Статистика (3-5 теми). Тема зведення, класифікації та групування статистичних даних
 Скачать 333.56 Kb.
|
|
3. Гранична помилка вибірки. Визначення потрібної чисельності вибірки На практиці зазвичай недостатньо обчислити лише середню помилку вибірки, бо фактична помилка більша чи менша за середню. Дослідника цікавить частіше не середня помилка вибірки, а її межі в разі перенесення результатів вибіркової сукупності на генеральну. Ці межі можна визначити, обчисливши граничну помилку вибірки, котра залежить від того, з якого ймовірністю  потрібно гарантувати помилку вибірки.Граничну помилку вибірки обчислюють за формулою  Де — коефіцієнт кратності помилки (довіри); — середня помилка вибірки. Межі помилок визначають на основі теореми Чебишева і Ляпунова, яка визначає ймовірність того, що гранична помилка репрезентативності не перевищує  -кратну середню помилку  . Показник кратності помилки залежить від імовірності, з якою можна гарантувати певні розміри граничної помилки вибірки. Згідно з цією теоремою середня величина та частка генеральної сукупності в 683 випадках із 1000 збігаються із середньою величиною чи часткою вибіркової сукупності. За таких умов гранична помилка вибірки дорівнює середній помилці, а коефіцієнт довіри = 1. Щоб підвищити ймовірність, потрібно розширити межі відхилень. Наприклад, якщо подвоїти середню помилку репрезентативності ( = 2), то ймовірність збігу вибіркової та генеральної середньої чи частки підвищиться до 0,954 (95,4 %), а якщо потроїти, то до 0,997. Щоб визначити коефіцієнт імовірності для різних значень  , користуються спеціальною табл. 2. Найуживаніші в обчисленнях коефіцієнти = 1( = 0,683), 2 (0,954), 3 (0,997), 4 (0,999).Для обчислення граничних помилок повторної та безповторної вибірки застосовують відповідно такі формули: для середньої  для частки —  Таблиця 2 Значення ймовірності залежно від коефіцієнта довіри
Типова задача 1. Обчислити з імовірністю 0,954 граничну помилку вибірки та визначити межі середньої заробітної плати продавця в генеральній сукупності (табл. 3). Таблиця 3 Основні показники для обчислення граничної помилки вибірки для середньої заробітної плати продавця в генеральній сукупності
Для цих даних середня помилка вибірки =2,01 грн. З імовірністю 0,954 визначимо граничну помилку вибіркової середньої:  =2-2,01=4 грн. Тому середня зарплата в генеральній сукупності лежить у таких межах: = (303±4) грн.Отже, з імовірністю 0,954 можна твердити, що середня заробітна плата продавця в генеральній сукупності коливається в межах від 299 до 307 гри. Так само можна обчислити граничну помилку вибірки для частки. Визначення потрібної чисельності вибірки. Це дуже важливо, бо надмірна чисельність вибірки зумовлює великий обсяг робіт, а мала — велику помилку репрезентативності. Визначаючи потрібну чисельність вибірки, потрібно враховувати такі показники:
Потрібну кількість вибірки можна визначити з формули граничної помилки вибірки, виконавши відповідні математичні перетворення. Так, піднісши обидві частини формули до квадрата, отримаємо  , звідки  .Виконавши подібні перетворення з іншими різновидами граничної помилки вибірки, одержимо такі формули для визначення потрібної чисельності вибірки (відповідно повторної та безповторної): для середньої  для частки —  Тому якщо навіть приблизна дисперсія невідома, відповідні формули мають вигляд  Щоб визначити потрібну чисельність вибірки, слід знати дисперсію. Проте її можна обчислити, лише провівши вибіркове спостереження. Отже, для того, щоб визначити потрібну чисельність вибірки п, потрібно мати дані про неї. Для визначення дисперсії можна запропонувати таке:
Визначимо потрібну чисельність вибірки па такому прикладі. Типова задача 2. У мікрорайоні працює 2000 продавців. Скільки потрібно відібрати продавців для обстеження  , щоб з імовірністю 0,954 стверджувати, що помилка вибірки в разі визначення середньої заробітної плати не перевищить 4 грн, якщо середнє квадратичне відхилення становить 30 грн?Запишемо умову задачі формально: = 2000; =2; =4 грн; =30 грн. У разі повторної вибірки для обстеження потрібно відібрати  у разі безповторної -  4. Основні види вибірки та їх застосування в статистиці За способом відбору одиниць для обслідування розрізняють такі різновиди вибіркового спостереження:
Власне випадкова вибірка. За такого способу відбору всі одиниці генеральної сукупності мають однакову можливість потрапити в досліджувану групу. Відбір одиниць проводять жеребкуванням. Приклад власне випадкової безповторної вибірки — тираж виграшів грошово-речової лотереї: усі номери випущених лотерейних білетів кладуть в урну; ретельно перемішують і витягують із неї один за одним наперед задану кількість виграшних номерів. Якщо, наприклад, потрібно визначити вік 1000 студентів, то на картки однакового розміру записують фактичний вік, кладуть картки в урну; витягнувши з неї одну картку, записують номер і знову кладуть картку в урну, ретельно перемішують картки, знову виймають одну й так до заданої чисельності вибірки. Це приклад повторної вибірки. Механічна вибірка. Це різновид власне випадкової вибірки, коли всі одиниці генеральної сукупності розміщують у певному порядку:
