Громов - СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление
 Скачать 1.34 Mb.
|
|
u p x мы имеем систему из дифференциальных уравнений (1) и условий б), в). Выражая из последнего (ра- зумеется, когда это можно сделать, например, если выполнены условия теоремы о неявной функции) ) ( ⋅ u через ) ( ⋅ x и ) ( ⋅ p , мы получаем систему из 2n скалярных дифференциальных уравнений. Ее общее решение зависит от 2n произвольных посто- янных и еще от множителей Лагранжа i λ , среди которых m независимых. Добавляя сюда еще 0 t и 1 t , получаем всего 2n + m + 2 неизвестных. Для их определения мы имеем 2n условий трансверсальности б), m условий дополняющей нежесткости и заданных ограничений (3) и два условия стационарности по k t . Таким образом, число неизвестных совпадает с числом урав- нений. (Разумеется, разрешимости полученной системы уравнений указанное обстоятельство не гарантирует.) 11.2. Принцип максимума в форме Лагранжа Задачей оптимального управления (в понтрягинской форме) будем называть следующую задачу в пространстве 2 1 ) , ( ) , ( R R KC R KC r n × ∆ × ∆ [14]: inf ) , ), ( ), ( ( 1 0 0 → ⋅ ⋅ Β t t u x ; (з) )) ( ), ( , ( ) ( t t t t u x x ϕ = & ; (1) ] , [ ) ( 1 0 t t t U t ∈ ∀ ∈ u ; (2) m i t t i ′ = ≤ ⋅ ⋅ Β , 1 , 0 ) , ), ( ), ( ( 1 0 u x ; (3) m m i t t i , 1 , 0 ) , ), ( ), ( ( 1 0 + ′ = = ⋅ ⋅ Β u x , (4) где m i t t t t dt t t t f t t i t t i i , 0 )), ( , ), ( , ( )) ( ), ( , ( ) , ), ( ), ( ( 1 1 0 0 1 0 1 0 = ψ + = ⋅ ⋅ Β ∫ x x u x u x Здесь ∆ – заданный конечный отрезок, ∆ ∈ 1 0 , t t , f i : R × R n × × R r → R – функции n + r + 1 переменных, R R R R R → × × × ψ n n i : – функции 2n + 2 переменных; n r n R R R R → × × ϕ : – вектор-функция n + r + 1 переменных, U – произвольное множество из r R . Частным случаем задачи (з) является задача, в которой один из концов или даже оба закре- плены. Вектор-функция ) ( ⋅ x называется фазовой переменной, ) ( ⋅ u – управлением. Уравнение (1), называемое дифференциаль- ной связью, должно выполняться во всех точках непрерывности управления ) ( ⋅ u на интервале ) , ( 1 0 t t (это множество будет обозначаться через T). Четверка ) , ), ( ), ( ( 1 0 t t ⋅ ⋅ u x называется управляемым процессом в задаче оптимального управления, если ), , ( ) ( 1 n KC R x ∆ ∈ ⋅ ) , ( ) ( r KC R u ∆ ∈ ⋅ и выполняются дифференциальная связь (1) и ограничение типа включения (2). Управ- ляемый процесс является допустимым, если, кроме того, выполняются соотношения (3) и (4). Допустимый управляемый процесс ) ˆ , ˆ ), ( ˆ ), ( ˆ ( ˆ 1 0 t t ⋅ ⋅ = u x ξ называется (локально) оптимальным (или еще говорят опти- мальным в сильном смысле процессом), если существует 0 > δ такое, что для всякого допустимого управляемого процесса ) , ), ( ), ( ( 1 0 t t ⋅ ⋅ = u x ξ , для которого δ < ⋅ − ⋅ × ∆ 2 ) , ( 1 0 1 0 ) ˆ , ˆ ), ( ˆ ( ) , ), ( ( R R x x n C t t t t выполняется неравенство ) ˆ ( ) ( 0 0 ξ ξ Β ≥ Β Правило решения. 1. Составить функцию Лагранжа: ) ], , ([ ) ( ), ..., , , ( ; )) ( , ), ( , ( )) , , ( )( ( ) , , ( * 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 n m m i i i t t m i i i t t KC t t t t dt t t t f R p x x u x x p u x ∈ ⋅ λ λ λ = λ ψ λ + + − + λ = Α ∑ ∫ ∑ = = ϕ & 2. Выписать необходимые условия оптимальности процесса ) ˆ , ˆ ), ( ˆ ), ( ˆ ( ˆ 1 0 t t u x ⋅ ⋅ = ξ : а) стационарности по x – уравнение Эйлера: ∑ = ϕ − λ = ⇔ = + − m i x ix i x x t t t f t t L t L dt d 0 ) ( ˆ ) ( ) ( ˆ ) ( 0 ) ( ˆ ) ( ˆ p p& & , для лагранжиана )) , , ( )( ( ) , , ( 0 u x x p u x t t t f L m i i i ϕ − + λ = ∑ = & ; б) трансверсальности по x: 1 , 0 , ˆ ) 1 ( ) ˆ ( ˆ ) 1 ( ) ˆ ( ˆ 0 = ψ λ − = ⇔ − = ∑ = k t p l t L m i ix i k k x k k x k k & , для терминанта ∑ = ψ λ = = m i i i x t x t x t x t l l 0 1 1 0 0 1 1 0 0 ) , , , ( ) , , , ( ; в) оптимальности по u – принцип минимума в лагранжевой форме: ∑ ∑ = = ∈ ∈ ϕ − λ = = ϕ − λ ⇔ ⇔ = m i i i m i i i U u U u t t t t t t t f t t t t t f t t t t L t t t L 0 0 )) ( ˆ ), ( ˆ , ( ) ( )) ( ˆ ), ( ˆ , ( ) ), ( ˆ , ( ) ( ) ), ( ˆ , ( min )) ( ˆ ), ( ˆ ), ( ˆ , ( ˆ ) ), ( ˆ ), ( ˆ , ( ˆ min u x p u x u x p u x u x x u x x & & или в гамильтоновой (понтрягинской) форме в виде принципа максимума: )) ( ), ( ˆ ), ( ˆ , ( )) ( , ), ( ˆ , ( max t t t t H t t t H U u p u x p u x = ∈ , где ∑ = λ − = m i i i u x t f u x t t H 0 ) , , ( ) , , ( ) , , , ( ϕ p p u x – функция Понтрягина; г) стационарности по k t : 1 , 0 , ˆ ) 1 ( ) ˆ ( ˆ 0 )) ˆ ( ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ( ˆ ) 1 ( 0 ˆ 1 0 0 1 = − = ⇔ ⇔ = ψ + ψ λ + λ − ⇔ = Α + = = + ∑ ∑ k l t H t x t f k k k k t k k m i k ix it i m i k i i k t & (условие стационарности выписывается только для подвижных концов); д) дополняющей нежесткости m i i i ′ = = Β λ , 1 , 0 ) ˆ ( ξ ; е) неотрицательности m i i ′ = ≥ λ , 0 , 0 3. Найти допустимые управляемые процессы, для которых выполняются условия п. 2 с множителями Лагранжа λ и ) ( ⋅ p , одновременно не равными нулю. При этом бывает удобно отдельно рассмотреть случаи 0 0 = λ и 0 0 ≠ λ . Во втором случае можно положить 0 λ равным единице или любой другой положительной константе. 4. Отыскать решение среди найденных допустимых экстремальных процессов или показать, что решения нет. Можно показать, что описанное выше правило решения находится в полном соответствии с принципом Лагранжа сня- тия ограничений. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящем учебном пособии представлена точка зрения авторов на процесс подготовки студентов информационно- инженерных специальностей по данной дисциплине. Особое внимание уделено изучению роли методов теории оптимальных процессов при решении прикладных технико- экономических задач. Рассмотрен набор необходимых условий оптимальности как для основной задачи оптимального управления, так и для случаев, когда управление является особым, а задача осложнена фазовыми и смешанными ограничениями. Элементы классиче- ского вариационного исчисления рассматриваются как следствие использования «принципа максимума». В отдельных главах представлены задачи с разрывными фазовыми координатами. Особое внимание уделено рассмотре- нию принципа максимума в форме Лагранжа, что, на взгляд авторов, облегчает его понимание. Приведена методика изуче- ния необходимых условий оптимальности для решения прикладных задач. Следует отметить, что отсутствие методов выбора оптимизируемых функционалов ограничено сдерживает применение методов теории оптимальных процессов при решении прикладных задач. Это связано с трудностями построения математических критериев, определяющих свойства переходных процессов в замкнутых динамических системах. За рамками предлагаемого учебного пособия остается широкий круг вопросов, связанных с построением оптимальных управлений системами, функционирующими в условиях неопределенности стохастической или нечеткой природы. Следует отметить, что для более глубокого изучения вопросов, рассматриваемых в данном учебном пособии необходи- мо обратиться к списку литературы, в который включены работы, ставшие классическими. Изложение представленного материала не перегружено математическими конструкциями, выходящими за рамки мате- матики для инженерных специальностей высших учебных заведений. Исследования авторов настоящего учебного пособия, направленные на совершенствование процесса обучения специа- листов в области информационных систем по рассматриваемой дисциплине, найдут отражение в дальнейших разработках и публикациях. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин [и др.]. – М. : Наука, 1969. – 384 с. 2. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. – М. : Наука, 1969. – 408 с. 3. Красовский, Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский. – М. : Наука, 1968. – 476 с. 4. Красовский, Н.