Системы Счисления. Тема системы счисления
 Скачать 302.49 Kb.
|
|
ГУ «Средняя общеобразовательная школа №2 отдела образования акимата города Аркалыка» Тема СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Выполнили: Петрушенко Анна, Шерстнёва Ольга 8 «А» класс, СШ №2 Научный руководитель: Шалгимбеков Н. К. Аркалык 2020 г.  Содержание. Введение 2 Как люди научились считать 3 Древнеегипетская система счисления 7 Вавилонская система счисления 9 Римская система счисления 11 Происхождение десятичной системы счисления 13 Двоичная система счисления 14 Восьмеричная система счисления 16 Шестнадцатеричная система счисления 17 Заключение 19 Список литературы 20 Введение.В древние времена когда не было наук, школ, компьютеров, не было письменности, люди использовали для счета подручные средства: считали на пальцах рук, на камешках, делали зарубки дереве, делали на веревках узелки У древних людей, кроме каменного топора и шкуры вместо одежды, ничего не было, поэтому считать им было нечего. Когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по-латински означает «камень»! В этой работе мы рассмотрим, как появились цифры в жизни человека, как записывались числа в разные времена, как применяются сейчас числовые системы человеком и цифровой техникой. Системы счисления Как люди научились считать Несколько десятков лет назад ученые-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нем они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то охотник нанес 55 зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из 11 групп, по 5 зарубок в каждой. При этом первые 5 групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других местах были найдены сделанные в ту же далекую эпоху каменные орудия и украшения, на которых тоже были черточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7. Много тысячелетий прошло с того времени. Но и сейчас швейцарские крестьяне, отправляя молоко на сыроварню, отмечают число фляг такими же зарубками. До сих пор в русском языке сохранилось слово «бирка». Теперь так называют дощечку с номером или надписью, которую привязывают к ящикам, тюкам и т.д. А еще 200-300 лет назад это слово означало совсем иное. Так называли куски дерева, на которых зарубками отмечали сумму долга или подати. Бирку с зарубками раскалывали пополам, после чего одна половина оставалась у должника, а другая – у заимодавца или сборщика податей. При расчете половинки складывали вместе, и это позволяло определить сумму долга или подати. Первыми понятиями математики, с которыми столкнулись люди, были «меньше», «больше» и «столько же». Если одно племя меняло пойманных им рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой один нож, чтобы обмен между племенами состоялся. Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары. Более 8 тысяч лет тому назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас коров, коз. Поэтому пришлось делать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая. Так, не умея считать, занимались древние люди арифметикой. Перекладывать каждый раз глиняные фигурки с места на место было довольно утомительным занятием. Прошло много тысячелетий, прежде чем люди научились пересчитывать предметы. Для этого им пришлось придумать названия для чисел. Ученые считают, что сначала названия получили только числа 1 и 2. Например, на языке некоторых папуасских племен (а живут папуасы на острове Новая Гвинея в Тихом океане) числительное «один» и сейчас звучит «урапун», а числительное «два» - «окоза». Число 3 они звали «окоза-урапун», а число 4 – «окоза-окоза». Так они дошли до числа 6, которое получило имя «окоза-окоза-окоза». А дальше у них шло уже знакомое нам название – «много» (конечно, по-папуасски). И 10 у них «много», и 100 тоже «много». Позднее другие племена дали особое имя числительному, которое мы называем «три». А т.к. до того они считали «один», «два», «много», то это новое числительное стали применять вместо слова «много». Русская пословица говорит: «Обещанного три года ждут», а в сказках злой царь посылает героя искать Кощея Бессмертного «за тридевять земель, в тридесятое царство». Иногда числом 3 обозначали весь окружающий мир – его делили на земное, подземное и небесное царства. Поэтому число 3 стало у многих народов священным. В русских сказках особую роль играет число 3. во многих их них участвуют 3 брата: «У старинушки три сына: Старший умный был детина, Средний был и так и сяк, Младший вовсе был дурак». (П.Ершов. «Конек-Горбунок») Во многих сказках герой сражается с трехглавым змеем, в других сказках проходит три царства – медное, серебряное и золотое. В русских поговорках и пословицах слово «семь» часто выступает в роли слова «много»: «Семеро одного не ждут», «Семь раз отмерь – один раз отрежь», «Один с сошкой – семеро с ложкой», «Семь бед – один ответ», «Лук от семи недуг» и т.д. Научившись считать по пальцам до десяти, люди сделали следующий шаг вперед и стали считать десятками. Во многих языках слова «два» и «десять» созвучны. Может быть, это объясняется тем, что когда-то слово «десять» означало «две руки». И сейчас есть племена, которые говорят «две руки» вместо «десять» и «руки и ноги» вместо «двадцать». А в Англии первые десять чисел называют общим именем – «пальцы». Были народы, у которых в самой глубокой древности счет шел до шести. Когда они перешли на счет десятками, то особое имя получили у них 6 десятков. Так было у древних греков. Во многих календарях считалось, что год состоит из 360, т.е. шести шестидесятков дней. Следы этого счета сохранились до сих пор. Мы делим час на 60 минут, минуту – на 60 секунд. Так что самые точные часы хранят в себе память о глубочайшей древности. Потребности людей в больших числах росли и росли. Наступил момент, когда уже и 40, и 60 перестали казаться слишком большими числами. Тогда для того, чтобы сказать «очень много», стали говорить «сорок сороков» или «шестьдесят шестидесятков». А у народов, пользующихся сотней, идею невообразимого множества воплощала сотня сотен. В русском языке она получила название «тьма». Но применяли это слово вместо «очень много». И сейчас, увидев большую толпу, мы восклицаем: «Народу – тьма!» или «Тьма-тьмущая!» В этих словах воскресает язык далеких предков. Продвижение людей в «числовом море» напоминало настоящее морское путешествие. Как моряки в древности вели корабль от одного острова к другому, так и в «числовом море» выделялись «острова», т.