МатАнализВесна2022-2. Теорема о замене переменной под знаком предела для функций Пусть существуют и конечны пределы lim

• Название: Теорема о замене переменной под знаком предела для функций Пусть существуют и конечны пределы lim
• Дата: 20.05.2022
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: МатАнализВесна2022-2.pdf
• Тип: Документы; #540547
• страница: 5 из 5

y = sin x :
Рис. 7
Графики показывают, что сумма главных членов формулы Маклорена тем точ- нее представляет функцию sin x , чем больше слагаемых сохранено в этой сумме.
Определение
Полным исследованием функции и построением графика принято назы- вать следующий порядок действий.
1. Нахождение области определения функции.
2. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.
3. Исследование поведения функции на границе области определения, на- хождение вертикальных асимптот, нахождение невертикальных асимптот.
4. Исследование функции на четность или нечетность, на периодичность.
5. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экс- тремума.
52

6. Нахождение промежутков выпуклости вверх, выпуклости вниз, точек перегиба.
7. Построение графика.
Определение ε–окрестности двумерной точки
Множество всех двумерных точек (x, y) таких, что
√
(x
− x
0
)
2
+ (y
− y
0
)
2
< ε ,
(75)
составляет двумерную ε–окрестность двумерной точки (x
0
, y
0
) .
Для такой окрестности применяется обозначение
U
ε
(x
0
, y
0
)
.
Определение ε–окрестности трёхмерной точки
Множество всех трёхмерных точек (x, y, z) таких, что
√
(x
− x
0
)
2
+ (y
− y
0
)
2
+ (z
− z
0
)
2
< ε ,
(76)
составляет трёхмерную ε–окрестность трёхмерной точки (x
0
, y
0
, z
0
) .
Для такой окрестности применяется обозначение
U
ε
(x
0
, y
0
, z
0
)
.
Замечание
Аналогично можно дать определение ε–окрестности n-мерной точки для n
≥ 4 .
Замечания о геометрическм смысле окрестности многомерной точки
Множество всех точек в декартовой двумерной системе координат Oxy , подчи- няющихся требованию (75), представляет собой открытый круг радиуса ε с центром в точке (x
0
, y
0
) .
Слова "открытый круг" означают, что множеству принадлежат все точки круга,
кроме точек ограничивающей его окружности
√
(x
− x
0
)
2
+ (y
− y
0
)
2
= ε .
Множество всех точек в декартовой трёхмерной системе координат Oxyz , под- чиняющихся требованию (76), представляет собой открытый шар радиуса ε с центром
53

в точке (x
0
, y
0
, z
0
) .
Слова "открытый шар" означают, что множеству принадлежат все точки шара,
кроме точек ограничивающей его сферы
√
(x
− x
0
)
2
+ (y
− y
0
)
2
+ (z
− z
0
)
2
= ε .
У окрестности точки, чья размерность выше трёх, геометрического смысла нет.
Определение локального экстремума функции двух переменных
Функция двух переменных f :
R
× R
→
R
достигает в двумерной точке
(x
0
, y
0
)
своего локального минимума, если существует ε > 0 такое, что
f (x
0
, y
0
) < f (x , y) ,
∀ (x, y) ∈ U
ε
(x
0
, y
0
) , причём, (x, y)
̸= (x
0
, y
0
) .
Функция двух переменных f :
R
× R
→
R
достигает в двумерной точке
(x
0
, y
0
)
своего локального максимума, если существует ε > 0 такое, что
f (x
0
, y
0
) > f (x , y) ,
∀ (x, y) ∈ U
ε
(x
0
, y
0
) , причём, (x, y)
̸= (x
0
, y
0
) .
Функция двух переменных имеет в двумерной точке локальный экстремум,
если она дастигает в этой точке своего локального минимума или локаль- ного максимума.
Определение локального экстремума функции трёх переменных
Функция трёх переменных f :
R
× R × R
→
R
достигает в трёхмерной точке (x
0
, y
0
, z
0
)
своего локального минимума, если существует ε > 0
такое, что f (x
0
, y
0
, z
0
) < f (x, y, z) ,
∀ (x, y, z) ∈ U
ε
(x
0
, y
0
, z
0
) , причём,
(x, y, z)
̸= (x
0
, y
0
, z
0
) .
Функция трёх переменных f :
R
× R × R
→
R
достигает в трёхмерной точке (x
0
, y
0
, z
0
)
своего локального максимума, если существует ε > 0
такое, что f (x
0
, y
0
, z
0
) > f (x, y, z) ,
∀ (x, y, z) ∈ U
ε
(x
0
, y
0
, z
0
) , причём,
(x, y, z)
̸= (x
0
, y
0
, z
0
) .
Функция трёх переменных имеет в трёхмерной точке локальный экстре- мум, если она дастигает в этой точке своего локального минимума или локального максимума.
54