Потім залежно від обсягу вибірки відбирають для дослідження кожну 2, 3, 4, 10-ту і т. д. одиницю. Механічну вибірку широко застосовують для контролю якості продукції, відбору підприємств певної галузі для дослідження, під час бюджетних обстежень сімей. Типова (районована) вибірка. Досліджувану генеральну сукупність розбивають на однорідні групи, райони чи зони. Потім із кожної групи випадково відбирають певну кількість одиниць пропорційно частці цієї групи в загальній сукупності. Наприклад, відбираючи сім'ї для бюджетного обстеження, їх групують за видами економічної діяльності, а потім — за галузями промисловості, виробничими напрямками тощо. Така процедура забезпечує потрапляння у вибірку представників усіх виділених типових груп, і вибірка стає більш достовірною. Серійна (гніздова) вибірка. На практиці іноді замість відбору окремих одиниць відбирають цілі групи (гнізда), і вже в кожній групі спостерігають усі без винятку одиниці. Групи (гнізда) відбирають методом власне випадкової безповторної вибірки чи за допомогою механічного відбору. Наприклад, з інкасаторської сумки випадково відбирають 10 пачок грошей по 100 купюр (це гнізда), а потім перевіряють кожну купюру на зношеність або автентичність. Мала вибірка. Це несуцільне статистичне обстеження, коли вибіркову сукупність утворено з порівняно невеликої кількості одиниць генеральної сукупності. Обсяг малої вибірки зазвичай не перевищує 30 одиниць і може сягати 4-5 одиниць. Помилки малої вибірки визначають за формулами, що відрізняються від формул для вибіркового спостереження з порівняно великим обсягом вибірки  . Середню помилку малої вибірки обчислюють за формулою де — дисперсія малої вибірки. Відомо, що оскільки в разі малої вибірки множник суттєвий, то дисперсію малої вибірки обчислюють з урахуванням степенів вільності. Під кількістю степенів вільності розуміють кількість варіантів, які можуть набувати довільного значення, не змінюючи середньої. У разі визначення дисперсії кількість степенів вільності дорівнює  : Граничну помилку малої вибірки визначають за формулою  При цьому значення коефіцієнта довіри  залежить не тільки від заданої довірчої ймовірності, але й від чисельності вибірки  .Для окремих значень й довірчу імовірність малої вибірки визначають за таблицями Стьюдента, у яких наведено дані розподілу стандартизованих відхилень:  Значення таблиць Стьюдента характеризують імовірність того, що гранична помилка малої вибірки не перевищує — кратну середню помилку:  Проводячи малі вибіркові обстеження, важливо мати на увазі те. що зі зменшенням обсягу вибірки збільшуються розбіжності між розподілом Стьюдента та нормальним розподілом. За мінімального обсягу вибірки ця розбіжність суттєва, що зменшує точність результатів малої вибірки. Користуючись малою вибіркою, визначають межі генеральної середньої досліджуваної ознаки.  Середню помилку малої вибірки визначають за формулою  Для наведених у прикладі даних  Наприклад, проведено вибірку обсягом 20 одиниць. Вибірковий середній квадрат відхилення = 80. Обчислимо вибіркове середнє квадратичне відхилення малої вибірки: У статистиці застосовують також моментний, багатоступеневий і багатофазовий види відбору. Різні форми організації відбору одиниць у вибіркову сукупність — це подальший розвиток і видозміни простого випадкового відбору. Застосування того чи іншого виду відбору залежить від характеру об’єкта спостереження, а також бажання здешевити чи полегшити процес спостереження. Способи поширення вибіркових даних па генеральну сукупність. Кінцева мета вибіркового спостереження — поширення його характеристик па генеральну сукупність. Є декілька способів поширення вибіркових даних. Якщо треба визначній обсяг ознаки в генеральній сукупності, роблять прямий розрахунок. Середній розмір ознаки, обчислений у результаті вибіркового спостереження, множать на чисельність одиниць генеральної сукупності. Наприклад, у 3-процентній вибірці чисельністю 150 світильників шість виявилися бракованими (помилка вибірки — один світильник). За часткою браку у вибірковій сукупності ((6/150) • 100 = 4 %) можна визначити, скільки бракованих світильників у генеральній сукупності обсягом 5000: (5000 • 4)/100 = 200. Якщо вибіркове спостереження проводять для уточнення результатів суцільного спостереження, застосовують метод коефіцієнтів. Нехай суцільний перепис (облік) показав, що в районі у приватній власності населення налічується 3000 корів. Під час контрольної перевірки 10% дворів (вибіркового спостереження) було виявлено, що під час суцільного спостереження в цих господарствах було зафіксовано 250 корів, а під час контрольного — 254. Отже, виявлено, що під час суцільного перепису не враховано чотири голови, що становить 1,6 % (4/250). Тоді 101,6 %— поправковий коефіцієнт, застосовуючи який, можна обчислити кількість корів у приватній власності населення району: 3000 * 101,6/100 = 3048. Відбір вважають задовільним, якщо гранична помилка репрезентативності не перевищує 2-5 %. Якщо помилка більша ніж 5 %, вибірку вважають нерепрезентативною й повторюють відбір. Якщо й повторний відбір не дає позитивних результатів, то для підвищення репрезентативності доцільно збільшити чисельність вибіркової сукупності. Вибіркові значення розповсюджують па генеральну сукупність з урахуванням довірчих інтервалів. Для цього відповідні узагальнювальні показники вибіркової сукупності w та х корегують на граничну помилку вибірки та 
Методи формування вибіркової сукупності — важливий чинник, від якого залежить репрезентативність вибірки, а методи відбору одиниць у вибірку дають змогу підвищити точність характеристики та визначити оптимальну чисельність вибіркової сукупності в маркетинговій, правовій, фінансово-банківській та іншій діяльності. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
);
, то брати 
, звідки випливає 
, тоді 