е. узловые числа – 10, 40, 60, 100. Двенадцатеричная система Очень интересно понятие "дюжина". Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число - мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги. А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, 12 фаланг умножить на 5 пальцев , то получим 60 - всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему. Несомненные остатки двенадцатеричной системы счисления имеются у англичан – в системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. п.) очень часто считают именно дюжинами, а не десятками, У ацтеков и майя – народов, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента и создавших там высокую культуру, почти полностью уничтоженную испанскими завоевателями в 16–17 вв.,– была принята двадцатеричная система. Та же двадцатеричная система была принята и у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Некоторые следы двадцатеричной системы кельтов сохранились в современном французском языке: например, «восемьдесят» по-французски будет quatre-vingts, т.е. буквально «четырежды двадцать». Число 20 встречается и во французской денежной системе: основная денежная единица – франк – делится на 20 су. Древнеегипетская СССчитается, что древнеегипетская десятичная непозиционная система возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Бумаге предшествовала глиняная дощечка, и именно поэтому древнеегипетские цифры имеют такое начертание. Египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100, 1000, 104, 105, 106 использовались специальные значки - иероглифы (цифры). Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих "цифр", в которых каждый иероглиф повторялась не более девяти раз. В основе как палочной, так и древнеегипетской систем счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Все числа составлялись из ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной и непозиционной. Пример древнеегипетского числа. Чтобы написать число 345 использовались символы  Египетская нумерация Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку.
Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.    - 1207,     - 1 023 029Вавилонская СС.В Древнем Вавилоне применялась шестидесятеричная позиционная система счисления. Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц и лежачий клин - для обозначения десятков. Клинья-то и служили "цифрами" в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком (прямой клин), что и 1. Этим же знаком обозначались числа 3600 = 60², 216 000 = 60³ и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной. Остатки её мы находим в сохранившемся до наших дней делении часа или градуса на 60 минут, а минуты - на 60 секунд.  Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков ("цифр") соответствовало чередованию разрядов. Значение числа определяли по значениям составляющие его "цифр", но с учётом того, что "цифры" в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же "цифр" в предыдущем разряде. Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, так как это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения. Цифрой в Вавилонской цивилизации служил «клин». Прямой клин обозначал единицы , а лежащий десятки. Число 32 записывали так:  Римская система счисления Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить системы счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.  Обозначения для последних четырех чисел с течением времени претерпели значительные изменения. Ученые предполагают, что первоначально знак для числа 100 имел вид пучка из трех черточек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 — вид верхней половинки этой буквы, которая в дальнейшем трансформировалась в знак L:  Для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum — сто, Demimille — половина тысячи, Mille — тысяча). Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание ключевых чисел. При этом применялось следующее правило. Значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака. Например, запись IX обозначает число 9, а запись XI — число 11. Десятичное число 28 представляется следующим образом: XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1. Десятичное число 99 имеет такое представление:  То, что при записи новых чисел ключевые числа могут не только складываться, но и вычитаться, имеет существенный недостаток: запись римскими цифрами лишает число единственности представления. Действительно, в соответствии с приведенным выше правилом, число 1995 можно записать, например, следующими способами: MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5, MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5, MVM = 1000 + (1000 - 5), MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) и так далее. Единых правил записи римских чисел до сих пор нет, но существуют предложения о принятии для них международного стандарта. В наши дни любую из римских цифр предлагается записывать в одном числе не более трех раз подряд. На основании этого построена таблица, которой удобно пользоваться для обозначения чисел римскими цифрами:  Происхождение десятичной системы счисления Всем нам эта система знакома с первого класса. Мы знаем этот ряд чисел от 0 до 9. Почему именно числу 10 отведена такая привилегированная роль? Человек, далекий от этих вопросов, ответил бы, вероятно, не задумываясь, так: дело просто в том, что число 10 – круглое, на него удобно умножать, любое число, поэтому удобно считать десятками, сотнями и т. д. Дело обстоит как раз наоборот: число 10 потому и круглое, что оно принято