Замечание
Аналогично можно дать определение экстремума функции в n-мерной точке для
n
≥ 4 .
Определение дифференциала функции многих переменных
Дифференциал функции двух переменных f (x, y) есть величина
df (x, y) =
∂f (x, y)
∂x
· dx +
∂f (x, y)
∂y
· dy .
(77)
Дифференциал функции трёх переменных f (x, y, z) есть величина
df (x, y, z) =
∂f (x, y, z)
∂x
· dx +
∂f (x, y, z)
∂y
· dy +
∂f (x, y, z)
∂z
· dz .
(78)
Замечания
Аналогично можно дать определение дифференциала функции в n-мерной точке для n
≥ 4 .
Строго говоря, дифференциал функции n переменных есть функция 2
· n пе- ременных, так как независимые величины dx, dy, . . . равноправны с независимыми величинами x, y, . . . .
Более того, при работе с дифференциалами величины x, y, . . . чаще всего счи- таются зафиксированными, тогда как величины dx, dy, . . . – свободными перемен- ными. Почему так сложилось, что не принято писать df (dx, dy, . . . ) или, хотя бы,
df (x, y, . . . , dx, dy, . . . ) – историческая загадка.
Определение частной производной второго порядка функции двух переменных
Вторая частная производная функции двух переменных есть производная первой производной:
∂
2
f (x, y)
∂x
2
def
=
∂
∂x
(
∂f (x, y)
∂x
)
,
(78)
55

∂
2
f (x, y)
∂y
2
def
=
∂
∂y
(
∂f (x, y)
∂y
)
,
(79)
∂
2
f (x, y)
∂x ∂y
def
=
∂
∂x
(
∂f (x, y)
∂y
)
,
(80)
∂
2
f (x, y)
∂y ∂x
def
=
∂
∂y
(
∂f (x, y)
∂x
)
.
(81)
Замечания
Аналогично можно дать определение любой другой частной производной высо- кого порядка функции двух переменных. Например,
∂
3
f (x, y)
∂y
3
def
=
∂
∂y
(
∂
2
f (x, y)
∂y
2
)
,
(82)
∂
3
f (x, y)
∂x ∂y
2
def
=
∂
∂x
(
∂
2
f (x, y)
∂y
2
)
.
(83)
В определениях (80), (81), (83) участвуют так называемые смешанные частные производные, в них дифференцирование ведётся по разным переменным, а не по одной,
как в (78), (79), (82).
Аналогично можно дать определение любой другой частной производной высо- кого порядка функции любого количества переменных. Например,
∂
3
f (x, y, z)
∂x ∂y ∂z
def
=
∂
∂x
(
∂
∂y
(
∂f (x, y, z)
∂z
))
.
(84)
Очевидно, что любая частная производная функции n переменных сама также является функцией n переменных.
В большинстве практически важных случаев используется принцип "смешанная производная не зависит от порядка дифференцирования", например,
∂
2
f (x, y)
∂x ∂y
=
∂
2
f (x, y)
∂y ∂x
.
(85)
56

Для справедливости равенства (85) необходимо и достаточно, чтобы производ- ные в левой и правой частях этого равенства были непрерывны. Мы, однако, воздер- жимся от формулировки определения непрерывности и определения дифференцируе- мости функции многих переменных.
Определение дифференциала функции многих переменных
Дифференциал m–го порядка функции многих переменных f (x, y, . . . )
есть дифференциал дифференциала (m
− 1)–го порядка, то есть,
d
(m)
f (x, y, . . . )
def
= d
(
d
(m
−1)
f (x, y, . . . )
)
.
(86)
В частности,
d
2
f (x, y) =
∂
2
f (x, y)
∂x
2
dx
2
+ 2
∂
2
f (x, y)
∂x ∂y
dx dy +
∂
2
f (x, y)
∂y
2
dy
2
,
(87)
d
3
f (x, y) =
∂
3
f (x, y)
∂x
3
dx
3
+ 3
∂
3
f (x, y)
∂x
2
∂y
dx
2
dy + 3
∂
3
f (x, y)
∂x ∂y
2
dx dy
2
+
∂
3
f (x, y)
∂y
3
dy
3
,
(88)
d
2
f (x, y, z) =
∂
2
f (x, y, z)
∂x
2
dx
2
+
∂
2
f (x, y, z)
∂y
2
dy
2
+
∂
2
f (x, y, z)
∂z
2
dz
2
+
+ 2
∂
2
f (x, y, z)
∂x ∂y
dx dy + 2
∂
2
f (x, y, z)
∂x ∂z
dx dz + 2
∂
2
f (x, y, z)
∂y ∂z
dy dz .
(89)
Замечание
Формулы (87), (88) подтверждают, что дифференциал m–го порядка функции двух переменных внешне очень похож на m–ю степень суммы двух чисел, и потому легко запоминается. Формула (89) подтверждает, что дифференциал m–го порядка функции трёх переменных внешне очень похож на m–ю степень суммы трёх чисел.
За сам факт "похожести" опять же нам следует поблагодарить Готфрида Лейбница с его системой обозначений.
57

