1.1.13 отчет. 1.1.13._(ОФС.1.1.0013.15). Статья статистическая обработка результатов офс 0013. 15

• Название: Статья статистическая обработка результатов офс 0013. 15
• Анкор: 1.1.13 отчет
• Дата: 28.10.2021
• Размер: 0.55 Mb.
• Имя файла: 1.1.13._(ОФС.1.1.0013.15).docx
• Тип: Статья; #258029
• страница: 5 из 7

Таблица 6 Значения аргумента х и функции у.

i	xi	yi
1	x1	y1
2	x2	y2
…	…	…
m	xm	ym

Тогда:

, (6.4)

, (6.5)

f = m – 2. (6.6)

Если полученные значения коэффициентов а и b использовать для вычисления значений у по заданным в табл. 6 значениям аргумента х согласно зависимости (6.1), то вычисленные значения у обозначают через Y₁, Y₂, ... , Y_i, ... Y_n. Разброс значений Y_i относительно значений у_i характеризуется величиной дисперсии s , которую вычисляют по уравнению:

. (6.7)

В свою очередь, дисперсии констант b и а находят по уравнениям:

s = ; (6.8)

. (6.9)

Стандартные отклонения s_b и s_a и величины и , необходимые для оценки доверительных интервалов констант уравнения регрессии, рассчитывают по уравнениям:

; (6.10)

; (6.11)

∆b = t(P,f)∙s_b; (6.12)

∆a = t(P,f)∙s_a. (6.13)

Уравнению (6.1) с константами а и b обязательно удовлетворяет точка с координатами и , называемая центром калибровочного графика:

; (6.14)

. (6.15)

Наименьшие отклонения значений y_i от значений Y_i наблюдаются в окрестностях центра графика. Стандартные отклонения s_y и s_x величин Y и X, рассчитанных соответственно по уравнениям (6.1) и (6.2), исходя соответственно из известных значений х и у, определяются с учетом удаления последних от центра графика:

; (6.16)

, (6.17)

где – среднее значение дляn_j вариант y, по которым вычислено
искомое значение X.

При x = и выражения (6.16) и (6.17) принимают вид:

; (6.16 а)

. (6.17 а)

С учетом значений s_y и s_x могут быть найдены значения величин ∆Y и ∆X:

∆Y = s_y∙t(P, f); (6.18)

∆X = s_x∙t(P, f). (6.19)

Значения s_x и ∆X, найденные при n_j = 1, являются характеристиками воспроизводимости аналитического метода, если х – концентрация (количество), а у есть функция х.

Обычно результаты статистической обработки по методу наименьших квадратов сводят в таблицу (табл. 7).

Таблица 7 Результаты статистической обработки экспериментальных данных, полученных при изучении линейной зависимости у = bx + a

f			b	a	t(P; f) при P = 95 %			s	r	sxпри nj = 1, yj =	∆X	––––––, %
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

Примечание 6.1. Если целью экспериментальной работы являлось определение констант b и a, графы 11, 12 и 13 табл. 7 не заполняются.

П

римечание 6.2. Если y = b∙lg x + a, вычисления, описанные в разделе 6, выполняют с учетом примечаний 1.2 и 2.2.

Примечание 6.3. Сравнение дисперсий , полученных в разных условиях для двух линейных зависимостей, может быть проведено, как указано в разделе 3 (см. выражения (3.4), (3.5) и (3.5 а)).
7. Расчет неопределенности функции нескольких случайных переменных

Описанные в разделах 1 – 6 настоящей общей фармакопейной статьи расчеты доверительных интервалов результатов методик анализа применимы лишь в том случае, если измеряемая величина (концентрация, содержание и т.д.) является функцией только одной случайной переменной. Такая ситуация обычно возникает при использовании прямых методов анализа (титрование, определение сульфатной золы, тяжелых металлов и т.д.). Однако большинство методик количественного определения в фармакопейном анализе являются косвенными, то есть используют стандартные образцы. Следовательно, измеряемая величина является функцией, как минимум, двух случайных переменных – аналитических сигналов (оптическая плотность, высота или площадь пика и т.д.) испытуемого и стандартного образцов. Кроме того, нередко возникает проблема прогнозирования неопределенности аналитической методики, состоящей из нескольких стадий (взвешивание, разбавление, конечная аналитическая операция), каждая из которых является по отношению к другой случайной величиной.

