3 задачи 04.04.22. Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб
![]()
|
Вариант 10
Требуется: Построить линейное уравнение парной регрессии ![]() ![]() Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью ![]() ![]() Выполнить прогноз заработной платы ![]() ![]() Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую. Решение: Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2. Таблица 2.
По формулам находим параметры регрессии: ![]() ![]() Получено уравнение регрессии: y=61.11-0.94x Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,94 руб. (или 94 коп.). После нахождения уравнения регрессии заполняем столбцы 7–10 таблицы 2. 2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции : ![]() Т.к. значение коэффициента корреляции больше 0,7, то это говорит о наличии весьма тесной линейной связи между признаками Коэффициент детерминации: ![]() Это означает, что 68.4% вариации заработной платы ( y ) объясняется вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации: ![]() Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как A не превышает 10%. 3. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F -критерия Фишера. Фактическое значение F - критерия по формуле составит: ![]() Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1 =1 и k2 = 12− 2= 10 составляет F табл = 4,96. Так как Fфакт= 21.61 >F табл = 4,96 , то уравнение регрессии признается статистически значимым. Оценку статистической значимости параметров регрессии и корреляции проведем с помощью t -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров. Табличное значение t -критерия для числа степеней свободы df =n −2 = =12- 2 = 10 и уровня значимости α = 0,05 составит t табл = 2,23. Определим стандартные ошибки ma , mb , mr xy (остаточная дисперсия на одну степень свободы ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() Фактические значения t -статистики превосходят табличное значение: tа =3.39> tтабл=2,23; tb =4.65 > tтабл=2,23; trxy =4.65> tтабл=2,23, поэтому параметры a, b и rxy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы. 4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: х0=х*1,07=88.17*1,07=94.34 руб., тогда индивидуальное прогнозное значение заработной платы составит: y=61.11+0.94=150.07 руб. Ошибка прогноза составит: ![]() ![]() Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит: ![]() Доверительный интервал прогноза: ![]() ![]() Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным ( p=1- α=1-0,05=0,95 ) и находится в пределах от 130.56 руб. до 169.58 руб. 6. На одном графике построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис.1). ![]() Рис.1. Исходные данные и теоретическая прямая |