эиэ. Технология мяса и мясных продуктов, 260303 Технология молока и молочных продуктов. СанктПетербург 2009 2
 Скачать 2.12 Mb.
|
|
2. АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА В электротехнике и промышленной электронике находят применение сложные электрические цепи с несколькими источниками и несколькими приемниками электрической энергии, имеющие достаточно большое количество узлов, ветвей и контуров. Расчет таких цепей осуществляется различными методами, которые основаны на применении и II законов Кирхгофа и закона Ома. К этим методам относятся – метод непосредственного применения законов Кирхгофа – метод контурных токов – метод суперпозиции (наложения – метод узловых потенциалов (метод двух узлов – метод эквивалентного генератора. 2.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа Классическим методом расчета сложных цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы исходят из этих фундаментальных законов. Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов ветвей цепи, если сопротивления и ЭДС всех элементов известны. Рекомендуется следующий порядок расчета – определить число узлов, ветвей, независимых контуров в схеме число ветвей соответствует числу неизвестных токов – произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме (удобнее, в тех ветвях, где есть источники ЭДС и указано их направление, направление тока взять совпадающим с направлением ЭДС – произвольно выбрать положительные направления обхода контуров для составления уравнений по II закону Кирхгофа – составить систему уравнений, количество которых должно быть равно количеству неизвестных токов, причем учесть, что число независимых уравнений, составленных по I закону Кирхгофа, должно равняться n = q – 1, где q – число узлов в схеме – остальные недостающие уравнения составить по II закону Кирхгофа – решить полученную систему уравнений, определив, таким образом, все неизвестные токи. 14 Схема, представленная на рис, имеет 5 ветвей и 3 узла. Геометрические узлы 1–1 не являются потенциальными, так как они имеют одинаковый потенциал поэтому по I закону Кирхгофа для этой схемы надо составить два независимых уравнения для узла 1:I 1 – I 2 – I 3 – I 4 = 0, для узла 2: I 5 + I 2 – I 1 = 0. Добавляем три недостающих до замкнутой системы уравнения, составленных по II закону Кирхгофа, для контуров I, II, III: для контура I: R 1 I 1 +R 2 I 2 = E 1 – E 2 , для контура II:R 3 I 3 + R 6 I 5 – R 2 I 2 = E 2 , для контура III:(R 4 + R 5 ) I 4 – R 3 I 3 = Решаем систему из пяти уравнений и определяем все пять неизвестных токов I 1 ; I 2 ; I 3 ; I 4 ; I 5 . Если в результате решения этих уравнений получается отрицательное значение тока, это значит, что истинное направление тока в ветви противоположно тому направлению, которое взято при составлении уравнений. Правильность расчета токов в ветвях электрической цепи проверяется с помощью уравнения баланса мощностей источников и приемников электрической энергии EI = RI 2 E 1 E 2 E 3 R3 R2 R1 R4 R5 R6 1 1 2 3 15 Правая часть характеризует мощность пассивных элементов цепи приѐмников электрической энергии, а левая – мощность источников активных элементов цепи. Следует учесть, что в левой части со знаком «+» записываются те слагаемые, для которых направления источников ЭДС и тока совпадают, в противном случае слагаемые записываются со знаком «–». Рассмотренный метод сравнительно простой, но несколько громоздкий, так как в многоконтурной схеме требуется составлять большое количество уравнений, что неэкономично в смысле затрат времени и труда. Для практических целей разработан ряд других методов. Метод контурных токов В основу данного метода положено понятие о контурных токах, замыкающихся только по собственным контурам. Этот метод позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений, так как составляется система уравнений только по II закону Кирхгофа для независимых контуров электрической цепи, содержащей большое количество узлов и ветвей. Рассмотрим три независимых контура – I, II, для схемы цепи, представленной на рис. 11. Будем считать, что в каждом контуре имеется