МатАнализВесна2022-2. Теорема о замене переменной под знаком предела для функций Пусть существуют и конечны пределы lim
 Скачать 0.52 Mb.
|
|
f ′′ (x) = (f ′ (x)) ′ , или d 2 f (x) dx 2 = d dx ( df (x) dx ) . Третья производная функции f (x) есть производная её второй производ- ной. Обозначение: f ′′′ (x) = (f ′′ (x)) ′ , или d 3 f (x) dx 3 = d dx ( d 2 f (x) dx 2 ) . n–я производная функции f (x) (иными словами, производная порядка n) есть производная её (n −1)–й производной. Обозначение: f (n) (x) = (f (n −1) (x)) ′ , или d n f (x) dx n = d dx ( d n −1 f (x) dx n −1 ) . "Нулевая" производная функции f (x) есть сама функции f (x) . Обозначение: f (0) (x) = f (x) . Примеры (x k ) ′ = kx k −1 . (x k ) ′′ = (x k ) ( 2 ) = ((x k ) ′ ) ′ = (kx k −1 ) ′ = k(k − 1)x k −2 . (x k ) ′′′ = (x k ) ( 3 ) = ((x k ) ′′ ) ′ = (k(k − 1)x k −2 ) ′ = k(k − 1)(k − 2)x k −3 . (x k ) ′′′′ = (x k ) ( 4 ) = ((x k ) ′′′ ) ′ = (k(k − 1)(k − 2)x k −3 ) ′ = k(k − 1)(k − 2)(k − 3)x k −4 . Круглые скобки в верхнем индексе (в данном случае, синие) ставятся для того, чтобы порядок производной не путать с показателем степени. Нельзя сказать, что это всегда безупречно помогает. Вместо f ( n ) (x) удобнее писать d n f (x) dx n . Удобнее, понятнее, но и длиннее. Если k – натуральное число, то все производные функции x k порядка (k + 1) и выше тождественно равны нулю. Теорема Ферм´ а (о необходимом условии экстремума) Пусть f : R → R . Пусть функция f(x): 1) дифференцируема в точке x 0 , 2) имеет локальный экстремум в точке x 0 . Тогда f ′ (x 0 ) = 0 . 37 Доказательство Предположим, f (x) имеет в точке x 0 локальный минимум. Это, по определению минимума, означает: ∃ δ > 0 такое, что f (x) − f(x 0 ) > 0 , ∀ x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ) , x ̸= x 0 . Левосторонняя производная f ′ (x 0 − 0 ) = lim x →x 0 −0 > 0 z }| { f (x) − f(x 0 ) x − x 0 | {z } < 0 = lim x →x 0 −0 ( f (x) − f(x 0 ) x − x 0 ) | {z } < 0 ≤ 0 , неположительна по теореме о предельном переходе в неравенствах (для функций). Правосторонняя производная f ′ (x 0 + 0 ) = lim x →x 0 +0 > 0 z }| { f (x) − f(x 0 ) x − x 0 | {z } > 0 = lim x →x 0 +0 ( f (x) − f(x 0 ) x − x 0 ) | {z } > 0 ≥ 0 . неотрицательна по той же теореме. По теореме о связи производной с двумя односторонними производными f ′ (x 0 − 0 ) = f ′ (x 0 + 0 ) = f ′ (x 0 ) = lim x →x 0 f (x) − f(x 0 ) x − x 0 . Совместить последнее равенство с неравенствами f ′ (x 0 − 0 ) ≤ 0 , f ′ (x 0 + 0 ) ≥ 0 воз- можно только при f ′ (x 0 − 0 ) = f ′ (x 0 + 0 ) = f ′ (x 0 ) = 0 . Доказательство закончено. Случай локального максимума рассматривается аналогично. Замечание В теореме Ферм´ а формулируется необходимое условие экстремума. Это условие не является достаточным. Например, для функции f (x) = x 3 справедливо равенство f ′ (0) = 3x 2 x=0 = 0 , однако, данная функция не имеет экстремумов. 