плотность вероятности случайной величины
X
имеет вид
2 2
2 1
x
e
x
,
x
,
Функция Лапласа
dx
e
x
x
x
0 2
2 2
1
- первообразная функции
x
2 2
0 2
2
x
x
x
e
dx
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ –ФУНКЦИИ НОРМАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
Распределение Пирсона
Составим случайную величину, равную сумме квадратов
k
независимых нормально распределенных по закону
1
,
0
N
случайных величин
,
i
Z
k
i
,
1
. Обозначим эту величину
.
2
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
2
с
k
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ (ИЛИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПИРСОНА) – это распределение случайной величины
2 , равной сумме квадратов k независимых нормально распределенных по закону 1 , 0 N случайных величин , iZki, 1 , то есть распределение случайной величины ,Z...ZZ2k22212 где aXZii 1,0N, iX ,aNТаким образом, k1ii2Z 2 k Понятие числа степеней свободы в статистике тесно связано с аналогичным понятием в физике. Как известно, числам степеней свободы физической системы называется число независимых координат, полностью определяющих ее положение в пространстве. Например, если материальная точка движется в пространстве без всяких ограничений, то число ее степеней свободы равно трем, если точка движется по плоскости, то три координаты, определяющие ее положение, связаны между собой уравнением этой плоскости, так что независимых координат только две, и поэтому число степеней свободы равно двум; если точка движется по прямой, то три ее координаты связаны уже двумя соотношениями (уравнениями двух плоскостей, при пересечении которых получается прямая) и число степеней свободы равно единице. Возвращаясь к статистике, мы скажем, что числом степеней свободы случайной величины 2 называется число независимый случайных величин ее составляющих, то есть числу слагаемых к; если число слагаемых, составляющих данную сумму, связанымежду собой одним соотношением, то число степеней свободы равно k-1; если они связаны двумя соотношениями, то k-2 и т.д. При фиксированном k статистика 2 является непрерывным распределением с плотностью xf2 , графики которого представлены на следующем рисунке.
. Кривые распределения
2
k
Математическое ожидание и дисперсия этого распределения равны соответственно
k
М
k
2
,
2 2
k
D
k
Распределение Стьюдента
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ СТЬЮДЕНТА С
k
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ, обозначаемым
k
Т
, называется распределение случайной величины Т, равной отношению двух независимых случайных величин.
Z
и
2 1
k
k
, где
Z
1
,
0
N
Число степеней свободы случайной величины
2
в знаменателе случайной величины Т:
k
Z
T
k
2
k
Т
называется числом степеней свободы распределения Стьюдента
Математическое ожидание и дисперсия этого распределения соответственно равны
0
k
T
M
и
k
k
k
T
D
k
,
2
>2
Кривая распределения Стьюдента, как и стандартная нормальная кривая, симметрична относительно оси ординат, следовательно, для критических точке
k
t
;
этого распределения имеет место соотношение
k
k
t
t
;
;
1
Распределение Стьюдента при
k
>30 с достаточной для практических расчетов точностью можно аппроксимировать стандартным нормальным распределением.
Кривые распределения Стьюдента
Распределение Фишера
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ФИШЕРА С
1
k
И
2
k
СТЕПЕНЯМИ
СВОБОДЫ, обозначаемым
2 1
k
k
F
;
называется распределением случайной величины
F
, равной отношению двух независимых случайных величин, имеющих
2
-распределение соответственно с
1
k
и
2
k
степенями свободы:
2 2
2 1
1 1
1 1
k
k
k
k
F
Имеют место следующие формулы для математического ожидания:
,
;
2 2
2 2
1
k
k
F
M
k
k
2
k
>2, и критических точек порядка
распределения Фишера:
2 1
2 1
1
k
k
k
k
F
F
;
;
;
;
Кривые распределения Фишера
Функция распределения нормального закона
Для нормального закона распределения
1
( )
2
x a
F x
где
dt
x
t
e
x
0 2
2 1
2
- интегральная функция Лапласа,
Свойства интегральной функции Лапласа
)
( x
).
