Тема Дискретная случайная величина Тема Непрерывная случайная величина
 Скачать 1.38 Mb.
|
|
Раздел 2. Случайные величины Введение Тема 1. Дискретная случайная величина Тема 2. Непрерывная случайная величина Тема 3. Некоторые распределения непрерывных случайных величин Задания к разделу 2 Приложение Таблицы распределения Стьюдента, Пирсона (хи–квадрат) и функции Лапласа Введение В предыдущем разделе мы рассматривали случайные события, как отдельные, так и в контексте других событий. Если некоторая совокупность событий образует полную группу, то каждое событие можно рассматривать как значение некоторой случайной величины X. Примеры: 1. число машин в очереди к бензоколонке, 2. число студентов на лекции, 3. расстояние от места выстрела до места падения снаряда, 4. объем сока в бутылке на конвейере. Определение. Случайной называется величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из своих возможных значений. 1. Дискретная случайная величина В одном из примеров мы находили вероятность победы в двух играх. При этом из решения сразу были очевидны и другие вероятности, то есть победы в одной, трех играх и ни в одной. Величина, которая в данном случае принимает значения 0, 1, 2 и 3, и есть случайная величина X, а именно – количество побед. Следует заметить, что данная случайная величина является дискретной, то есть принимает конечное число определенных значений. Существуют также непрерывные случайные величины, о которых речь пойдет в следующем параграфе. Таким образом, дискретную случайную величину X можно определить как совокупность некоторых значений x i , каждому из которых соответствует вероятность p i . Поскольку x i исчерпывают все возможные значения данной величины, то 1 i p .Это так называемое условие нормировки. Из определения дискретной случайной величины естественным образом вытекает понятие закона распределения вероятностей, который является функциональной зависимостью p i от x i Простейший способ выражения этого закона – таблица, в одной строке которой расположены значения x i случайной величины X, а в другой строке – значения соответствующих вероятностей p i . Если рассматривать тот же пример 2 параграфа 4, то закон распределения вероятностей будет выглядеть так: Таблица1 X 0 1 2 3 p 0,504 0,398 0,092 0,006 Закон распределения можно также задавать графически с помощью многоугольника распределения вероятностей (рис.1) 0 1 2 3 X p 0,0 0,0 0,3 0,5 Рис.1. Многоугольник распределения вероятностей Этот способ более наглядный, однако, для вычислений он менее удобен, чем табличное представление. Какие же вычисления можно делать, если все вероятности уже известны? Оказывается, что закон распределения вероятностей – это далеко не всё, что можно извлечь из случайной величины. Она обладает еще несколькими важными характеристиками – функцией распределения вероятностей, математическим ожиданием, дисперсией и среднеквадратическим отклонением. Функцией распределения вероятностей дискретной случайной величины X называется функция аргумента x, для каждого значения аргумента равная вероятности того, что X меньше x: ) ( ) ( x X P x F (1). Если для случайной величины, заданной таблицей1, взять x=1, то F(x)=0,504, поскольку вероятность того, что X<1 равна вероятности того, что X=0, и составляет 0,504. Если x=2, то F(x)=0,902, поскольку случаю X<2 соответствуют два варианта - X=0 и X=1, вероятности которых суммируются. Функция распределения обладает следующими свойствами: 1. Существует при любых x и не убывает. 2. 0≤F(x)≤1. 3. ) ( F =0 и ) ( F =1. 4. Аналитически функция распределения задается следующим образом , 1 , , , 0 ) ( 2 1 1 p p p x F n x x x x x x x x x x 3 2 2 1 1 (2) Аналитическую запись функции распределения удобно конструировать по следующему алгоритму: сначала записываем F(x) и ставим квадратную скобку такой высоты, чтобы в нее уместилось нужное количество интервалов; затем, оставив место, записываем интервалы, начиная с 1 x x и заканчивая n x x , где n – количество значений случайной величины X; наконец, в оставленные пробелы вписываем сверху вниз соответствующие значения функции – сначала 0, затем 1 p , потом 2 1 p p и т.