МатАнализВесна2022-2. Теорема о замене переменной под знаком предела для функций Пусть существуют и конечны пределы lim

• Название: Теорема о замене переменной под знаком предела для функций Пусть существуют и конечны пределы lim
• Дата: 20.05.2022
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: МатАнализВесна2022-2.pdf
• Тип: Документы; #540547
• страница: 2 из 5

– разные цвета кружков), выделена жирной чёрной линией. Закономерен вопрос: а сколько же шагов следует совершить?
По окончании n–го шага величина x
n
есть середина промежутка (на котором есть корень) длиной w/2
n
−1
. Она (середина) удалена от любой другой точки про- межутка, в том числе и от искомого корня уравнения, не более, чем на w/2
n
. Если
w/2
n
< ε , то допустимая погрешность не превышена, и задачу можно считать решён- ной.
Именно так получается в задаче решения уравнения (52) при n = 7 (Рис. 4):
w/2
n
= w/2 7
= 0.0078125 < ε = 0.01 .
Формула для числа шагов, совершаемых методом дихотомии для достижения погрешности не более ε , выглядит так:
n =
⌈
ln
(
w
ε
)
ln 2
⌉
=
⌈
log
2
(
w
ε
)⌉
,
(53)
где
⌈z⌉ – наименьшее целое число, большее либо равное z .
Метод хорд
Метод хорд (иное название – метод секущих) похож на метод дихотомии, но чуть более наукоёмок и чуть быстрее работает.
Начало описания метода совпадает с тем, что приведено на странице 48.
На очередном, i–м шаге, имеющем дело с текущим промежутком [a, b] , в каче- стве i–го приближения берётся точка
x
i
=
a
·f(b) − b ·f(a)
f (b)
− f(a)
.
(54)
26

Формула (54) выражает x–координату точки пересечения хорды, соединяющей точки (a, f (a)), (b, f (b)) , с осью Ox . Далее всё, как в методе дихотомии. Вычисляет- ся значение функции f (x
i
) . Предполагается, что f (x
i
)
̸= 0 (невероятно счастливый случай f (x
i
) = 0 означал бы, что корень уже найден). Имеется два промежутка раз- ной длины, [a, x
i
] и [x
i
, b] , а корень есть только на одном из них. Если f (x
i
)
·f(a) < 0 ,
то корень находится на промежутке [a, x
i
] , и "пододвигается" правая граница, при- нимается b = x
i
. Если f (x
i
)
·f(a) > 0 , то корень находится на промежутке, [x
i
, b] , и "пододвигается" левая граница, принимается a = x
i
. На этом i–й шаг заканчивается,
новый текущий промежуток [a, b] становится короче старого, но не в два раза. Может быть, лишь чуть-чуть короче.
Если у метода дихотомии есть простая формула (53) для необходимого числа шагов, то у метода хорд для числа шагов сколь–либо простой и надёжной формулы нет. Гарантированной верхней границы погрешности метода хорд нет, для примерной оценки этой погрешности принимается величина
|x
i
−x
i
−1
| . В качестве приблизитель- ного признака достижения приемлемой порешности принимается неравенство
|x
i
− x
i
−1
| < ε .
(55)
Отсутствие точной надёжной формулы обычно компенсируется б´
ольшей скоро- стью работы метода хорд в сравнении с методом дихотомии. "Скорость" метода счита- ется более высокой, если требуется меньшее число шагов для достижения приемлемой погрешности.
На Рис. 4 представлен процесс поиска корня методом хорд. Внизу, под графиком функции, изображены сужающиеся промежутки, на которых локализован корень.
Неравенство
|x
i
− x
i
−1
| < ε = 0.01 наблюдается, начиная с i = 6 . И действи- тельно,
|x
6
− x
⋆
| = 0.004922 < ε = 0.01 .
27

Рис. 5 28

Развитием метода хорд считается метод Мюллера. Отличие метода состоит в том, что проводится не прямая через две точки на графике функции y = f (x) , а парабола через три точки на этом графике.
Скорость работы у метода Мюллера несколько выше, чем у метода хорд, но ни- же, чем у метода Ньютона. На экзамен метод Мюллера и метод Ньютона не выносятся.
Каким из названных четырёх численных методов пользовался Иоганн Кеплер при решении уравнения (52)? – Да не пользовался он этими методами. Студент, инте- ресующийся математикой, сам выяснит, что за численный метод применял Кеплер.
29