Н. Управление динамической системой / Н.Н. Красовский. М.: Наука, 1985. 520 с. 5. Красовский, А.А. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами / А.А. Красов- ский. – М. : Машиностроение, 1969. – 238 с. 6. Летов, А.М. Динамика полета и управление / А.М. Летов. – М. : Наука, 1969. – 360 с. 7. Основы теории оптимального управления / В.Ф. Кротов [и др.] ; под ред. В.Ф. Кротова. – М. : Высшая школа, 1990. – 429 с. 8. Кротов, В.Ф. Методы и задачи оптимального управления / В.Ф. Кротов, В.И. Гурман. – М. : Наука, 1973. – 448 с. 9. Моисеев, Н.Н. Элементы теории оптимальных систем / Н.Н. Моисеев. – М. : Наука, 1975. – 420 с. 10. Фельдбаум, А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем / А.А. Фельдбаум. – М. : Физматлит, 1963. – 552 с. 11. Зубов, В.И. Лекции по теории управления / В.И. Зубов. – М. : Физматлит, 1975. – 495 с. 12. Дубовицкий, А.Я. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления / А.Я. Дубо- вицкий, А.А. Милютин. – М. : Наука, 1971. – 115 с. 13. Иоффе, А.Д. Теория экстремальных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. – М. : Наука, 1974. – 470 с. 14. Алексеев, В.М. Оптимальное управление / В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. – М. : Наука, 1979. – 430 с. 15. Евтушенко, Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации / Ю.Г. Евтушен- ко. – М. : Наука, 1982. – 432 с. 16. Калман, Р.Е. Об общей теории систем управления / Р.Е. Калман // Труды I конгресса ИФАК / Изв. АН СССР. – М., 1961. – Т. 2. – 231 с. 17. Атанс, М. Оптимальное управление / М. Атанс, П.Л. Фалб. – М. : Наука, 1968. – 764 с. 18. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус. – М. : Наука, 1972. – 576 с. 19. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. – М., 1960. – 326 с. 20. Федоренко, Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления / Р.П. Федоренко. – М. : Наука, 1978. – 488 с. 21. Поляк, Б.Т. Методы линеаризации при наличии ограничений / Б.Т. Поляк // Итоги науки и техники. Матем. анализ Е. 2 / ВИНИТИ. – М., 1974. – С. 147 – 148. 22. Поляк, Б.Т. Методы решения задач на условный экстремум при наличие случайных помех / Б.Т. Поляк // ВМ и МФ. – М., 1979. – Т. 19, № 1. – С. 147 – 148. 23. Полак, Э. Численные методы оптимизации. Единый подход / Э. Полак. – М. : Мир, 1974. – 374 с. 24. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М. : Наука, 1969. – 424 с. 25. Цлаф, Л.Я. Вариационное исчисления и интегральные уравнения / Л.Я. Цлаф. – М. : Наука, 1970. – 191 с. 26. Петров, Ю.П. Вариационные методы теории управления / Ю.П. Петров. – М. : Наука, 1973. 27. Цирлин, А.М. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов / А.М. Цирлин, В.С. Балакирев, Е.Г. Дуд- ников. – М. : Наука, 1984. 28. Калихман, И.А. Динамическое программирование в примерах и задачах / И.А. Калихман. – М. : Высшая школа, 1979. – 125 с. Оглавление ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………... 3 Глава 1 РОЛЬ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ …... 6 1.1. Общая задача оптимального управления и ее математи- ческая модель ………………………………………………. 6 1.2. Классификация методов теории оптимальных процессов 9 1.3. Необходимые условия оптимальности управления, дос- таточные условия оптимальности и проблема существо- вания оптимального управления ………………………….. 10 1.4. Общая характеристика результатов, которые могут быть получены методами теории оптимального управления …. 12 1.5. Условие рационального применения методов оптими- зации ………………………………………………………… 13 Глава 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕ- СКОЙ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ 14 2.1. Математические модели. Переменные состояния (фазо- вые координаты) управляемого процесса ………………... 14 2.2. Управление ………………...………………...……………... 