Тема Примеры случайных величин Подготовил студент группы вт202с Ашимтаев жантемир Арманжанович Проверил(а) Ибраимова Акмарал Амантаевна
 Скачать 200.11 Kb.
|
Тема:Примеры случайных величинПодготовил: студент группы вт-202с Ашимтаев жантемир АрманжановичПроверил(-а):Ибраимова Акмарал АмантаевнаСодержаниеФункция распределения случайной величины Биномиальный закон распределения Закон распределения Пуассона Равномерный закон распределения Нормальны закон распределения Показательный(экспоненциальный) закон распределения Геометрическое распределение Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: F(x)=P(X ‹ x)Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.Общие свойства функции распределения: 1.Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей 2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси 3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице 4. Вероятность попадания случайной величины в интервал [х1,х2) (включая х1) равна приращению ее функции распределения на этом интервале Определение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p, если она принимает значения 0,1,2,…,m,…,n с вероятностями Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p. Она может принимать целые значения от 0 (событие не произошло ни разу) до nn (событие произошло во всех испытаниях). Формула для вычисления соответствующих вероятностей - уже известная нам формула Бернулли для схемы повторных независимых испытаний: P(X=k)=Ck/n⋅pk⋅(1−p)n−k,k=0,1,2,...,n.P(X=k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k,k=0,1,2,...,n.Для биномиального распределения известны готовые формулы для математического ожидания и дисперсии:M(X)=np,D(X)=npq,σ(X)=npq−−−√.M(X)=np,D(X)=npq,σ(X)=npq.Закон распределения ПуассонаОпределение. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром λ>0, если она принимает значения 0,1,2,…, m,…(бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями. Рассмотрим некоторый поток событий, в котором события наступают независимо друг от друга и с некоторой фиксированной средней интенсивностью λλ (событий в единицу времени). Тогда случайная величина XX, равная числу событий kk, произошедших за фиксированное время, имеет распределение Пуассона. Вероятности вычисляются по следующей формуле: P(X=k)=λkk!⋅e−λ,k=0,1,2,...P(X=k)=λkk!⋅e−λ,k=0,1,2,...Для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия совпадают с интенсивностью потока событий:M(X)=λ,D(X)=λ.Распределение Пуассона играет важную роль в теории массового обслуживания. При увеличении λλ данное распределение стремится к нормальному распределению N(λ,λ−−√)N(λ,λ). В свою очередь, оно само является "приближенной" моделью биномиального распределения при больших nn и крайне малых pp (см. теорию про формулу Пуассона).Равномерный закон распределенияОпределение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a,b], если ее плотность вероятности ᵠ (х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его. Равномерный закон распределенияКривая распределения ф(х) и график функции распределения Р(х) случайной величины X приведены на а, б. Нормальны закон распределенияОпределение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами a и , если ее плотность вероятности имеет вид.При a=0a=0 и σ=1σ=1 эта функция принимает вид:Нормальны закон распределенияВероятность попадания нормально распределенной случайной величины XX в заданный интервал (α,β)(α,β): Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины XX на величину δδ от математического ожидания (по модулю). Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид Показательный закон распределенияФункция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна ее математическое ожидание а ее дисперсия Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна Геометрическое распределениеОпределение. Дискретная случайная величина Х= м имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1,2,…, м…(бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями Геометрическое распределениеТеорема. Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение с параметром р, |