Определение
Пусть f :
X
→
Y
, φ :
Z
→
X
, ψ :
Z
→
Y
Функция y = f (x) называется функцией, заданной параметрически, если взаимосвязь между переменными x и y организована с использованием третьей переменной t в системе соотношений
{
x = φ(t)
y = ψ(t)
,
t
∈
Z
.
Замечание
Если бы уравнение x = φ(t) удалось решить относительно переменной t , ина- че говоря, удалось бы найти обратную к φ функцию и записать соотношение t =
φ
−1
(x) , то имелась бы явная зависимость y = f (x) , где f (x) = ψ(φ
−1
(x)) . Проблема состоит в том, что во многих случаях найти в явном виде t = φ
−1
(x) затруднительно либо невозможно.
Теорема о производной функции, заданной параметрически
Пусть для функции f (x) имеется параметрическое задание
{
x = φ(t)
y = ψ(t)
.
Тогда
df (x)
dx
x=x
0
=
dψ(t)
dt
dφ(t)
dt
t=φ
−1
(x
0
)
.
(56)
Без доказательства.
30

Замечание
В литературе встречаются "аналоги" формулы (56), которые выглядят так:
y
′
x
=
ψ
′
t
φ
′
t
,
y
′
x
=
y
′
t
x
′
t
,
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
.
(57)
Формулы в стиле (57) легко запоминаются (особенно, третья из них), но по их внеш- нему виду не вполне понятно, как ими пользоваться на практике.
Пример
Функция y = f (x) задана параметрически:
{
x = t
7
+ t
y = sin(πt)
.
(58)
Найти
df (x)
dx
x=2
, а также
df (x)
dx
x=3
Решение
Ясно, что φ(t) = t
7
+ t , ψ(t) = sin(πt) .
Подставляем x = 2 в (58). Получаем:
t
7
+ t
− 2 = 0 .
(59)
Уравнение (59) совпадает с (49), различие кроется только в имени, но не в значении искомой переменной. Решением уравнения является t = 1. Итак,
df (x)
dx
x=2
=
dψ(t)
dt
dφ(t)
dt
t=1
=
π cos(πt)
(7t
6
+ 1)
t=1
=
−
π
8
≈ −0.392699 .
Подставляем x = 3 в (58). Получаем:
t
7
+ t
− 3 = 0 .
(60)
Уравнение (60) совпадает с (50), различие состоит только в имени, но не в значении
31

искомой переменной. Решением уравнения является t = 1.09633 . Итак,
df (x)
dx
x=3
=
dψ(t)
dt
dφ(t)
dt
t=1.09633
=
π
· cos(π · 1.09633)
(7
· 1.09633 6
+ 1)
=
−0.227964 .
Определение
Функция двух переменных – это правило, по которому каждой паре эле- ментов из двух множеств (например, множеств
X
,
Y
) ставится в соот- ветствие один элемент третьего множества (например, множества
Z
).
Обозначение: f :
X
× Y
→
Z
Пример
Функция f (x, y) = log
y
x каждой паре чисел из множеств
X = (0, +
∞) ,
Y = (1, +
∞) ,
ставит в соответствие число из множества
Z = (
−∞, +∞) .
Пример
Функция f (x, y) = y
x
каждой паре чисел из множеств
X = (
−∞, +∞) ,
Y = (1, +
∞) ,
ставит в соответствие число из множества
Z = (0, +
∞) .
Замечание
В последних двух примерах можно (хотя и редко бывает нужно) использовать множество
Y = (0, 1)
Определение частной производной функции двух переменных
Функция f :
X
× Y
→
Z
имеет в двумерной точке с координатами (x , y)
конечную частную производную по переменной x , если существует и ко- нечен предел lim
∆x
→0
f (x + ∆x, y)
− f(x, y)
∆x
.
В данном пределе ∆x – переменная, x , y – постоянные значения.
32

Обозначение:
f
′
x
(x, y) =
∂f (x, y)
∂x
= lim
∆x
→0
f (x + ∆x, y)
− f(x, y)
∆x
.
Функция f :
X
× Y
→
Z
имеет в двумерной точке с координатами (x , y)
конечную частную производную по переменной y , если существует и ко- нечен предел lim
∆y
→0
f (x, y + ∆y)
− f(x, y)
∆y
.
В данном пределе ∆y – переменная, x , y – постоянные значения.
Обозначение:
f
′
y
(x, y) =
∂f (x, y)
∂y
= lim
∆y
→0
f (x, y + ∆y)
− f(x, y)
∆y
.
Замечание
Следует обратить внимание на знак
∂
частной производной. В отличие от зна- ка обычной производной
d ,
который принято называть "дэ прямое"
, знак частной производной
∂
принято называть "дэ круглое"
Замечание
На практике частную производную по переменной x следует брать теми же способами, что обычную производную, но только все прочие переменные, кроме x ,
следует условно считать константами. Например, при взятии частной производной
∂
(
2y
2
x
2
+
√
y
+ x
4
sin y
)
∂x
=
2y
2
· 2x +
0
+ 4x
3
·
sin y
= 4xy
2
+ 4x
3
· sin y
все величины, показанные синим цветом
, рассматриваются, как константы.
Частную производную по переменной y следует брать теми же способами, что обычную производную, но только все прочие переменные, кроме y , следует условно считать константами. Например, при взятии частной производной
∂
(
2
y
2
x
2
+
√
y +
x
4
sin y
)
∂y
=
2
· 2y ·
x
2
+
1 2
√
y
+
x
4
· cos y = 4x
2
y +
1 2
√
y
+ x
4
· cos y
все величины, показанные синим цветом
, рассматриваются, как константы.
33