20 2.3. Эволюция состояния системы. Дифференциальные урав- нения движения ………………...……………….………….. 20 2.4. Функционал. Критерий качества управления ...……….…. 22 2.5. Автономные системы ………………...……………….…… 23 2.6. Допустимое программное управление ……………….…... 24 2.7. Допустимый закон управления ……………….…………... 26 2.8. Допустимые траектории и процессы ……………….…….. 26 2.9. Граничные условия. Краевая задача ……………….……... 26 Глава 3 ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ………………………………………………………. 29 3.1. Основная задача оптимального координатного управле- ния …………………………………………………………... 29 3.2. Оптимальные траектории …………………………………. 30 3.3. Свойства оптимальных управлений и оптимальных тра- екторий ……………………………………………………… 30 3.4. Геометрическая интерпретация основной задачи опти- мального управления ………………………………………. 32 Глава 4 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ………………………………………… 34 4.1. Краткая формулировка задачи ……………………………. 34 4.2. Некоторые вспомогательные построения и терминология 35 4.3. Принцип максимума Л.С. Понтрягина …………………… 36 4.4. Некоторые следствия принципа максимума ……………... 40 Глава 5 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ……... 45 5.1. Задача синтеза оптимального закона управления …….…. 45 5.2. Принцип оптимальности динамического программиро- вания ……...……...……...……...……...……...……...……... 45 5.3. Ослабленное необходимое условие ……...……...…….….. 49 5.4. Сводка общих процедур метода динамического про- граммирования для вычисления оптимального закона управления u * = v * (t, x) ..……...……...……...……………... 53 Глава 6 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ОСОБОГО УПРАВЛЕНИЯ ………………………………………………………. 63 6.1. Краткая формулировка задачи ……………………………. 63 6.2. Процедура нахождения особого управления …………….. 66 6.3. Необходимое условие оптимальности особого управле- ния …………………………………………………………... 67 6.4. Необходимые условия в точках сопряжения особого и регулярного управлений …………………………………... 68 Глава 7 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕ- НИЯ В ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИМИ ТОЛЬКО ФАЗОВЫЕ КООРДИНАТЫ x …….. 69 7.1. Краткая формулировка задачи ……….……….…………... 69 7.2. Необходимые условия оптимальности ……….……….….. 70 7.3. Первый тип необходимых условий оптимальности для граничных участков траектории ……….……….………… 72 7.4. Второй тип необходимых условий для оптимальности управления на граничных участках ……….……….……... 74 Глава 8 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕ- НИЯ В ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИМИ ОДНОВРЕМЕННО ФАЗОВЫЕ КООРДИНА- ТЫ x И УПРАВЛЕНИЕ u …………………………………………… 75 8.1. Краткая формулировка задачи ……………………………. 76 8.2. Типы граничных условий …………………………………. 77 8.3. Необходимые условия оптимальности …………………… 77 8.4. Аналог необходимого условия Клебша …………………... 79 Глава 9 81 ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ………………………………………………………. 9.1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа ………………………... 81 9.2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца ………………………………………………. 83 9.3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f ≡ 0, f k ≡ 0 …………………………………………………………. 86 9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f k = 0 …….. 87 9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (усло- вие Якоби–Майера–Кнезера) ……………………………… 88 Глава 10 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ ……………. 90 10.1. Краткая формулировка задачи ……………………………. 90 10.2. Необходимые условия оптимальности …………………… 91 Глава 11 ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ……. 94 11.1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа ………………... 94 11.2. Принцип максимума в форме Лагранжа …………………. 96 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………… 100 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………… 102 |