(
)
3 2
1
)
2 0
0
)
1
x
x
4) Функция монотонно возрастает, причем при
1
)
(
x
x
Замечание. Уже при x=3,5
499767
,
0
x
, и так как
x
- монотонно возрастающая функция, в практических расчетах при
5
x
можно принимать
5
,
0
x
Вероятность попадания в интервал:
(
)
a
a
P
X
Замечание. Вероятность отклонения X от a не более чем на
:
(
)
2
P X
a
Следствие. Вероятность попадания в интервал
)
;
(
больше у той случайной величины, у которой меньше
Правило трех «сигм»
При проведении практических вычислений за единицу измерения отклонения случайной величины принимают
:
(
)
2 1
2 0, 3413 0, 683
P X
a
(
2 )
2 2
2 0, 4772 0, 954
P X
a
(
3 )
2 3
2 0, 49865 0, 9973
P X
a
Следствие. Если случай величина Х распределена по нормальному закону
( ,
)
N a
, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале
(
3 ;
3 )
a
a
Пример.
Рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина с
173
a
и
36 2
. Найти доли костюмов 4-го роста (176 – 182 см) и 3-го роста (170 – 176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы.
Решение.
2417
,
0 1915
,
0 4332
,
0
)
50
,
0
(
)
50
,
1
(
6 173 176 6
173 182
)
182 176
(
X
P
Добавлено примечание ([LK1]):
383
,
0 1915
,
0 2
)
50
,
0
(
)
50
,
0
(
6 173 170 6
173 176
)
176 170
(
X
P
Центральная предельная теорема Ляпунова
Нормальный закон распределения – наиболее часто встречающийся закон распределения случайных величин.
Центральная предельная теорема теории вероятностей устанавливает, что нормальное распределение возникает во всех случаях, когда исследуемая случайная величина Х может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа независимых случайных величин X
i
, каждое из которых в отдельности слабо влияет на сумму.
Приложение
Таблицы распределения Стьюдента, Пирсона ( хи–квадрат) и функции
Лапласа
Распределение Стьюдента
Вероятность Р{T> T
(k; )} = , где k – число степеней свободы
k
, односторонняя область
k
, односторонняя область
0,10 0,05 0,01 0,10 0,05 0,01
, двусторонняя область
, двусторонняя область
0,20 0,10 0,02 0,20 0,10 0,02 1
3,078 6,314 31,821 17 1,333 1,740 2,567 2
1,886 2,920 6,965 18 1,330 1,734 2,552 3
1,638 2,353 4,541 19 1,328 1,729 2,539 4
1,533 2,132 3,747 20 1,325 1,725 2,528 5
1,476 2,015 3,365 21 1,323 1,721 2,518 6
1,440 1,943 3,143 22 1,321 1,717 2,508 7
1,415 1,895 2,998 23 1,319 1,714 2,500 8
1,397 1,860 2,896 24 1,318 1,711 2,492 9
1,383 1,833 2,821 25 1,316 1,708 2,485 10 1,372 1,812 2,764 26 1,315 1,706 2,479 11 1,363 1,796 2,718 27 1,314 1,703 2,473 12 1,356 1,782 2,681 28 1,313 1,701 2,467 13 1,350 1,771 2,650 29 1,311 1,699 2,462 14 1,345 1,761 2,624 30 1,310 1,697 2,457 15 1,341 1,753 2,602 40 1,303 1,684 2,423
Распределение хи-квадрат
Вероятность Р{
2
>
2
( ; k)} = , где k – число степеней свободы
k
k
0,10 0,05 0,01 0,10 0,05 0,01 1