за основание системы счисления. При переходе к какой-либо иной системе счисления, скажем семеричной, где оно записывается в виде (13)7, его «круглость» немедленно исчезнет. Причины, по которым именно десятичная система оказалась общепринятой, совсем не математического характера. Десять пальцев рук – вот тот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался, начиная с доисторических времен. По пальцам удобно считать от одного до десяти. Сосчитав до десяти, т. е. использовав до конца возможности нашего природного «счетного аппарата», естественно принять само число 10 за новую, более крупную единицу (единицу следующего разряда). Десять десятков составляют единицу третьего разряда и т. д. Таким образом, именно счет по пальцам рук положил начало той системе, которая кажется нам сейчас чем-то само собой разумеющимся. Появилась десятичная система, вероятно, в Индии. Выбор графических изображений для цифр, разумеется не принципиален. Современные изображения цифр - простая стилизация древних арабских цифр. Марокканский историк Абделькари Боужибар считает, что арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры. В самом деле, если посмотреть на рисунок, это предположение кажется не лишенным глубокого смысла.  Так, единица создает лишь один угол, тройка - три, пятерка - пять и т.п. нуль не образует никакого угла, поэтому он не имеет никакого содержания. Мысли в сторону. Заметим, что с математической точки зрения двенадцатеричная система имела бы, пожалуй, некоторые преимущества перед десятичной, поскольку число 12 делится на 2, 3, 4 и 6, а число 10 только на 2 и 5, а больший запас делителей у числа, служащего основанием системы счисления, создает известные удобства в ее использовании. Двоичная система счисленияВ двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.) Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления. В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни. Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется. Попробуем считать в двоичной системе: 0 – это ноль 1 – это один (и это предел разряда) 10 – это два 11 – это три (и это снова предел) 100 – это четыре 101 – пять 110 – шесть 111 – семь и т.д. Почему двоичная система счисления так распространена?Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания. В цифровых устройствахДвоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям: Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д. Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации. Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения — основных действий над числами. В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует (очевидно) один двоичный разряд двоичного регистра, то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1). Неудобство двоичной системы счисления 1 000 000 10 = 111101000010010000002 Как видим, двоичная запись больших чисел представляет собой большой набор двоичных разрядов. Восьмеричная система счисления Восьмери́чная систе́ма счисле́ния — позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7. Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:
Теперь преобразуем дробное восьмеричное число А8=0,478 в двоичную систему счисления:
Получаем: А2 = 0,1001112 . Обратно, преобразуем дробное двоичное число А2 = 0,1101012 в восьмеричную систему счисления:
Получаем: А8 = 0,658. Широко использовалась в программировании и компьютерной документации, однако позднее была почти полностью вытеснена шестнадцатеричной. Восьмеричная система применяется при выставлении прав доступа к файлам и прав исполнения для участников в Linux-системах. Шестнадцатеричная система счисления Это позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. В качестве цифр этой системы счисления обычно используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 1010, 1110, 1210, 1310, 1410, 1510 соответственно. Применение Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему, в то время как в документации других компьютерных систем того времени (даже с 8-битными символами, как, например, PDP-11 или БЭСМ-6) использовали восьмеричную систему. В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости — с ведущими нулями). Шестнадцатеричный цвет — запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде. Заключение. Искусство счета развивалось с развитием человечества. Способов счета было придумано немало: зарубки на палке, узлы на веревке, складывание в кучу камешков. Но носить все это с собой неудобно. И тут на помощь приходят пальцы рук. А если предметов больше 10? Тогда люди придумали десятичную систему счисления, которой мы пользуемся до сих пор. «Пальцевое» происхождение десятичной системы счисления подтверждается формой римских цифр: цифра пять (V) - ладонь с оттопыренным большим пальцем, а цифра десять (Х)- две скрещенные руки. «Возможно, что, если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята одиннадцатиричная система счисления». Лебег А.(«Школьникам о математике». С.22.) С помощью такой системы счисления можно было записать любое число без особых усилий, поэтому эту систему счисления приняли многие народы и пользуются ею до сих пор. Она получила название арабской, хотя ее придумали в Индии. Но именно арабы ее преобразовали и разнесли по всему миру. Из всех придуманных человечеством систем счисления наиболее удобным для счета является десятичная система, а для широко распространенной и постоянно растущей «армии» компьютерной техники – двоичная система. Список литературы. « Я познаю мир». Детская энциклопедия. Москва, «Астрель», 2004 год. «Что? Зачем? Почему?». Большая книга вопросов и ответов. Перевод с испанского К. Мишиной, А. Зыковой, Москва, Эксмо, 2006 год. «Школьникам о математике и математиках». Составитель Лиман М.М Москва,Просвещение. 1989 год. « «Математическая шкатулка» Ф.Ф. Нагибин. Е.С. Канин. Москва, «Просвещение», 1984 год. «Занимательная арифметика» Перельман Я.И.Москва, Триада-Литера,1994 год. «Что такое? Кто такой». Москва. Педагогика, 1990 год. |