свой контурный ток. Пусть направление этих токов будет одинаковым – почасовой стрелке. Сопоставляя контурные токи с действительными токами ветвей, можно показать, что значения контурных токов совпадает со значениями действительных токов только во внешних ветвях I 1 = I 11 ; I 4 = I 33 ; I 5 = Токи смежных ветвей равны алгебраической сумме контурных токов соседних контуров Таким образом, по найденным контурным токам легко можно найти действительные токи всех ветвей. Для определения контурных токов цепи, представленной на рис. 11, необходимо составить для трех контуров уравнения по II закону Кирхгофа для контура I: (R 1 + R 2 ) I 11 – R 2 I 22 = E 1 – E 2 ; для контура II: (R 2 + R 3 + R 6 ) I 22 – R 2 I 11 – R 3 I 33 = E 2 ; для контура III: (R 3 + R 4 + R 5 ) I 33 – R 3 I 22 = E 3 16 Данную систему уравнений можно решить различными методами, включая численные методы решения на ЭВМ или ПК (персональном компьютере. Будем решать эту систему уравнений с помощью определителей. Для этого представляем еѐ в общем виде R 11 I 11 – R 12 I 22 + R 13 I 33 = E 11 ; –R 21 I 11 + R 22 I 22 – R 23 I 33 = E 22 ; R 31 I 11 – R 32 I 22 + R 33 I 33 = где R 11 ; R 22 ; R 33 – сумма всех сопротивлений ветвей рассматриваемых контуров E 11 ; E 22 ; E 33 – алгебраическая сумма ЭДС соответствующих контуров. R 11 = R 1 + R 2 ; E 11 = E 1 – E 2 ; R 22 = R 2 + R 3 +R 6 ; E 22 = E 2 ; R 33 = R 3 + R 4 + R 5 E 33 = Остальные сопротивления – сопротивления общих ветвей смежных контуров R 12 = R 21 = R 2 ; R 23 = R 32 = R Тогда система уравнений записывается в матричной форме 33 32 31 23 22 21 13 12 11 R R R R R R R R R 33 22 11 I I I = 33 22 11 E E E или R I = E , где R – квадратная матрица коэффициентов при неизвестных контурных токах I – матрица – столбец неизвестных контурных токов E – матрица – столбец известных контурных ЭДС. Решением этой системы будет I = R 1 E , где 1 R – матрица, обратная матрице коэффициентов R Матричная форма записи системы уравнений широко распространена при расчѐтах на ЭВМ сложных электрических цепей, применяемых на электрическом транспорте, в системах электроснабжения, в радиоэлектронике. Если в электрической цепи будет независимых контуров, то количество уравнений тоже будет n. Общее решение системы n уравнений относительно тока I n : I n = 1 1 E + 2 2 Δ E +………+ n n E ; где – главный определитель системы 1 … n – алгебраические дополнения к главному определителю, полученные из определителя путѐм вычѐркивания го столбца й строки и умножения полученного определителя на (–1) k + m , где k – номер столбца, m – номер строки. Δ = nn n n n n R R R R R R R R R 2 1 2 22 21 1 12 11 2.3. Метод суперпозиции (наложения) Принцип суперпозиции является одним из важнейших физических принципов, отражающих основное свойство линейных систем – независимость действия возбуждающих сил. При анализе сложных электрических цепей принцип суперпозиции используется для того, чтобы воздействие нескольких источников электрической энергии на данный элемент цепи можно было рассматривать как результат воздействия на этот элемент каждого из источников в отдельности. Применяя принцип суперпозиции, можно найти ток любой ветви или напряжение любого участка электрической цепи как алгебраическую сумму частичных токов или напряжений, создаваемых действием отдельных источников ЭДС и тока. С помощью принципа суперпозиции расчет сложной цепи с несколькими источниками ЭДС или тока можно свести к расчету нескольких цепей с одним источником. Этот метод подробно рассмотрен в литературе [1]. 18 2.4. Метод узловых потенциалов метод двух узлов) В реальных электрических цепях постоянного тока часто несколько источников и приемников электрической энергии включаются параллельно. Схема замещения такой цепи, содержащей активные и пассивные ветви, соединенные параллельно, имеет только два узла. Для определения токов во всех ветвях достаточно найти напряжение между этими двумя узлами. Разность потенциалов между двумя узлами можно выразить через ЭДС E k , токи сопротивление резистивного элемента R k любой ветви, где k – число ветвей в схеме. По обобщенному закону Ома I K = k ab k R U E , где U ab узловое напряжение цепи (между двумя узлами a и b); . Если ввести понятие проводимости ветви g k = k R 1 , то ток в ветви будет I k = (E k – U k ) По I закону Кирхгофа можно написать I 1 + I 2 +…..+ I k + ... + I n = n k k I 1 = 0, или n k ab k U E 1 ) ( g k = 0, отсюда U ab = n k k n k k k g g E 1 Последнее выражение называется формулой межузлового напряжения. Этот метод подробно рассмотрен в литературе [1]. 19 2.5. Метод эквивалентного генератора Иногда при анализе сложных электрических цепей интересуются электрическим состоянием лишь одной ветви, причем параметры элементов этой ветви могут изменяться. В этом случае нет необходимости производить расчет всей цепи каким-либо из рассмотренных методов, а целесообразнее воспользоваться методом эквивалентного активного двухполюсника. Двухполюсником называется цепь, которая соединена с внешней относительно нее) частью цепи через два вывода. Активный двухпо- люсник содержит источники электрической энергии, а пассивный – их не содержит. Этот метод основан на том, что всю остальную часть цепи, кроме рассматриваемой ветви, можно заменить одним активным элементом (источником ЭДС или тока) и одним резистивным элементом. Обоснованием данного метода является теорема об эквивалентном активном двухполюснике, которую можно сформулировать следующим образом. Любой многоэлементный активный двухполюсник, к которому присоединена пассивная или активная ветвь, может быть заменен эквивалентным двухэлементным двухполюсником с параметрами экв и экв режим работы ветви, присоединенной к двухполюснику, при этом не изменится. Этот метод подробно рассмотрен в литературе [1]. 20 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА По мере развития промышленного производства постоянный ток все менее удовлетворял возрастающие требования экономического энергоснабжения. Внедрению переменного тока способствовало развитие электрического освещения, особенно изобретение в 1876 г. П.Н. Яблочковым "электрической свечи" – дуговой лампы без регулятора, которая устойчиво горела при включении в цепь переменного тока. Дальнейшее развитие электрического освещения послужило толчком к разработке более совершенных конструкций трансформаторов. В связи с громадными преимуществами трансформирования в современной электроэнергетике применяется прежде всего синусоидальный переменный ток. Передача электрической энергии переменного тока происходит с меньшими потерями и со значительно удешевленной электрической сетью, так как применяются провода в десятки раз меньшего сечения, чем сечение проводов, используемых в сетях постоянного тока. Кроме того, применение синусоидального тока дает возможность получения источников электрической энергии большой мощности. Синусоидальный переменный ток занял лидирующее положение при генерировании, передаче и трансформировании электрической энергии в электроприводе, бытовой технике, промышленной электронике, радиотехнике. В России (как ив Европе) принята частота переменного тока 50 Гц , называемая промышленной частотой. 3.1. Основные понятия Переменными называются ЭДС, токи и напряжения, изменяющиеся стечением времени. Они могут меняться или по величине, или по знаку, или по величине и по знаку. В электротехнике наибольшее применение получил переменный ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону. Рассмотрим основные определения синусоидального тока. 1. Переменные электрические величины являются функциями времени, их значения в любой момент времени, называются мгновенными и обозначаются строчными буквами i, u, e. 21 2. Максимальные значения тока, напряжения, ЭДС за период называются амплитудными значениями и обозначаются I m , U m , E m 3. Средние значения тока, напряжения или ЭДС – значения, эквивалентные постоянному току по переносу электрического заряда за положительный полупериод (T / 2). Они обозначаются I ср , U ср , E ср и определяются формулами I ср = m I 2 , U ср = m U 2 , E ср = m E 2 4. Действующие значения тока, напряжения или ЭДС – значения, эквивалентные постоянному току по тепловому выделению за период T . Они обозначаются I, U, E иопределяются формулами I = 2 m I ; U = 2 m U ; E = Если имеем синусоиду тока рис. 12), то выражение мгновенного значения синусоидального тока определяется тригонометрической функцией i = I m sin (ωt + i ) Здесь I m – амплитудное значение тока Т – период синусоиды i – начальная фаза – величина, равная фазному углу в момент начала отсчета времени (t = 0); = 2 f – угловая частота, где f = 1/T– частота синусоидального тока. При совместном рассмотрении нескольких синусоидальных величин) обычно интересуются разностью их фазных углов. Угол сдвига фаз – это разность начальных фаз двух синусоидальных величин. Угол сдвига фаз между током и напряжением участка цепи определяется вычитанием начальной фазы тока изначальной фазы напряжения = u – i . Угол – величина алгебраическая, может быть как положительная, таки отрицательная, в зависимости оттого, опережает одна синусоидальная величина другую по фазе или отстает от нее. Рис. 12 t T i I m i 22 3.2. Способы представления синусоидальных величин Существует несколько способов представления величин, изменяющихся по синусоидальному закону – в виде тригонометрических функций, например i = I m sin (ωt – ); u = U m sin (ωt + ); e = E m sin ω t; – в виде графиков зависимости величин от времени – временных диаграмм (рис. 13); – в виде вращающихся векторов – векторный метод представления в виде комплексных чисел – комплексное изображение. Рассмотрим более подробно последние два способа. Векторный метод представления (рис. Вектор A m вращается в декартовой плоскости против часовой стрелки. В соответствии с определением синуса проекция вращающегося радиуса-вектора на ось y равна в момент времени t = 0: a = a 0 = A m sin ψ a ; в момент времени t 1 : a 1 = A m sin ( t 1 + ψ a ). Здесь a – начальная фаза, 1 = а + t 1 ; 2 = а + На рис. 14 справа построена синусоида, мгновенные значения которой для любого момента времени t найдены как соответствующие проекции вращающегося радиуса-вектора на ось y. На основании этих построений можно утверждать, что любая синусоидальная функция может быть изображена (условно) однозначно соответствующим ей вращающимся радиусом-вектором, длина которого u, e, i u e i t u i Рис. 13 23 равна амплитудному значению синусоиды, а начальное положение относительно оси x определяется начальной фазой синусоиды. Совокупность радиусов-векторов, изображающих синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой. Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты. Суммирование и вычитание векторов гораздо проще, чем тригонометрических функций, поэтому метод очень распространѐн – он прости нагляден. Комплексное изображение синусоидальных функций времени Данный метод совмещает простоту и наглядность векторных диаграмм с возможностью проведения точных аналитических расчетов. Перенесем радиус-вектор, изображающий синусоидальную функцию времени (см. рис. 14) в декартовой плоскости, на комплексную плоскость. При этом совместим ось x с осью действительных чисел (+1, Re), а ось y – с осью мнимых чисел (+j, Im) – рис. 15. Тогда любому вектору A , расположенному на комплексной плоскости, Рис. 14 –1 +1, Re Im +j, a a 1 a 2 -j Рис. 15 24 однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трѐх формах 1) алгебраическая форма записи 2 1 ja a A ; 2) тригонометрическая форма записи где 2 2 2 1 a a A – модуль комплексного числа (действующее значение а – аргумент комплексного числа (начальная фаза синусоиды, а = arctg а 2 /а 1 ; 3) показательная форма записи A a j Ae , где e – основание натурального логарифма. Напомним, что число, равное a j Ae A , или 2 1 ja a A , или a a j A A sin cos называется сопряженным комплексным числом числа При анализе сложных цепей переменного тока большой интерес представляет сопоставление величин токов и напряжений по амплитуде и фазе. Удобнее всего это делать с помощью комплексных чисел. В случае представления синусоидальных величин комплексными числами можно применить весьма эффективный комплексный метод анализа цепей синусоидального тока, который в настоящее время нашел широкое применение. |