ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ( ˆ ) 1 ( 0 ˆ ) ( 0 0 1 = = ψ + ψ λ + λ − ⇔ = Α ∑ ∑ = = + k t t f k t ix it m i i m i k i i k t k k k x& (условие стационарности по k t выписывается только для подвижных концов); д) дополняющей нежесткости m i i i ′ = = Β λ , 1 , 0 ) ˆ ( ξ ; е) неотрицательности m i i ′ = ≥ λ , 0 , 0 3. Найти допустимые управляемые процессы, для которых выполняются условия п. 2 с множителями Лагранжа λ и ) ( ⋅ p , одновременно не равными нулю. При этом бывает полезно отдельно рассмотреть случаи 0 0 = λ и 0 0 ≠ λ . Во втором случае можно положить 0 λ , равным единице или любой другой положительной константе. 4. Среди всех найденных в п. 3 допустимых экстремальных процессов отыскать решение или доказать, что решения нет. Предлагаем проверить, что правило решения составлено в полном соответствии с общим принципом Лагранжа. Набор условий для нахождения оптимального процесса является полным. Действительно, для определения неизвестных функций ) ( ), ( ), ( ⋅ ⋅ ⋅ |