Громов - СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление
 Скачать 1.34 Mb.
|
|
Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, А.В. Лагутин, О.Г. Иванова, В.М. Тютюнник СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ • ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ • Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, А.В. Лагутин, О.Г. Иванова, В.М. Тютюнник Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами Рекомендовано УМО вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 071900 – «Информационные системы и технологии» Издание второе, стереотипное ТАМБОВ Издательство ТГТУ 2007 УДК 004(075) ББК Í 96я73 С71 Рецензенты: Доктор технических наук, профессор Ю.Л. Муромцев Доктор физико-математических наук, профессор А.И. Булгаков С71 Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами : учеб. пособие / Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, А.В. Лагутин, О.Г. Иванова, В.М. Тютюнник. – 2-е изд., стереотип. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2007. – 108 с. – 110 экз. – ISBN 978-5-8265-0627-1. Рассмотрены основные понятия и определения математической теории оптимальных процессов управления. Проанализи- рованы основные методы теории оптимальных процессов, дана постановка основных задач оптимального управления, необходимые условия оптимальности управления и математический аппарат, позволяющий получить решения для раз- личных классов задач. Ученым советом ТГТУ рекомендовано для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям 230201 «Информационные системы и технологии», 090105 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», и для студентов среднего профессионального образования, обучающихся по специально- сти 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем». УДК 004(075) ББК Í 96я73 ISBN 978-5-8265-0627-1 ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» (ТГТУ), 2007 Учебное издание ГРОМОВ Юрий Юрьевич, ЗЕМСКОЙ Николай Александрович, ЛАГУТИН Андрей Владимирович, ИВАНОВА Ольга Геннадьевна, ТЮТЮННИК Вячеслав Михайлович Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами Учебное пособие Издание второе, стереотипное Редактор З.Г. Чернова Инженер по компьютерному макетированию Т.А. Сынкова Подписано к печати 15.10.2007. Формат 60 × 84/16. 6,28 усл. печ. л. Тираж 110 экз. Заказ № 653 Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета 392000, Тамбов, ул. Советская, 106, к. 14 ВВЕДЕНИЕ Переход к рыночной экономике неотъемлем от процессов планирования, регулирования, управления и прогнозирования производственных и технологических процессов. В этой связи актуальны разработка и применение экономико- математических методов и моделей для решения возникающих производственно-хозяйственных задач, определения и выбо- ра вариантов экономического развития на перспективу, обеспечения оптимального распределения ресурсов для выполнения отдельных комплексов работ и т.п. Насущные производственно-хозяйственные задачи не могут быть поставлены и решены без использования методов экономической кибернетики, включающей следующие разделы: системный анализ экономики, теорию экономической информации, теорию управляющих систем. Определение оптимального варианта текущего и пер- спективного развития, как правило, связано с решением динамических задач оптимизации (оптимального управления), имеющих большую размерность и множество разнообразных условий и ограничений, что обуславливает сложность решения из-за существенно многоэкстремального характера. Развитие теории оптимального управления связано с ростом требований как к быстродействию и точности систем регу- лирования, так и переходом к рыночной экономике. Увеличение быстродействия возможно лишь при правильном распреде- лении ограниченных ресурсов управления, и поэтому учет ограничений на управление стал одним из центральных в теории оптимального управления. С другой стороны, построение систем регулирования высокой точности привело к необходимости учета при синтезе регуляторов взаимовлияния отдельных частей (каналов) системы. Синтез таких сложных многомерных (многосвязных) систем также составляет предмет теории оптимального управления. К настоящему времени построена математическая теория оптимального управления. На ее основе разработаны способы построения оптимальных по быстродействию систем и процедуры аналитического конструирования оптимальных регулято- ров. Аналитическое конструирование регуляторов вместе с теорией оптимальных наблюдателей (оптимальных фильтров) образуют совокупность методов, которые широко используются при проектировании современных сложных систем