38 Теорема о достижении наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции (вторая теорема Вейерштрасса) Пусть f : R → R . и пусть f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] . Тогда: ∃ x 1 ∈ [a, b] такое, что f(x) ≥ f(x 1 ) , ∀x ∈ [a, b] ; ∃ x 2 ∈ [a, b] такое, что f(x) ≤ f(x 2 ) , ∀x ∈ [a, b] . Без доказательства. Замечание Во второй теореме Вейерштрасса точка x 1 обеспечивает наименьшее, точка x 2 обеспечивает наибольшее значение функции на замкнутом промежутке [a, b] . Для не замкнутых промежутков (то есть, для множеств [a, b) , (a, b) , (a, b] ) утвер- ждение теоремы было бы, вообще говоря, неверным. Замечание Наибольшее / наименьшее значение и локальный максимум / минимум – это, во- обще говоря, не одно и то же. Позже будет дано тому подтверждение. Теорема Ролля Пусть f : R → R . Пусть f(x) : 1) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] , 2) дифференцируема на открытом промежутке (a, b) , 3) f (a) = f (b) . Тогда ∃ c ∈ (a, b) такое, что f ′ (c) = 0 . Доказательство По второй теореме Вейерштрасса ∃ x 1 , x 2 ∈ (a, b) (точки наименьшего и наи- 39 большего значений) такие, что f (x 1 ) ≤ f(x) ≤ f(x 2 ) , ∀x ∈ [a, b] . (67) Далее возможны только следующие два случая. 1. Пусть f (x 1 ) = f (x 2 ) . В этом случае неравенство (67) принимает вид f (x 1 ) ≤ f(x) ≤ f (x 1 ) , ∀x ∈ [a, b] , и оно означает, что функция f(x) ≡ f (x 1 ) – тождественная константа на промежутке [a, b] . Тогда ∀c ∈ (a, b) (например, для c = (a + b)/2) справедливо равенство f ′ (c) = 0 . 2. Пусть f (x 1 ) < f (x 2 ) . В этом случае хотя бы одна из точек x 1 , x 2 лежит не на конце промежутка [a, b] , иначе (по условию (3) формулировки данной теоремы) это был бы случай 1. Пусть, например, x 1 ̸= a , x 1 ̸= b , то есть, a < x 1 < b , точка x 1 является внутренней для промежутка [a, b] . Случай x 2 ̸= a, x 2 ̸= b может быть рассмотрен аналогично. 2а. Предположим, что существует такой промежуток [α, β] (полностью входя- щий в промежуток [a, b]), что f (x) ≡ f(x 1 ) , ∀x ∈ [α, β] . Причём, совсем не обязатель- но ставить требование x 1 ∈ [α, β] . Тогда ∀c ∈ (α, β) (например, для c = (α + β)/2 ) справедливо равенство f ′ (c) = 0 . 2б. Предположим, что названный в пункте 2а промежуток [α, β] не существует. Но тогда точка c = x 1 является точкой локального минимума. Действительно, x 1 – точка наименьшего значения на промежутке [a, b] , следовательно, f (x) > f (x 1 ) , ∀x ∈ (x 1 −δ, x 1 + δ) , x ̸= x 1 , (где можно взять δ = min(x 1 −a, b−x 1 )), что означает: x 1 – точка локального минимума. А в точке минимума, точке c = x 1 , согласно теореме Ферм´ а, производная равна нулю, f ′ (c) = f ′ (x 1 ) = 0 . Доказательство закончено. Теорема Лагранжа. Пусть f : R → R . Пусть f(x) : 1) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] , 40 2) дифференцируема на открытом промежутке (a, b) . Тогда ∃ c ∈ (a, b) такое, что f (b) − f(a) b − a = f ′ (c) . Доказательство Рассмотрим вспомогательную функцию φ(x) = f (x) − f(a) − (x − a) · f (b) − f(a) b − a , которая: 1) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] , 2) дифференцируема на открытом промежутке (a, b) , причём, φ ′ (x) = f ′ (x) − f (b) − f(a) b − a , 3) φ(a) = φ(b) = 0 . Таким образом, функция φ(x) подчиняется условиям теоремы Ролля. Согласно этой теореме, существует такое c ∈ (a, b) , что φ ′ (c) = 0 . Но тогда φ ′ (c) = f ′ (c) − f (b) − f(a) b − a = 0 , следовательно, f ′ (c) = f (b) − f(a) b − a . Доказательство закончено. Теорема о достаточном условии возрастания функции на открытом промежутке Пусть f : R → R . Пусть: 1) f (x) дифференцируема на открытом промежутке (a, b) ; 2) f ′ (x) > 0 , ∀x ∈ (a, b) . Тогда f (x) ↑ на промежутке (a, b) . 