д., в последней строке должно быть 1. Функция распределения имеет и графическое представление (рис.2). Рис.2.Графикфункции распределения вероятностей Для дискретной случайной величины функция распределения вероятностей имеет в основном теоретическое значение. Практический смысл она обретает для непрерывной случайной величины, и это показано в следующем параграфе. Поэтому важно сразу усвоить структуру и свойства этой функции. Пример 1. Вероятность выиграть по лотерейному билету p=0,2. Куплено 3 билета. Случайная величина X – выигрыш по k билетам из купленных. Составить x x 1 x 2 x n ... 0 F(x) p 1 p 1 +p 2 1 p 1 +...+p n-1 закон распределения вероятностей случайной величины, записать функцию распределения и построить ее график. Решение: поскольку вероятность известна и количество исходов невелико, для нахождения вероятностей разных исходов используем формулу Бернулли. 3 3 0 0 3 3 8 , 0 ) 0 ( q p C P =0,512, 2 2 1 1 3 3 8 , 0 2 , 0 3 ) 1 ( q p C P =0,384, 8 , 0 2 , 0 3 ) 2 ( 2 1 2 2 3 3 q p C P =0,096, 3 0 3 3 3 3 2 , 0 ) 3 ( q p C P =0,008. Запишем закон распределения вероятностей: Таблица 2 X 0 1 2 3 p 0,512 0,384 0,096 0,008 Функция распределения вероятностей будет иметь вид: , 1 , 992 , 0 , 896 , 0 , 512 , 0 , 0 ) (x F 3 3 2 2 1 1 0 0 x x x x x График функции распределения вероятностей представлен на рис.3. Рис.3. 1 x 0 F(x) 1 0,512 2 3 0,896 0,992 Пример 2. Х 1 2 3 4 5 Р 0,1 0,2 0,25 0,3 0,15 5 , 1 , 5 4 , 85 0 4 3 , 55 , 0 3 2 , 3 , 0 2 1 1 , 0 1 , 0 ) ( x если x если x если x если x если x если x F Рис.4. Рассмотрим два распределения Х -0,01 0,01 Р 0,5 0,5 0 ) ( X M Y -100 100 Р 0,5 0,5 0 ) ( Y M Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг МО введена дисперсия. Например, в артиллерии важно знать насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Помимо характеристик распределения вероятностей дискретная случайная величина имеет числовые характеристики. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется величина n n p x p x p x X M ) ( 2 2 1 1 (3). Математическое ожидание обладает следующими свойствами: 1. Математическое ожидание константы равно этой константе – M(C)=C. 2. Константу можно выносить за знак математического ожидания – M(CX)=CM(X). 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий – M(X+Y)=M(X)+M(Y). 4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий – M(X∙Y)=M(X)∙M(Y), если X и Y независимы. Определенная таким образом числовая характеристика есть не что иное, как среднее значение случайной величины X. В данном случае предполагается, что вероятности p i реализации конкретных значений x i случайной величины являются точными и окончательными. В курсе математической статистики такие вероятности называются теоретическими, в отличие от эмпирических относительных частот, которые равны количеству появлений в опыте значений x i , деленных на общее количество исходов опыта. В предыдущем примере вместо указания вероятностей можно было бы, например, сказать, что из ста попыток 0 билетов выиграли 51 раз, 1 билет выиграл 38 раз, 2 билета выиграли 10 раз и 3 билета выиграли 1 раз. В этом случае вместо точных вероятностей мы должны были записать во второй строке эмпирические относительные частоты, соответственно, 0,51, 0,38, 0,1 и 0,01. Если вместо ста попыток мы сделали бы, скажем, 300, эти частоты были бы уже другие, хотя и близкие. При неограниченном возрастании числа попыток эмпирические относительные частоты стремились бы к соответствующим теоретическим вероятностям. При этом, в любой серии испытаний мы могли бы найти среднее значение случайной величины, которое всякий раз отличалось бы от математического ожидания M(X), но стремилось бы к нему при неограниченном возрастании числа испытаний. Рассмотрим два распределения Х -0,01 0,01 Р 0,5 0,5 0 ) ( X M Y -100 100 Р 0,5 0,5 0 ) ( Y M Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг МО введена дисперсия. Например, в артиллерии важно знать насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания 2 )) ( ( ) ( X M X M X D (4) Или Расчетная формула (5) для вычисления дисперсии 2 2 2 2 2 1 2 1 )) ( ( ) ( X M p x p x p x X D n n (5). Действительно, ) ( X D = n i i i i n i i i p X M X M x x p X M x 1 2 2 1 2 ) ( ) ( 2 ) ( = ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 1 2 1 2 X M X M X M X M p X M p x X M p x n i n i i i i n i i i откуда ) ( ) ( ) ( 2 2 X M X M X D То есть формула (5) ) ( ) ( 2 1 2 X M p x X D n i i i Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её Дисперсия обладает следующими свойствами: 1. Дисперсия константы равна нулю – D(C)=0. 2. Константу можно выносить за знак дисперсии с возведением в квадрат – D(CX)=С 2 D(X). 3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий – D(X+Y)=D(X)+D(Y), если X и Y независимы. Поскольку дисперсия всегда неотрицательна, существует квадратный корень из дисперсии, который называется среднеквадратическим отклонением случайной величины X: ) ( ) ( X D X (6). Дисперсия и среднеквадратическое отклонение являются мерой разброса значений случайной величины вокруг среднего. Пример 3. По данным из примера 1 найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины X. Решение: по формуле (3) математическое ожидание равно M(X)=0∙0,512+1∙0,384+ 2∙0,096+3∙0,008=0,6. По формуле (5.5) дисперсия равна D(X) = 0∙0,512 + 1∙0,384 + 4∙0,096 + 9∙0,008 - 0,36 = 0,48. Среднеквадратическое отклонение тогда равно 48 , 0 ) ( X =0,69282. Эти вычисления можно легко выполнить в программе Microsoft Excel. Математическое ожидание находим следующим образом: 1) В ячейку A1 записываем x=, в столбец B вносим значения x; в ячейку C1 записываем p=, в столбец D вносим значения соответствующих вероятностей 2) В ячейку E1 записываем формулу =B1*D1 и нажимаем Enter, получаем произведение 1 x на 1 p 3) Наводим курсор на правый нижний угол ячейки E1,нажимаем левую кнопку мыши и тащим рамку вниз до четвертой строки, получаем все произведения i x на i p 4) Теперь остается только сложить их. Для этого в ячейке E5 записываем формулу =сумм(E1:E4) и нажимаем Enter. В результате получаем в ячейке E5 значение математического ожидания случайной величины X. Для вычисления дисперсии случайной величины X необходимо в полученной таблице сделать следующие изменения: 1) Нажать на ячейку E1, навести курсор на строку формул и ввести *B1, затем нажать Enter. В результате мы получим в ячейке E1 величины 1 2 1 p x , необходимую для вычисления дисперсии. 2) Навести курсор на правый нижний угол ячейки E1, нажать левую кнопку мыши и протащить рамку вниз до четвертой строки – получим все произведения 2 i x на i p 3) В ячейке E5 автоматически изменилось значение суммы, теперь остается из этого значения вычесть квадрат математического ожидания. Нажимаем на ячейку E5,наводим курсор на строку формул,после скобки дописываем -0,6*0,6 и нажимаем Enter, в результате получаем значение дисперсии. Пример 4. Рассмотрим случайную величину Х с законом распределения Х 1 2 3 Р 6 1 2 1 3 1 Вычислим её математическое ожидание. M(Х) = 1 6 1 + 2 2 1 + 3 3 1 = 6 13 ) ( X M X 6 7 6 1 6 5 Р 6 1 2 1 3 1 Тогда ) ( X D : 36 17 3 1 36 25 2 1 36 1 6 1 36 49 ) ( X D 69 , 0 ) ( X Пример 5. (Задача о стрельбе до первого попадания или задача о боезапасе). У стрелка 4 патрона. Он попадает в цель с вероятностью р=0,6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным. Решение. n=4, р=0,6, q=0,4. Х – число оставшихся неизрасходованных патронов. Х : 0, 1, 2, 3. 064 , 0 ) 0 ( 3 q X P , 096 , 0 ) 1 ( 2 q p X P , 240 , 0 ) 2 ( q p X P , 6 , 0 ) 3 ( p X P Х 0 1 2 3 р 0,064 0,096 0,24 0,6 376 , 2 6 , 0 3 24 , 0 2 096 , 0 1 064 , 0 0 ) ( X M ) ( ) ( 2 1 2 X M p x X D n i i i Х 0 1 2 3 Р 0,064 0,096 0,24 0,6 Х 2 0 1 4 9 81 , 0 376 , 2 6 , 0 9 24 , 0 4 096 , 0 1 064 , 0 0 ) ( 2 X D |