средние величины статистика. тема 26 Средние величины 2023. Статистики 5 Статистические

• Название: Статистики 5 Статистические
• Анкор: средние величины статистика
• Дата: 17.02.2023
• Размер: 199.44 Kb.
• Имя файла: тема 26 Средние величины 2023.docx
• Тип: Литература; #942299
• страница: 3 из 8

Правило сложения дисперсий

Вариация признака обусловлена различными факторами, некоторые из которых можно выделить, если статистическую совокупность разбить на группы по какому-либо признаку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы, а также и между этими

группами. В простейшем случае, когда совокупность расчленена на груп- пы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством ис- числения и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутри- групповой.

Общаядисперсияσ²

измеряет вариацию признака по всей совокуп-

ности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней xи может быть вычислена как простая или взвешеннаядисперсия:

n
_ ^{x  x}2

_ ^{x x}2 ^f

i

_σ² _i1

или

i i


n

n
_σ² _i1 _.

i
n _{ f}

i1

Межгрупповаядисперсияδ²

характеризует систематическую вариа-

цию результативного признака, обусловленную влиянием признака- фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему

квадрату отклонений групповых средних

x_iот общей средней x:

n
_ ^{x x}2 ^f

i i


n
_δ² _i1 _,

^{ f}i

i1

где f - численность единиц в группе.

σ
Внутригрупповая(частная)дисперсия

² отражает часть вариации,

i
обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от при- знака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна средне- му квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х

от средней арифметической этой группы

x_i и может быть вычислена как

простаяили как взвешеннаядисперсиясоответственно:

n
_ ^{x x}2

_ ^{x x}2 ^f

i i

_σ² _i1

или

i i i


n
_σ² _i1 _.


i _n i _n

f_i

i1

На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе, т. е. на ос-

i
новании

персий:

σ² , можно определить общую среднююизвнутригрупповыхдис-

_σ  f
n

2

i i


i _n
σ² _i1 _.

^{ f}i

i1

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сум- ме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:


i
σ²  σ²  δ² .

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум из- вестным дисперсиям определить третью - неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Пример 11

При изучении влияния квалификации рабочих на уровень производи- тельности труда в цехе были получены данные, представленные в табл. 21. В примере данные группируются по тарифному разряду рабочих, яв-

ляющемуся факторным признаком x.

1. 
   Для расчета групповых дисперсий исчисляем средние выработки по каждой группе и общую среднюю выработку:
   

• 
  по I группе
  

y ⁶⁰  10



шт.;

1 ₆

• 
  по II группе
  

y ⁶⁰  15



шт.;

2 ₄

n



n
_ y_i f_i

10  6  15  4

• 
  по двум группам
  

y^i1   12

шт.

Таблица21

10

f_i

i1

№ п/п	Рабочие IV разряда			№ п/п		Рабочие V разряда
	Выработка рабочего, шт., y	y y	 y y2			Выработка рабочего, шт., y	y y	 y y2
1	7	–3	9		1		14	–1	1
2	9	–1	1		2		14	–1	1
3	9	–1	1		3		15	0	0
4	10	0	0		4		17	–2	4
5	12	2	4
6	13	3	9
	60	–	24				60	–	6

Данные для расчета дисперсий по группам приведены в табл. 21.

По данным определяем:

n
_ ^{y  y}2

₂ i i ₂₄

• 
  по первой группе: σ₁ ^i1   4 ;
  

n 6


n
_ ^{y  y}2

2. 
   i i ₆
   

• 
  по второй группе:
  

σ₂ ^i1   1,5.

n 4

Внутригрупповые дисперсии показывают вариации выработки в каж- дой группе, вызванные всеми возможными факторами, кроме различий в квалификационном разряде.

2. 
   Рассчитываем среднюю из внутригрупповых дисперсий:
   

n
_²  f


₂ ⁱⁱ4  6  1,5  4

σ_i^i1   3 .




n
10

f_i

i1

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает вариацию выработ- ки, обусловленную всеми факторами, кроме квалификации рабочих.

3. 
   Исчисляем межгрупповую дисперсию:
   

n
_ ^{x x}2 ^f2 <sub>2



2</sub> ^{i i} _10 12_ 6  _15 12_ 4


n
δ ^i1   6 .