41 Доказательство Дифференцируемость функции f (x) в любой точке промежутка (a, b) , согласно предыдущей теореме, означает и непрерывность функции в любой точке этого проме- жутка. Возьмём любые два числа x 1 ∈ (a, b) , x 2 ∈ (a, b) , такие, что x 1 < x 2 . На про- межутке [x 1 , x 2 ] для функции f (x) выполнены условия теоремы Лагранжа. Следова- тельно, ∃ c ∈ (x 1 , x 2 ) такое, что f ′ (c) = f (x 2 ) −f(x 1 ) x 2 −x 1 , или f (x 2 ) −f(x 1 ) = f ′ (c) ·(x 2 −x 1 ) . Заметим, что c ∈ (a, b) , стало быть, f ′ (c) > 0 . Но тогда x 1 < x 2 = ⇒ f(x 2 ) − f(x 1 ) = f ′ (c) |{z} >0 · (x 2 − x 1 ) | {z } >0 > 0 = ⇒ f(x 1 ) < f (x 2 ) . Доказательство закончено. Замечание Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии убывания функции на открытом промежутке слушателям предстоит самостоятельно. Теорема о первом достаточном условии локального минимума функции в точке Пусть f : R → R . Пусть: 1) f (x) дифференцируема на промежутке (x 0 − δ, x 0 + δ) (то есть, в δ– окрестности точки x 0 ); 2) f ′ (x 0 ) = 0; 3) f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (x 0 − δ, x 0 ); 4) f ′ (x) > 0, ∀x ∈ (x 0 , x 0 + δ). Тогда f (x) достигает локального минимума в точке x 0 Доказательство Дифференцируемость функции f (x) во всех точках промежутка (a, b) означает и непрерывность её во всех точках промежутка (a, b). 42 Рассмотрим произвольную точку x 1 ∈ (x 0 − δ, x 0 ). По теореме Лагранжа суще- ствует точка c 1 ∈ (x 1 , x 0 ) такая, что f ′ (c 1 ) = f (x 0 ) −f(x 1 ) x 0 −x 1 , следовательно, f (x 0 ) − f(x 1 ) = f ′ (c 1 ) | {z } <0 · (x 0 − x 1 ) | {z } >0 < 0 = ⇒ f (x 1 ) > f (x 0 ) , ∀x 1 ∈ (x 0 − δ, x 0 ) . Рассмотрим произвольную точку x 2 ∈ (x 0 , x 0 + δ). По теореме Лагранжа суще- ствует точка c 2 ∈ (x 0 , x 2 ) такая, что f ′ (c 2 ) = f (x 2 ) −f(x 0 ) x 2 −x 0 , следовательно, f (x 2 ) − f(x 0 ) = f ′ (c 2 ) | {z } >0 · (x 2 − x 0 ) | {z } >0 > 0 = ⇒ f (x 2 ) > f (x 0 ) , ∀x 2 ∈ (x 0 , x 0 + δ) . Из двух фиолетовых неравенств следует, что f (x) > f (x 0 ), ∀ x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ), x ̸= x 0 , а это, по определению, и означает наличие минимума функции f (x) в точке x = x 0 Доказательство закончено. Замечание Сформулировать и доказать теорему о первом достаточном условии существова- ния локального максимума функции в точке слушателям предстоит самостоятельно. Теорема Кош´ и Пусть f : R → R , g : R → R . Пусть функции f(x) , g(x) : 1) непрерывны на замкнутом промежутке [a, b] ; 2) дифференцируемы на открытом промежутке (a, b) ; 3) g(b) ̸= g(a) ; 4) на открытом промежутке (a, b) нет точки, в которой производные f ′ (x) , g ′ (x) обращались бы в ноль одновременно Тогда ∃ c ∈ (a, b) такое, что f (b) − f(a) g(b) − g(a) = f ′ (c) g ′ (c) . 43 |