2,706 3,841 6,635 17 24,769 27,587 33,409 2
4,605 5,991 9,210 18 25,989 28,869 34,805 3
6,251 7,815 11,341 19 27,204 30,144 36,191 4
7,779 9,488 13,277 20 28,412 31,410 37,566 5
9,236 11,070 15,086 21 29,615 32,671 38,932 6
10,645 12,592 16,812 22 30,813 33,924 40,289 7
12,017 14,067 18,475 23 32,007 35,172 41,638 8
13,362 15,507 20,090 24 33,196 36,415 42,980 9
14,684 16,919 21,666 25 34,382 37,652 44,314
16 1,337 1,746 2,583 60 1,296 1,671 2,390 10 15987 18,307 23,209 26 35,563 38,885 45,642 11 17,275 19,675 24,725 27 36,741 40,113 46,963 12 18,549 21,026 26,217 28 37,916 41,337 48,278 13 19,812 22,362 27,688 29 39,087 42,557 49,588 14 21,064 23,685 29,141 30 40,256 43,773 50,892 15 22,307 24,996 30,578 40 51,805 55,758 63,691 16 23,542 26,296 32,000 60 74,397 79,082 88,3379
Целые и десятые доли
х
Значения функции Ф(Х)
Сотые доли х
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 0,0000 0,0797 0,1585 0,2358 0,3108 0,3829 0,4515 0,5161 0,5763 0,6319 0,6827 0,7287 0,7699 0,8064 0,8385 0,8664 0,8904 0,9109 0,9281 0,9426 0,9545 0,9643 0,9722 0,9786 0,9836 0,9876 0,0080 0,0876 0,1663 0,2434 0,3182 0,3899 0,4581 0,5223 0,5821 0,6372 0,5875 0,7330 0,7737 0,8098 0,8415 0,8690 0,8926 0,9127 0,9297 0,9439 0,9556 0,9651 0,9729 0,9791 0,9841 0,9879 0,0160 0,0555 0,1741 0,2510 0,3255 0,3969 0,4647 0,5285 0,5878 0,6424 0,6923 0,7373 0,7775 0,8132 0,8444 0,8715 0,8942 0,9146 0,9312 0,9451 0,9566 0,9660 0,9736 0,9797 0,9845 0,9883 0,0239 0,1034 0,1819 0,2586 0,3328 0,4039 0,4713 0,5346 0,5935 0,6476 0,6970 0,7415 0,7813 0,8165 0,8473 0,8740 0,8969 0,9164 0,9327 0,9446 0,9576 0,9668 0,9743 0,9802 0,9849 0,9886 0,0319 0,1113 0,1897 0,2661 0,3401 0,4108 0,4778 0,5407 0,5991 0,6528 0,7017 0,7457 0,7850 0,8198 0,8501 0,8764 0,8990 0,9181 0,9342 0,9476 0,9586 0,9666 0,9749 0,9801 0,9853 0,9889 0,0399 0,1192 0,1974 0,2737 0,3474 0,4177 0,4843 0,5467 0,6047 0,6579 0,7063 0,7499 0,7887 0,8232 0,8529 0,8789 0,9011 0,9199 0,9357 0,9488 0,9596 0,9684 0,9756 0,9812 0,9857 0,9892 0,0478 0,1271 0,2051 0,2812 0,3545 0,4245 0,4907 0,5527 0,6102 0,6629 0,7109 0,7540 0,7923 0,8262 0,8557 0,8812 0,9031 0,9216 0,9371 0,9500 0,9606 0,9692 0,9762 0,9817 0,9861 0,9898 0,0558 0,1350 0,2128 0,2886 0,3616 0,4313 0,4971 0,5587 0,6157 0,6679 0,7154 0,7580 0,7959 0,8293 0,8584 0,8836 0,9051 0,9233 0,9385 0,9512 0,9616 0,9700 0,9768 0,9822 0,9865 0,9898 0,0638 0,1428 0,2205 0,2960 0,3688 0,4381 0,5035 0,5646 0,6211 0,6729 0,7199 0,7620 0,7994 0,8324 0,8611 0,8859 0,9070 0,9249 0,9399 0,9523 0,9625 0,9707 0,9774 0,9827 0,9869 0,9901 0,0717 0,1507 0,2282 0,3035 0,3759 0,4448 0,5098 0,5705 0,6265 0,6778 0,7243 0,7660 0,8029 0,8355 0,8638 0,8882 0,9090 0,9265 0,9412 0,9534 0,9634 0,9715 0,9780 0,9832 0,9872 0,9904
|
Скачать 1.38 Mb.