Таким образом, возникает общая проблема оценки неопределенности косвенно измеряемой величины, зависящей от нескольких измеряемых величин, в частности, как рассчитывать неопределенность всей аналитической методики, если известны неопределенности отдельных ее составляющих (стадий)?

Если измеряемая на опыте величина у является функцией п независимых случайных величин х_i, то есть:

(7.1)

и число степеней свободы величин x_iодинаково или достаточно велико (> 30, чтобы можно было применять статистику Гаусса, а не Стьюдента), то диспер­сия величины у связана с дисперсиями величин x_iсоотношением (правило рас­пространения неопределенностей):

(7.2)

Однако на практике степени свободы величин x_tобычно невелики и не равны друг другу. Кроме того, обычно интерес представляют не сами дисперсии (стандартные отклонения), а доверительные интервалы, рассчитать которые, используя уравнение (7.2), при небольших и неодинаковых степенях свободы невозможно. Поэтому для расчета неопределенности величины у (Δ_у) предложены различные подходы, среди которых можно выделить два основных: линейная модель и подход Уэлча–Сатертуэйта.

7.1. Линейная модель

Если случайные переменные х_iстатистически независимы, то доверительный интервал функции Δ_усвязан с доверительными интервалами переменных Δ_xiсоотношением (доверительные интервалы берутся для одной и той же вероятности):

(7.3)

Данное выражение является обобщением соотношения (7.2).

В фармакопейном анализе измеряемая величина у представляет собой обычно произведение или частное случайных и постоянных величин (масс навесок, разбавлений, оптических плотностей или площадей пиков и т.д.), т.е. (К - некая константа):

(7.4)

В этом случае соотношение (7.2) принимает вид:

(7.5)

где использованы относительные доверительные интервалы.

Соотношение (7.4) применимо при любых (разных) степенях свободы (в том числе и бесконечных) для величин x_i. Его преимуществом является простота и наглядность. Использование абсолютных доверительных интервалов приводит к гораздо более громоздким выражениям, поэтому рекомендуется использовать относительные величины.

При проведении фармакопейного анализа в суммарной неопределенности (Δ_AS:r) анализа обычно всегда можно выделить такие типы неопределенностей: неопределенность пробоподготовки (Δ_SPr), неопределенность конечной аналитической операции (Δ_FAO,_r) и неопределенность аттестации стандартного образца (Δ_RS,r). Величина Δ_RS,r обычно столь мала, что ею можно пренебречь. Учитывая это, а также то, что анализ проводится и для испытуемого раствора (индекс "smp"), и для раствора сравнения (индекс "st"), выражение (7.5) можно представить в виде:

(7.6)

При этом каждое из слагаемых рассчитывается из входящих в него ком­понентов по формуле (7.5).

Если число степеней свободы величин х_iодинаково или достаточно велико (> 30), выражение (7.5) дает:

(7.7)

Это же соотношение получается при тех же условиях и из выражения (7.2).

7.2. Подход Уэлча–Сатертуэйта

В этом подходе дисперсию величины у (s²_у) рассчитывают по соотношению (7.2), не обращая внимания на различие в степенях свободы (ν_i) величин x_i. Для полученной дисперсии s²_у рассчитывают некое «эффективное» число степеней свободы v_eff(которое обычно является дробным), на основе которого затем по таблицам для заданной вероятности находят интерполяцией значения критерия Стьюдента. На основе его далее рассчитывают обычным путем доверительный интервал величины у (Δ_у):

(7.8)

В фармакопейном анализе для определяемой величины у обычно выполняется уравнение (7.4). В этом случае в подходе Уэлча–Сатертуэйта соотношение (7.2) переходит в выражение (7.7), и соотношение (7.8) принимает более простой вид:

(7.9)

Здесь величина s_y,r⁴ рассчитывается из соотношения (7.7).

Подход Уэлча–Сатертуэйта обычно дает более узкие доверительные ин­тервалы, чем линейная модель. Однако он гораздо сложнее в применении и не позволяет выделить так просто неопределенности разных этапов (с последующими рекомендациями по их минимизации), как линейная модель в форме выражения (7.6).

При прогнозе неопределенности анализа используются генеральные величины (с бесконечным числом степеней свободы). В этом случае подход Уэлча–Сатертуэйта совпадает с линейной моделью.