^{ f}i

i1

6  4

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию групповых сред- них, обусловленную различиями групп рабочих по квалификационному разряду.

4. 
   Исчисляем общую дисперсию:
   

n
_ ^{y  y}2 2 2 2



₂ ⁱ _7 12_  _9 12_ …  _17 12_

σ ^i1   9 .

n 10

Общая дисперсия отражает суммарное влияние всех возможных фак- торов на общую вариацию среднечасовой выработки изделий всеми рабо- чими цеха.

Суммирование средней величины из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии дает, согласно правилу, общую дисперсию:


i
σ²  σ²  δ²  6  3  9 .

Средний остаток оборотных средств определяется, в зависимости от имеющейся информации, по одной из формул:

1. 
   По арифметической простой
   

_{ОС =} ОС_н + ОС_{к .}

2

2. 
   По средней хронологической
   

_{ОС } 0,5  ОС₁ +ОС₂ …  ОС_n1  0,5  ОС_n.

n1

3. 
   По арифметической взвешенной
   

n




_ОС_i  t_i


n
_{ОС }i1 _,

^ti

i1

где t - число периодов времени, в течение которых остаток оборотных средств не изменяется.

Эффективность использования оборотных средств характеризуют по- казатели оборачиваемости:

1. 
   Коэффициент оборачиваемости
   

n ^Q,

ОС





где Q - стоимость продукции; ОС - средний остаток оборотных средств.

Коэффициент оборачиваемости показывает, сколько раз обернулся средний остаток оборотных средств за период.

2. 
   Коэффициент закрепления
   

К  ^ОС  ¹ .

^з Q n

Коэффициент закрепления показывает затраты оборотных средств на 1 руб. продукции.

3. 
   Средняя продолжительность одного оборота оборотных средств
   

τ  ^Д  Д  К ,

_n з
где Д - число календарных дней в периоде.

Сумма средств, высвобожденных (или вовлеченных в оборот) в резуль- тате ускорения (замедления) оборачиваемости, определяется по модели

^{ОС  К}закр1 ^{ К}закр 0 ^Q1 ^.

Пример 36

Данные по производственному предприятию представлены в табл. 58.

Таблица58

Показатели	I кв.	II кв.
Объем реализованной продукции, тыс. руб. Средние остатки оборотных средств, тыс. руб.	360 60	525 70

Определить:

1. 
   Показатели оборачиваемости оборотных средств за каждый период.
   
2. 
   Сумму средств, высвобожденных в результате ускорения оборачи- ваемости во II кв. по сравнению с I кв.
   

1. 
   Число оборотов:
   

• 
  в I квартале n ³⁶⁰  6,0 об.;
  

0

• 
  во II квартале
  

60

n ⁵²⁵  7,5 об.

¹ 70

2. 
   Продолжительность одного оборота:
   

• 
  в I квартале
  

τ  ⁹⁰  15

0 ₆
дн.;

• 
  во II квартале
  

τ₁ 

90


7,5

 12

дн.

3. 
   Коэффициент закрепления:
   

• 
  в I квартале
  

^Кз0

_ 60

360
 0,167
руб./руб.;

• 
  во II квартале
  

К_з1 

70


525
 0,133
руб./руб.

1. 
   Сумма средств, высвобожденных в результате ускорения оборачи- ваемости оборотных средств
   

ОС  _К_закр1  К_{закр 0 }Q₁  _0,133  0,167_525  17,85

тыс. руб.

Относительное изменение средней оборачиваемости оборотных средств определяется системой индексов:

1. 
   Переменного состава
   

n
I  ⁿ¹








_{ }n₁ОС_{1 : }n₀ ОС₀

или I

_ ^n1^d1 _,

ⁿ_{0 }ОС<sub>1

</sub>ОС₀

^n0^d0

n
где

n₁ , n₀

• 
  число оборотов оборотных средств в отчетном и базисном пе-
  

риодах; средств:

d₁ , d₀

• 
  показатели структуры средних остатков оборотных
  

d₁ 

ОС<sub>1

</sub>ОС₁

и d₀ 



ОС<sub>0 .

</sub>ОС₀

Индекс характеризует изменение средней оборачиваемости оборот- ных средств по группе предприятий в результате изменения числа оборо- тов на каждом предприятии и доли оборотных средств каждого предприя- тия в общей стоимости оборотных средств группы.

2. 
   Постоянного состава
   

_{I }n₁ОС_{1 : }n₀ ОС_{1  }n₁ОС₁

или I

_ ^n1^d1 _.

ⁿ _ОС<sub>1

</sub>ОС₁

^n0

ОС₁

^n0^d1

n
Индекс характеризует изменение средней оборачиваемости оборот- ных средств по группе предприятий в результате изменения числа оборо- тов на отдельных предприятиях группы.

3. 
   Структурных сдвигов
   

_{I  }n₀ ОС_{1 : }n₀ ОС₀

или I

_ ^n0^d1 _.

^str _ОС_{1 }ОС₀

str

^n0^d0

Индекс характеризует изменение средней оборачиваемости оборотных средств по группе предприятий в результате изменения доли оборотных

средств каждого предприятия в общей стоимости оборотных средств груп- пы.

Абсолютное изменение средней оборачиваемости

n n₁  n₀  _n₁d₁  _n₀d₀  n_n_  n_d_ ,

в том числе за счет изменения оборачиваемости на отдельных предприятиях

n_n_  _n₁d₁  _n₀d₁ ,

за счет изменения доли предприятий с различной величиной оборотных средств в общем объеме оборотных средств

n_d_  _n₀d₁  _n₀d₀ .

Пример 37

Имеются следующие данные по двум предприятиям (табл. 59).

Таблица59

Предприятие	Произведено продукции, млн руб.		Средний остаток оборотных средств, млн руб.
	I квартал	II квартал	I квартал	II квартал
№ 1	540	544	240	260
№ 2	450	672	200	220

Определить уровень и динамику числа оборотов по двум предприяти- ям в целом с использованием:

1. 
   среднего индекса числа оборотов переменного состава;
   
2. 
   индекса среднего числа оборотов постоянного состава;
   
3. 
   индекса влияния структурных сдвигов за счет изменения остатков оборотных средств;
   
4. 
   абсолютного изменения среднего числа оборотов во II квартале по сравнению с I кварталом в результате изменения каждого фактора.
   

Число оборотов на первом предприятии составило:

• 
  в I квартале n ⁵⁴⁰  2, 25
  

об.;

0

• 
  во II квартале
  

240

n ⁵⁴⁴  2,09 об.

¹ 260

Число оборотов на втором предприятии составило:

• 
  в I квартале n ⁴⁵⁰  2, 25
  

об.;

0

• 
  во II квартале
  

200

n ⁶⁷²  3,05 об.

¹ 220

Динамика среднего по двум предприятиям числа оборотов:

1. 
   Средний индекс числа оборотов переменного состава
   

_{I  }n₁ОС_{1 : }n₀ ОС_{0 }



ⁿ _ОС_{1 }ОС<sub>0

</sub> 2,09  260  3,05  220 _: 2, 25  240  2, 25  200 _ 2,53 _{ 1,124.}

260  220 240  200 2, 25

2. 
   Индекс среднего числа оборотов постоянного состава
   

_{I  }n₁ОС_{1 : }n₀ ОС_{1 }



ⁿ _ОС_{1 }ОС<sub>1

</sub> 2,09  260  3,05  220 _: 2, 25  260  2, 25  220 _ 2,53 _{ 1,124.}

260  220 240  200 2, 25

3. 
   Индекс влияния структурных сдвигов за счет изменения остатков оборотных средств
   

_{I }n₀ ОС_{1 : }n₀ ОС_{0 }

^str_ОС_{1 }ОС<sub>0

</sub> 2, 25  260  2, 25  220 _: 2, 25  240  2, 25  200 _ 2, 25 _{ 1.}

240  200 240  200 2, 25

4. 
   Абсолютное изменение среднего числа оборотов во II квартале по сравнению с I кварталом в целом
   

n 2,53  2, 25  0, 28

об.,

в том числе за счет изменения числа оборотов на отдельных предприятиях

n_n_  2,53  2, 25  0, 28 об., за счет изменения структуры оборотных средств

n_str_  2, 25  2, 25  0

об.

Среднее число оборотов оборотных средств на двух предприятиях во II квартале по сравнению с I кварталом возросло на 12,4 % (или на 0,28 об.), что связано только с изменением числа оборотов на каждом предприятии.