регули- рования. Сложность задач теории оптимального управления потребовала более широкой математической базы для ее построе- ния. В названной теории используются вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений, теории матриц. Развитие оптимального управления на этой базе привело к пересмотру многих разделов теории автоматического управления, и поэтому теорию оптимального управления иногда называют современной теорией управления. Хотя это и преувеличение роли лишь одного из разделов, однако развитие теории автоматического управления определяется последние десятилетия во многом развитием этого раздела. В построение теории оптимального управления внесли большой вклад российские ученые Л.С. Понтрягин, Н.Н. Кра- совский, А.А. Красовский, А.М. Летов, В.Г. Болтянский, В.Ф. Кротов, В.И. Гурман, Н.Н. Моисеев, А.А. Фельдбаум, В.И. Зубов, А.Я. Дубовицкий, А.А. Милютин, А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров, Ю.Г. Евтушенко и зарубежные – Р.Е. Калман, М. Атанс, П.Л. Фолб, Э.Б. Ли, Л.М. Маркус и Р. Беллман. В широком значении слово «оптимальный» означает наилучший в смысле некоторого критерия эффективности. При таком толковании любая научно обоснованная технико-экономическая система является оптимальной, так как при выборе какой-либо системы подразумевается, что она в каком-либо отношении лучше других. Критерии, с помощью которых осу- ществляется выбор (критерии оптимальности), могут быть различными. Ими могут являться качество динамики процессов управления, надежность системы, энергопотребление, ее вес и габариты, стоимость и т.п., либо совокупность этих критериев с некоторыми весовыми коэффициентами. Ниже термин «оптимальный» используется в узком смысле, когда система автоматического управления оценивается лишь качеством динамических процессов, причем критерием (мерой) этого качества выступает интегральный показатель качества. Такое описание критериев качества позволяет использовать для нахождения оптимального управления хорошо разработанный в математике аппарат вариационного исчисления. Далее рассматриваются два класса систем: 1) программного управления, управляющее воздействие в которых не ис- пользует информацию о текущем состоянии объекта; 2) автоматического регулирования (системы стабилизации программ- ного движения), действующие по принципу обратной связи. Изложение начинается с рассмотрения вариационных задач, возникающих при построении оптимальных систем про- граммного и стабилизирующего управления. Далее излагается математическая теория оптимального управления (принцип максимума Л.С. Понтрягина и метод динамического программирования Р. Беллмана), которая является фундаментом для построения оптимальных систем. Она доставляет большой объем информации о структуре оптимального управления. Вме- сте с тем практическое применение теории сталкивается с трудностями вычислительного характера. Дело в том, что матема- тическая теория оптимального управления позволяет свести процесс построения оптимального управления к решению крае- вой задачи для дифференциальных уравнений (обыкновенных, либо в частных производных). Трудности численного реше- ния краевых задач приводят к тому, что построение оптимальных управлений для каждого класса объектов управления явля- ется самостоятельной творческой задачей, решение которой требует учета специфических особенностей объекта, опыта и интуиции разработчика. Огромный вклад в развитие численных методов решения задач математической теории оптимального управления вне- сли российские ученые Р.П. Федоренко, Б.Т. Поляк [20 – 22], а также зарубежные Э. Полак [23] и др. Указанные обстоятельства побудили к отысканию классов объектов, для которых при построении оптимального управле- ния краевая задача легко решается численно. Такими объектами управления оказались объекты, описываемые линейными дифференциальными уравнениями. Эти результаты, полученные А.М. Летовым [6] и Р. Калманом [16], явились основой ново- го направления синтеза систем оптимальной стабилизации, называемого аналитическим конструированием регуляторов. Г л а в а 1 РОЛЬ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В общем процессе проектирования технических систем можно видеть проблемы двух типов. 1 Проектирование системы управления, направленной на достижение поставленной задачи (формирование траекто- рий, режимов, выбор методов управления, реализующих траектории и т.д.). Этот круг задач можно назвать проектированием движений. 2 Проектирование конструктивных и прочностных схем (выбор геометрических, аэродинамических, конструктивных и других параметров), обеспечивающих выполнение общих характеристик и конкретных режимов работы. Этот круг задач проектирования связан с выбором ресурсов, необходимых для реализации поставленных задач. Проектирование движений (изменение технологических параметров) тесно связано с группой проблем второго типа, так как получаемая при проектировании движений информация является исходной (во многом определяющей) для решения этих проблем. Но и в тех случаях, когда имеется уже готовая техническая система (т.е. располагаемые ресурсы определены), в процессе его модификации могут быть осуществлены оптимизирующие приемы. Проблемы первого типа решаются в настоящий момент наиболее эффективно и строго на основе общих методов мате- матической теории оптимальных процессов управления. Значение математической теории оптимальных процессов управления заключается в том, что она дает единую методо- логию решения весьма широкого круга задач оптимального проектирования и управления, устраняет инерции и недостаточ- ную общность прежних частных методов и способствует ценным результатам и методам, полученным в смежных областях. Теория оптимальных процессов позволяет решать широкий круг практических задач в достаточно общей постановке с учетом большинства ограничений технического характера, накладываемых на осуществимость технологических процессов. Роль методов теории оптимальных процессов особенно возросла в последние годы в связи с широким внедрением в процесс проектирования ЭВМ. 1.1. Общая задача оптимального управления и ее математическая модель Исходная информация для решения задач оптимального управления содержится в постановке задачи. Задача управле- ния может формулироваться в содержательных (неформальных) терминах, которые часто носят несколько расплывчатый характер. Для применения математических методов необходима четкая и строгая формулировка задач, которая бы устраняла возможные неопределенности и двусмысленности и одновременно делала бы задачу математически корректной. С этой це- лью для общей задачи необходима адекватная ей математическая формулировка, называемая математической моделью зада- чи оптимизации. Математическая модель (ММ) – достаточно полное математическое описание динамической системы и процесса управ- ления в рамках выбранной степени приближения и детализации. ММ отображает исходную задачу в некоторую математическую схему, в конечном итоге – в некоторую систему чисел. В ней, с одной стороны, явно указываются (перечисляется) все сведения, без которых невозможно приступить к аналитиче- скому или численному исследованию задачи, а с другой, – те дополнительные сведения, которые вытекают из сущности за- дачи и которые отражают определенное требование к ее характеристикам. Полная ММ общей задачи оптимизации управления состоит из ряда частных ММ: • процесса управляемого движения; • располагаемых ресурсов и технических ограничений; • показателя качества процесса управления; • управляющих воздействий. Таким образом, математическая модель общей задачи управления характеризуется совокупностью определенных мате- матических соотношений между ее элементами (дифференциальных уравнений, ограничений типа равенств и неравенств, функций качества, начальных и граничных условий и т.д.). В теории ОП устанавливаются общие условия, которым должны удовлетворять элементы ММ для того, чтобы соответствующая математическая задача оптимизации была бы: • четко определена; • имела бы смысл, т.е. не содержала условий, приводящих к отсутствию решения. Отметим, что формулировка задач и ее ММ в процессе исследования не остаются неизменными, а находятся во взаимо- действии друг с другом (рис. 1). Обычно первоначальная формулировка и ее ММ претерпевают значительные изменения в конце исследования. Таким образом, построение адекватной ММ напоминает итерационный процесс, в ходе которого уточняется как постановка самой общей задачи, так и формулировка ММ. Важно подчеркнуть, что для одной и той же задачи ММ может быть не единствен- ной (разные системы координат и т.д.). Поэтому необходим поиск такого варианта ММ, для которой решение и анализ зада- чи были бы наиболее просты. Рис. 1. Схема взаимосвязи постановки технических задач оптимизации с соответствующей математической моделью и результатами решения задач оптимизации для ММ Важным шагом в постановке и решении общей задачи управления является выбор критерия оптимальности. Этот выбор является неформальным актом, он не может быть предписан какой-либо теорией, а целиком определяется содержанием за- дачи. В некоторых случаях формальное выражение понимания оптимальности системы допускает несколько эквивалентных (или почти эквивалентных) формулировок. В таких случаях успех и простота получаемого решения во многом определяется выбранной формой критерия оптимальности (при условии, что во всех случаях он достаточно полно определяет требования задачи к системе). После построения ММ процесса управления дальнейшее ее исследование и оптимизация проводятся ма- тематическими методами. 1.2. Классификация методов теории оптимальных процессов Методы теории оптимальных процессов (ТОП) можно условно разделить на прямые и непрямые (косвенные). Непрямые методы сводят задачу оптимизации динамических характеристик системы, которые являются функционала- ми, к решению известных математических проблем. К непрямым методам относятся: 1. Принцип максимума Л.С. Понтрягина [1, 2] и метод множителей Лагранжа классического вариационного исчисле- ния [24 – 27]. Принцип максимума сводит решение задачи оптимизации функционалов к решению известных задач – макси- мизации или минимизации некоторой специальной функции конечного числа переменных в сочетании с решением краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка. В классическом вариационном исчислении (ВИ) задача оптимизации функционала сводится к решению краевой задачи для системы ОДУ. Принцип макси- мума особенно удобен для решения оптимизационных задач, так как позволяет наиболее простым образом учесть различно- го рода ограничения на величины управляющих и фазовых переменных (переменных состояния). Классическое вариацион- ное исчисление более удобно в задачах, описываемых ОДУ более общего вида (в частности, не разрешенных относительно производных) и не содержащих ограничений в виде неравенств на управляющие и фазовые переменные. 2. Принцип оптимальности, положенный в основу динамического программирования Р. Беллмана [19] и метод Га- мильтона-Якоби классического вариационного исчисления [25 – 27]. В этих методах задача оптимизации функционала сво- дится к решению системы нелинейных ДУ в частных производных первого порядка с соответствующими граничными усло- виями. 3. Некоторые методы, основанные на использовании результатов функционального анализа (метод моментов и т.д.). Прямые методы ТОП сводят задачу оптимизации функционала к построению минимизирующей (или максимизирую- щей) последовательности, на основании которой с помощью предельного перехода может быть получено точное решение задачи (В.Ф. Кротов, В.И. Гурман [7, 8]). К прямым методам относятся методы, основанные на сведении задач оптимизации функционалов к задачам на условный экстремум функций конечного числа переменных, различные варианты градиентных методов (Э. Полак, Б.Т. Поляк [21 – 23]), методы типа Ритца-Галеркина и др. Как в случае применения непрямых методов, так и в случаях использования прямых методов окончательное решение задачи оптимизации может отыскиваться либо в аналитической (замкнутой) форме, либо в числовой. Постановка исходной за- дачи (формулировка). Вы- бор критерия оптимальности Формулировка ММ общей задачи. Постановка матема- тической задачи оптимиза- ции Выбор общего подхода к решению математической задачи оптимизации Корректировка ММ на осно- ве интерпретации получен- ного решения ММ. Иссле- дование возможности упро- щения модели Анализ полученного ре- шения, оценка точности и достоверности предвари- тельных результатов Выбор численного метода (алгоритма) решения задачи Уточнение формулировки задачи на основе результа- тов решения ММ Улучшение точности и вы- числительной эффективно- сти алгоритмов решения за- дачи оптимизации Решения в квадратурах (за исключением редких случаев, таких как линейные системы с квадратным критерием качест- ва) могут быть найдены лишь для задач в упрощенной постановке. С их помощью можно исследовать качественные особенности оптимального управления. Если аналитическое решение не слишком громоздко, из него можно получить необходимые технико-экономические выводы. Поскольку решение такого рода не зависит от конкретных числовых значений параметров системы и граничных условий, они обладают высокой степе- нью универсальности. Однако в задачах, постановка которых приближается к реальным технико-экономическим ситуациям, получение решений в замкнутой форме, как правило, либо невозможно, либо приводит к весьма сложным выражениям. В этом случае следует обратиться к численным методам решения. Численные методы на современном этапе развития вычислительной математики обладают общностью, сравнимой с общностью аналитических методов. Хотя при их использовании возникают определенные проблемы, связанные с оценками скорости сходимости, устойчивости, ошибками округлений, ограниченной разрядностью и т.д. |