Определение
Пусть f :
X
→
Y
, F :
X
×
Y
→
Z
Функция y = f (x) называется функцией, заданной неявно, если взаимо- связь между переменными x и y организована с использованием уравне- ния F (x, y) = 0 , (x, y)
∈
X
×
Y
Замечание
Если бы уравнение F (x, y) = 0 удалось решить относительно переменной y ,
то имелась бы явная зависимость y = f (x) . Проблема состоит в том, что во многих случаях найти в явном виде y = f (x) затруднительно либо невозможно.
Теорема о производной функции, заданной неявно
Пусть для функции y = f (x) имеется неявное задание
F (x, y) = 0 .
Тогда
df (x)
dx
x=x
0
=
−
∂F (x, y)
∂x
∂F (x, y)
∂y
x=x
0
.
(61)
Без доказательства.
Пример
Функция y = f (x) задана неявно:
x
7
+ xy + y
7
− 3 = 0 .
(62)
Найти
df (x)
dx
x=1
, а также
df (x)
dx
x=2
Решение
Подставляем x = 1 в (62). Получаем:
y
7
+ y
− 2 = 0 .
(63)
34

Уравнение (63) совпадает с (49). Решением уравнения является y = 1. Итак,
df (x)
dx
x=1
=
−
∂F (x, y)
∂x
∂F (x, y)
∂y
x=1
y=1
=
−
∂(x
7
+ xy + y
7
− 3)
∂x
∂(x
7
+ xy + y
7
− 3)
∂y
x=1
y=1
=
=
−
7x
6
+ y
x + 7y
6
x=1
y=1
=
−1 .
(64)
Подставляем x = 2 в (62). Получаем:
y
7
+ 2y + 125 = 0 .
(65)
Пусть g(y) = y
7
+ 2y + 125 – левая часть уравнения (65). Нетрудно убедиться, что функция g(y) – возрастающая, значит, если уравнение (65) имеет корень, то только один. Поскольку g(
−2) = −7 < 0 , g(−1) = 122 > 0 , в соответствии со Следствием о существовании корня функции на промежутке (из Теоремы Кош´
и о промежуточ- ных значениях функции) корень уравнения находится внутри промежутка [
−2, −1] .
Численно найти его поможет сайт wolframalpha.com
Результат обращения к сайту:
Рис. 6
Итак,
df (x)
dx
x=2
=
−
7x
6
+ y
x + 7y
6
x=2
y=
−1.98407
=
−1.03963 .
(66)
Определение
Пусть f :
R → R . Функция f(x) достигает локального минимума в точке
x
0
∈ R , если ∃ δ > 0 , такое, что ∀x ∈ (x
0
−δ, x
0
+δ) , x
̸= x
0
, справедливо
35

неравенство
f (x) > f (x
0
)
(или, что равносильно,
f (x)
− f(x
0
) > 0
).
Обозначение: f (x
0
) = min f (x) , или f (x
0
) =
min
x
∈(x
0
−δ, x
0
+δ)
f (x) .
Определение
Пусть f :
R → R . Функция f(x) достигает локального максимума в точке
x
0
∈ R , если ∃ δ > 0 , такое, что ∀x ∈ (x
0
−δ, x
0
+δ) , x
̸= x
0
, справедливо неравенство
f (x) < f (x
0
)
(или, что равносильно,
f (x)
− f(x
0
) < 0
)
Обозначение: f (x
0
) = max f (x) , или f (x
0
) =
max
x
∈(x
0
−δ, x
0
+δ)
f (x) .
Определение
Пусть f :
R → R . Функция f(x) имеет в точке x
0
∈ R локальный экс- тремум, если она достигает в этой точке локального минимума либо ло- кального максимума.
Пример
Доказать, что функция f (x) = x
3
не имеет локальных минимумов.
Доказательство
Зададим произвольную точку x
0
∈ R и любое сколь угодно малое δ > 0 .
Возьмём любое x из δ–окрестности точки x
0
, но такое, что x < x
0
. Возведение строгого неравенства в куб есть равносильное преобразование, следовательно,
x < x
0
=
⇒ x
3
< x
3 0
=
⇒
f (x) < f (x
0
)
.
Последнее (
синее
) неравенство противоречит (
зелёному
) неравенству
f (x) > f (x
0
)
в определении минимума.
Аналогично можно доказать, что f (x) = x
3
не имеет локальных максимумов.
Определение
Пусть f :
R → R .
Вторая производная функции f (x) есть производная её производной.
36

Обозначение: