Громов - СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление
 Скачать 1.34 Mb.
|
a x x : ∑ ∑ ∑ = = = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = r j j j n i i i n i i i da a L dx x L dt t L dx x L dt t L dL 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 . (130) З а м е ч а н и е . Если ) ( ), ( 1 1 0 0 a a t t t t = = , то j r j j da a t dt ∑ = ∂ ∂ = 1 0 0 ) (a , ∑ = ∂ ∂ = r j j j da a t dt 1 1 1 ) (a . В силу независимости величин 1 0 1 0 , , , i i dx dx dt dt условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида ) , 1 ( 0 ,..., 0 1 1 1 1 1 n i dx x L F dt t L F x F i t t i x t t n i x i i i = = ∂ ∂ + = ∂ ∂ + − = = = ∑ & & & ; (131) ) , 1 ( 0 ..., , 0 0 1 0 0 n i dx x L F dt t L F x F i t t i x t t n i x i i i = = ∂ ∂ + ∂ ∂ + − = = = ∑ & & & ; (132) ) , 1 ( 0 1 0 n i da dt a F a L j t t j j = = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∫ , (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения ) , 1 ( ), , 1 ( ) ( ), , 1 ( ) ( ), , 1 ( , 0 r j a n i t x m j t k j i j k = = = ρ = λ µ µ 9.3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f ≡ 0, f k ≡ 0 Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей ) , 1 ( ) ( ), , 0 ( m j t k j k = ρ = λ µ , что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента ) , , , , ( λ µ x x & t (в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса ) , , , , ( X λ x x E & & t : ∑ = − − − = n i x i i t F x X t F t F t i 1 ) , , , ( ) ( ) , , , ( ) , , , ( ) , , , , ( λ x x λ x x λ X x X λ x x E & & & & & & & & (134) удовлетворяет неравенству 0 ) , , , , ( ≥ X λ x x Е & & t . (135) Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах ) , , , ( λ X x & t , не совпадающих с элементами ) , , , ( λ x x & t кривой С, но удовлетворяющих условиям ) , 1 ( 0 ) , , , ( m j t F j = = a x x & Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей ) , 1 , , 1 ( ) ( λ , µ , 1 µ 0 ρ = = = k m j t j k – единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется. 9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f k = 0 Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей µ 0 , µ k ) , 1 ( ρ = k , ) , 1 ( ) ( λ m j t j = , что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента ) , , , , ( λ µ x x & t выполняется неравенство 0 ξ ξ ) , , , ( 1 1 ≥ ∑∑ = = n i n k k i x x t F k i λ x x & & & (136) при любых ) 0 ..., , 0 , 0 ( ) ..., , , ( 2 1 ≠ ξ ξ ξ = n ξ , удовлетворяющих уравнениям ) , 1 ( 0 ) , , ( 1 m j t F i n i x j j = = ∑ = ξ x x & & , (137) где k i x x i j jx x x F F x F F k i i & & & & & ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = 2 ; В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица = α γ 0 ) ( 0 T x x x x F F F F F F k i k i x x x x & & & & & & & & (138) ) , 1 , ( ; ) ,..., , ( ) ,..., , ( ), , 1 , ( 2 2 1 2 1 m x x F F x x x F F F F n k i k i n m = γ α ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = = & & & & & & & & x x x Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными). 9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера) Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали. Условие Якоби–Майера–Кнезера . Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке ] , [ 1 0 t t минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок ] , [ 1 0 t t не содержал точек, сопряженных с 0 t Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале ) , ( 1 0 t t точку t , 1 0 t t t < < , сопряженную с 0 t , если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки )) ( , ( 0 0 t t x и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку t своим пределом. Сопряженная точка )) ( , ( t t x является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке )) ( , ( t t x расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью ) ( t x , выходящей из той же начальной точки )) ( , ( 0 0 t t x , есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки )) ( , ( t t x (т.е. при t t t 0 < ≤ ). Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера. Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами , ), , 1 ( 0 ) , , ( 1 0 t t t m j t F j ≤ ≤ = = x x & (139) где 1 0 , t t – заданные числа, )) ( ..., ), ( ( ˆ ) ( ˆ , ) ( 1 1 1 1 1 1 0 0 t x t x t t n − = = = x x x x , (140) где 1 0 ˆ , x x – заданные векторы, и с функционалом ) ( ) , , , ( 1 1 0 1 0 t x t t J n = Φ = x x (141) сопряженная точка t может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера: 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,..., , ( ) ,..., , ( ) , ( 0 , 1 0 1 10 0 1 0 , 1 0 1 10 0 1 0 , 1 20 10 1 2 1 0 = ∂λ λ ∂ ∂λ λ ∂ ∂λ λ ∂ ∂λ λ ∂ = λ λ λ ∂ ∂ = λ = − − − − = − − t t n n n n t t n n t x t x t x t x x x x t D L L L L L , (142) T n ) ..., , , ( 0 , 1 20 10 0 − λ λ λ = λ ; (143) где )) , ( ..., ), , ( ( ) , ( 0 1 0 1 0 λ λ λ x t x t x x n − = ) – экстремаль, удовлетворяющая при 0 λ λ = заданным условиям (140). З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей ) ( 1 t n − x , лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной) ) , ( 0 0 x t по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа 0 λ ). В этом случае можно утверждать, что точка t будет сопряженной с точкой 0 t в сформулированной выше задаче, если в точке t определитель t t n n n n n n n n n t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t 1 1 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 1 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 1 0 ) ( ) ( , ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( , ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( , ), ( ) ( ), ( ) ( ) , ( = − − − − − − − − − − − − − − − − − − = λ ∆ L L L L L L L (144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при t t t 0 ≤ ≤ Контрольные вопросы 1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки. 2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца. 3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f ≡ 0, f k ≡ 0. 4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f k = 0. 5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера). Г л а в а 1 0 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва. 10.1. Краткая формулировка задачи Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна; ) , 1 ( q j t j = – моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки j t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени 1 + ≤ ≤ j j t t t На каждом j-ом отрезке задана система связей 0 )) ( ), ( , ( ) ( = t t t j x x F & , (145) где , ) ..., , , ( ; ) ..., , , ( ; ) ..., , , ( 2 1 2 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( T n T n T j m j j j x x x x x x F F F & & & & = = = x x F и краевые условия в точке разрыва функций ) (t x i 0 )) ( ), ( , ( = − + s r j t t t x x g , (146) где ) 1 ( 2 ; ; 2 ; ; 1 1 ; ; , 1 ; ) ..., , , ( 2 1 2 1 q n q p t t t t q j j s q j j r q j g g g q j T p + − ≤ < < < < < ≤ ≤ = − ≤ ≤ = = = g Требуется минимизировать функционал )) ( ), ( , ( − + Φ = s r j t t t J x x . (147) З а м е ч а н и е . Здесь величины ) ( + r t |