Тема Дискретная случайная величина Тема Непрерывная случайная величина
 Скачать 1.38 Mb.
|
Найти дисперсию случайной величины, заданной законом распределения Х 1 0 Р p q M(Х) = р. M(Х) 2 = р. Таким образом, получается, что D(Х) = р – р 2 = pq. Биномиальный закон распределения: Пусть проводится n независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Пусть случайную величину Х – число появлений события А. n X , , 1 , 0 : Соответствующие вероятности k p вычисляются по формуле Бернулли k n k k n n k q p C k P k X P p ) ( ) ( Для биномиального закона закон распределения имеет вид конечной таблицы Х 0 k n Р n q k n k k n q p C n p Теорема. Для биномиально распределенной случайной величины np X M ) ( npq X D ) ( Пример 7 . Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавшихся элементов в одном опыте, вычислить математическое ожидание и дисперсию. Решение. n=3, p=0,1 q=0,9 X- число отказавшихся элементов: 0 1 2 3 729 , 0 9 , 0 ) 0 ( ) 0 ( 3 3 0 0 3 3 q p C P X P 243 , 0 9 , 0 1 , 0 3 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 1 3 3 pq C P X P , 027 , 0 9 , 0 1 , 0 3 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 3 3 q p C P X P , 001 , 0 1 , 0 ) 3 ( ) 3 ( 3 0 3 3 3 3 q p C P X P Х 0 1 2 3 Р 0,729 0,243 0,027 0,001 3 , 0 ) ( X M 27 , 0 ) ( X D 5 , 0 ) ( X Закон распределения Пуассона Пусть опять проводится независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, но n очень велико, а число р очень мало. Тогда, для случайной величины Х – числа появления события А – вероятность ) ( k X P p k следует считать по формуле Пуассона: e k k P p k n k ! , где Теорема. Для распределения Пуассона np X D X M ) ( ) ( n np Пример 8. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу поврежденных изделий. Решение. 500 n , 002 , 0 p . Тогда 1 002 , 0 500 e k e k k P p k n k ! 1 ! 2.Непрерывная случайная величина Случайная величина X, принимающая любые значения из интервала (a; b), называется непрерывной. При этом сам интервал (a; b) может быть как конечным, так и бесконечным. Простейшим примером непрерывной случайной величины является температура воздуха, которая может принимать любые значения в интервале примерно от -90 до +60 градусов Цельсия. Непрерывная случайная величина обладает всеми характеристиками, которые существуют для дискретной случайной величины. Функцией распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция F(x), равная вероятности того, что X при любом испытании примет значение меньше x ), ( ) ( x X P x F R x (7). Для этой функции распределения справедливы все те же свойства, которыми обладает функция распределения дискретной случайной величины, перечисленные в предыдущем параграфе. Существенным отличием функции распределения непрерывной случайной величины является то, что эта функция непрерывна на всем интервале (a; b) и имеет производную во всех точках этого интервала, кроме, может быть, конечного числа точек излома. ВАЖНОЕ СВОЙСТВО ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 x F x F x X x P (8). ( ) ( ) ( ) P a X b F b F a Если 2 1 x x , то 0 ) ( 2 1 x X x P , то есть вероятность каждого конкретного значения непрерывной случайной величины Х равна нулю. Поэтому имеет смысл определять лишь вероятность попадания значений Х в некоторый конечный интервал ( 2 1 , x x ) по формуле (8). Заметим, что в данном случае интервалы ( 2 1 , x x ), [ 2 1 , x x ), ( 2 1 , x x ] и [ 2 1 , x x ] эквивалентны как раз по той причине, что вероятности крайних значений интервалов равны нулю. Дифференцируемость функции распределения предполагает наличие у нее производной, непрерывной или кусочно-непрерывной на всем интервале (a; b). Эта производная называется функцией плотности вероятности непрерывной случайной величины ) ( ) ( x F x f (9). Функция плотности вероятности обладает следующими свойствами: 1. 0 ) ( x f R x 2. 0 ) ( x f при x 3. 2 1 ) ( ) ( 2 1 x x dx x f x X x P ( ) ( ) ( ) ( ) b a P a X b f x dx F b F a 4. x dx x f x F ) ( ) ( 5. 1 ) ( dx x f – условие нормировки. Эта функция является основной характеристикой непрерывной случайной величины. С ее помощью можно не только находить вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, но и вычислять числовые характеристики этой случайной величины, такие как математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число dx x xf X M ) ( ) ( (10), если этот интеграл имеет конечное значение. Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами, что и математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсией непрерывной случайной величины, точно так же, как и дискретной случайной величины, называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания . Используя функцию плотности вероятности, дисперсию можно записать так: dx x f X M x X D ) ( )) ( ( ) ( 2 (11) или 2 2 )) ( ( ) ( ) ( X M dx x f x X D (12). Так же как и в случае дискретной случайной величины, дисперсия непрерывной случайной величины всегда неотрицательна, поэтому из нее можно извлечь квадратный корень и определить его как среднеквадратическое отклонение ) ( ) ( X D X (13), которое, как и сама дисперсия, характеризует меру разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания. Пример 9. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины имеет вид , 1 , 8 2 , 0 ) ( x x F 10 10 2 2 x x x Найти функцию плотности вероятности. Решение: при 2 x и 10 x функция распределения равна константе, следовательно, ее производная равна нулю. При 10 2 x производная функции распределения равна 1/8. Поэтому функция плотности вероятности будет иметь вид: , 0 , 8 / 1 , 0 ) (x f 10 10 2 2 x x x Пример 10. Известна функция плотности вероятности непрерывной случайной величины , 0 , 4 / 1 , 0 ) (x f 2 2 2 2 x x x Найти функцию распределения вероятностей. Решение: по свойству 4 x dx x f x F ) ( ) ( . При 2 x функция распределения должна быть равна 0, а при 2 x - равна 1. В промежутке 2 2 x 4 2 4 2 4 4 4 ) ( 2 2 x x x dx x F x x . Таким образом, функция распределения будет иметь вид: , 1 , 4 2 , 0 ) ( x x F 2 2 2 2 x x x Пример 11. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины имеет вид , 1 , 5 / , 0 ) ( x x F 5 5 0 0 x x x Найти вероятность попадания случайной величины в интервал [3;4]. Решение: воспользуемся формулой (6.2) – ) 3 ( ) 4 ( ) 4 3 ( F F X P =4/5- 3/5=1/5. Пример 12. Задана функция плотности вероятности непрерывной случайной величины , 0 , 4 / , 0 ) ( x x f 3 3 1 1 x x x Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины. Решение: для нахождения математического ожидания используем формулу (6.4): 17 , 2 12 26 12 1 12 27 12 4 ) ( ) ( 3 1 3 3 1 2 x dx x dx x xf X M Дисперсию вычислим по формуле (): 3 , 0 7 , 4 16 1 16 81 7 , 4 16 ) 17 , 2 ( 4 )) ( ( ) ( ) ( 3 1 4 2 3 1 3 2 2 x dx x X M dx x f x X D Среднеквадратическое отклонение будет равно квадратному корню из дисперсии: 548 , 0 3 , 0 ) ( ) ( X D X 3. Некоторые распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение Рассмотрим случайную величину Х, равномерно распределённую на промежутке [a;b]. В этом случае ) (x f постоянна внутри этого промежутка: b x a x b x a c x f ; 0 ) ( Используя свойство нормировки, получим 1 ) ( ) ( a b c cdx dx x f b a Отсюда a b c 1 График функции f(х) представлен на рисунке a c = 1 b - a x p x ( ) f(x) b Функция распределения x dx x f x F ) ( ) ( имеет вид b x b x a a b a x a b dx a x x F x a при 1 при при 0 ) ( График ) (x F представлен на рисунке. Математическое ожидание dx x f x X M ) ( ) ( 2 2 1 2 1 ) ( 2 2 2 b a a b a b x a b dx a b x X M b a b a x a b 1 b a b a b a x d b a x a b a b dx b a x X D 2 2 ) ( 1 2 ) ( 2 2 b a a b b a a b a b b a x a b 12 ) ( 2 2 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 2 3 3 3 Вероятность попадания случайной величины X в промежуток ) ; ( 2 1 a a , где ) ; ( ) ; ( 2 1 b a a a ,вычисляется по формуле a b a a a X a P 1 2 2 1 ) ( Равномерный закон распределения используется: 1) для анализа ошибок округления при проведении числовых расчетов. Например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на промежутке 5 , 0 ; 5 , 0 2) Равномерное распределение на отрезке 1 ; 0 служит исходным материалом для получения случайных величин с любым законом распределения и используется при статистическом моделировании. Калькулятор. Нормальный закон распределения Случайный признак X имеет нормальное распределение, если значения этого признака зависят от аддитивного /суммарного/ действия множества независимых случайных факторов, в том числе латентных, среди которых нет доминирующего. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ случайной величины (случайного признака) X задается плотностью 2 2 2 2 1 a x N e x f , x и обозначается , a N , то есть , a N X . Параметры a a и 0 совпадают с основными характеристиками распределения: X D X D a X M , , 2 Кривая нормального распределения Нормальное распределение с параметрами 0 a и 1 , называемое НОРМИРОВАННЫМ или чаще СТАНДАРТНЫМ нормальным распределением, обозначаемым 1 , 0 N Если 1 , 0 N X , то |