Вычислительная математика. Практическое задание 6 Вариант 8. Практическое задание 6. Тема Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем Лекция Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем первого и второго порядка

• Название: Тема Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем Лекция Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем первого и второго порядка
• Анкор: Вычислительная математика. Практическое задание 6 Вариант 8
• Дата: 15.03.2023
• Размер: 33.35 Kb.
• Имя файла: Практическое задание 6.docx
• Тип: Лекция; #992885

Практическое задание 6

Тема 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Лекция 6.1. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем первого и второго порядка

Номера вариантов задач определяются с помощью табл. 1 по первой букве фамилии студента.

Таблица 1

Буква	А, Л, Х	Б, М, Ц	В, Н, Ч	Г, О, Ш	Д, П, Щ	Е, Ё, Р	Ж, С, Э	З, Т, Ю	И, У, Я	К, Ф
№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Вариант 8

Задание 6.1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на заданном отрезке:

1. 
   методом Эйлера;
   
2. 
   модифицированным методом Эйлера;
   
3. 
   методом Рунге – Кутты.
   

Вариант	Дифференциальное уравнение	Начальное условие	Заданный отрезок	Шаг
8				h=0,4

Решение:

1) Метод Эйлера

Метод Эйлера численного решения задачи Коши на заданном отрезке с шагом заключается в вычислении значений функции по итерационным формулам:



Расчетная формула метода Эйлера:



Шаг 1:





Дальнейшие рассчеты представим в таблице:

Шаг

Ответ: ;

2) Модифицированный метод Эйлера

В модифицированном методе Эйлера численного решения задачи Коши на заданном отрезке с шагом вначале определяется “грубое приближение”:



После чего вычисляется приближенное решение:



Выполним вычисления по формулам:

• 
  “грубое” приближение:
  

• 
  приближенное решение:
  

Шаг 1:

• 
  “грубое” приближение:
  

• 
  приближенное решение задачи Коши:
  

Дальнейшие рассчеты представим в таблице:

Шаг

Ответ: ; ;

3) метод Рунге-Кутты

Решение дифференциального уравнения вида на каждом шаге итерации сроится следующим образом:



Где коэффициенты вычисляются по формулам:









Выполним вычисления по формулам:









Шаг 1:

Вычисляем значения коэффициентов:















Дальнейшие рассчеты представим в таблице:

Шаг

Ответ: ;
Задание 6.2

1. Найти решение дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями методом неопределенных коэффициентов.

2. Найти первые пять членов решения дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями.

Вариант	Дифференциальное уравнение	Начальное условие	Начальное условие
8

Решение:

Используем метод конечных разностей.

Произведем дискретизацию области непрерывного аргумента сеткой с шагом , тогда для всех .

Вычислим решение краевой задачи не в произвольных точках отрезка, а только в узлах сетки. Производные аппроксимируем центральными разностными производными:





Заменяем в каждом из внутренних узлов сетки исходное дифференциальное уравнение приближенным равенством:



Потребуем теперь, чтобы значения искомой сеточной функции удовлетворяли во всех внутренних узлах сетки уравнениям, полученных заменой знака приближенного равенства на знак строгого равенства:



Или:



В граничных узлах сеточная функция должна удовлетворять равенствам:





Граничные условия аппроксимируем правой и левой разностной производными:





Тогда имеем :





Приводим уравнения для внутренних узлов сетки к виду:



С учетом того, что получаем следующую систему уравнений для определения численного решения краевой задачи:



Выражая последовательно:

- из первого уравнения:



- из второго уравнения:



- из четвертого уравнения:



Подставляя в третье уравнение, находим:





Остальные значения:







Ответ: ; ; ;