Мозаика Пенроуза. Т е. заполнения плоскости фигурами одной формы без зазоров и перекрываний. Задача
 Скачать 111.76 Kb.
|
|
Мозаика Пенроуза    История Названа в честь Роджера Пенроуза, интересовавшегося проблемой «замощения», т.е. заполнения плоскости фигурами одной формы без зазоров и перекрываний. Задача решается замощением фигурами, создающими периодически повторяющийся рисунок, но Пенроуз хотел отыскать именно такую фигуру, которая при замощении плоскости не создавала бы повторяющихся узоров. Пенроуз подбирал множество плиток различной формы, в итоге их оказалось только 2, имеющих «золотое сечение», которое лежит в основе всех гармоничных соотношений. Это фигуры ромбовидной формы с углами 108° и 72°. Позже фигуры упростились до формы просто ромба (36° и 144°), в основе лежит принцип «золотого треугольника». Получившиеся узоры имеют квазикристалическую форму, которая имеет осевую симметрию 5-го порядка. Структура мозаики связана с последовательностью Фибоначчи. Мозаика Пенроуза и её свойства Мозаика Пенроуза, плитки Пенроуза — непериодическое разбиение плоскости, апериодические регулярные структуры, замощение плоскости ромбами двух типов — с углами 72° и 108° («толстые ромбы») и 36° и 144° («тонкие ромбы»), такими (подчиняются пропорции «золотого сечения»), что любые два соседних (то есть имеющих общую сторону) ромба не образуют вместе параллелограмм. Названа в честь Роджера Пенроуза, интересовавшегося проблемой «замощения», то есть заполнения плоскости фигурами одной формы без зазоров и перекрываний. Все такие замощения непериодичны и локально изоморфны друг другу (то есть любой конечный фрагмент одной мозаики Пенроуза встречается в любой другой). «Самоподобие» — можно так объединить соседние плитки мозаики, чтобы снова получилась мозаика Пенроуза. Несколько отрезков можно нарисовать на каждой из двух плиток так, что при выкладывании мозаики концы этих отрезков совместятся и на плоскости образуются несколько семейств параллельных прямых линий (полосы Аммана). Расстояния между соседними параллельными прямыми принимают ровно два различных значения (а для каждого семейства параллельных прямых последовательность этих значений обладает самоподобием). Мозаики Пенроуза, имеющие дыры, покрывают всю плоскость, за исключением фигуры конечной площади. Увеличить дыру, сняв несколько (конечное число) плиток, после чего замостить непокрытую часть полностью, нельзя. Метод построения В правильном пятиугольнике (пентагоне) проведем диагонали. Получим - новый пентагон и два вида равнобедренных треугольников, которые называют «золотыми». Отношение бедра к основанию в таких треугольниках равно «золотой» пропорции. Метод построения: Углы в треугольниках равны 36°, 72° и 72° в одном и 108°, 36° и 36° в другом. Соединим по два одинаковых треугольника и получим «золотые» ромбы. Их и использовал учёный в конструировании паркета, а сам паркет назвали "золотым". Вывод Существуют разные варианты создания мозаики Пенроуза: С помощью "золотых ромбов" С помощью треугольников с углами кратными 36°. С помощью фигур Kite и Dart («воздушный змей» и «дротик»). Это ромбы с углами 72 и 108 градусов, большая диагональ которого поделена в отношении, равном «золотому сечению» С помощью четырёх многоугольников специального вида. Это звезда, ромб, правильный пятиугольник и «бумажный кораблик». Существует несчетное множество различных мозаик Пенроуза. Мозаика Пенроуза - великолепный пример того, как красивое построение, находящееся на стыке различных дисциплин, обязательно находит себе применение. Если узловые точки заменить атомами, мозаика Пенроуза станет хорошим аналогом двухмерного квазикристалла, так как имеет много свойств, характерных для такого состояния вещества. И вот почему. Во-первых, построение мозаики реализуется по определенному алгоритму, вследствие чего она оказывается не случайной, а упорядоченной структурой. Любая ее конечная часть встречается во всей мозаике бесчисленное множество раз. Во-вторых, в мозаике можно выделить много правильных десятиугольников, имеющих совершенно одинаковые ориентации. Они создают дальний ориентационный порядок, названный квазипериодическим. Это означает, что между удаленными структурами мозаики существует взаимодействие, которое согласовывает расположение и относительную ориентацию ромбов вполне определенным, хотя и неоднозначным способом. В-третьих, если последовательно закрасить все ромбы со сторонами, параллельными какому-либо выбранному направлению, то они образуют серию ломаных линий. Вдоль этих ломаных линий можно провести прямые параллельные линии, отстоящие друг от друга приблизительно на одинаковом расстоянии. Благодаря этому свойству можно говорить о некоторой трансляционной симметрии в мозаике Пенроуза. В-четвертых, последовательно закрашенные ромбы образуют пять семейств подобных параллельных линий, пересекающихся под углами, кратными 72°. Направления этих ломаных линий соответствуют направлениям сторон правильного пятиугольника. Поэтому мозаика Пенроуза имеет в какой-то степени поворотную симметрию 5-го порядка и в этом смысле подобна квазикристаллу. |