Замечание
Дифференциал m–го порядка иногда называют полным дифференциалом. Ве- личины, линейная комбинация которых есть полный дифференциал, называются част- ными дифференциалами. Примеры частных дифференциалов:
∂
2
x
2
f (x, y) =
∂
2
f (x, y)
∂x
2
dx
2
,
∂
2
xy
f (x, y) =
∂
2
f (x, y)
∂x ∂y
dx dy .
Уточнение "полный" нужно для дифференциала только в том случае, когда возможна путаница между "просто" дифференциалом и частным дифференциалом.
Теорема о необходимом условии экстремума функции многих переменных
Если функция двух переменных f (x, y) дифференцируема в точке (x
0
, y
0
)
и имеет локальный экстремум в ней, то
∂f (x, y)
∂x
x=x
0
y=y
0
=
∂f (x, y)
∂y
x=x
0
y=y
0
= 0 .
Если функция трёх переменных f (x, y, z) дифференцируема в точке
(x
0
, y
0
, z
0
) и имеет локальный экстремум в ней, то
∂f (x, y, z)
∂x
x=x
0
y=y
0
z=z
0
=
∂f (x, y, z)
∂y
x=x
0
y=y
0
z=z
0
=
∂f (x, y, z)
∂y
x=x
0
y=y
0
z=z
0
= 0 .
Без доказательства.
Замечание
Отметим, что теорема дана не только без доказательства, но и без определения дифференцируемости функции.
Читатель на интуитивном уровне может предположить, что дифференцируе- мость означает существование всех первых частных производных. Увы, всё несколько сложнее. Но есть и утешение. Подавляющее большинство функций, участвующих в решении важных практических задач, дифференцируемы сколь угодно много раз.
58

Теорема о достаточном условии экстремума функции многих переменных
Если функция многих переменных f (x, y, . . . )
дважды дифференцируе- ма в точке (x
0
, y
0
, . . . ) , и выполняется условие Теоремы о необходимом условии экстремума функции многих переменных в этой точке, то:
если дифференциал второго порядка d
2
f (x, y, . . . ) в точке (x
0
, y
0
, . . . )
есть положительно определённая квадратичная форма относительно пере- менных dx, dy, . . . , то функция f (x, y, . . . ) достигает локального мини- мума в точке (x
0
, y
0
, . . . ) .
если дифференциал второго порядка d
2
f (x, y, . . . ) в точке (x
0
, y
0
, . . . )
есть отрицательно определённая квадратичная форма относительно пере- менных dx, dy, . . . , то функция f (x, y, . . . ) достигает локального макси- мума в точке (x
0
, y
0
, . . . ) .
если дифференциал второго порядка d
2
f (x, y, . . . ) в точке (x
0
, y
0
, . . . )
есть знакопеременная квадратичная форма относительно переменных
dx, dy, . . . , то функция f (x, y, . . . ) не имеет локального экстремума в точке (x
0
, y
0
, . . . ) .
Замечание
В первом семестре стало известно, что:
– квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все соб- ственные числа матрицы квадратичной формы положительны;
– квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все соб- ственные числа матрицы квадратичной формы отрицательны;
– квадратичная форма знакопеременна тогда и только тогда, когда среди собственных чисел матрицы квадратичной формы есть как положительные, так и отрицательные.
Замечание
Если собственные числа матрицы квадратичной формы не отрицательны (то есть,
59

каждое собственное число либо положительно, либо равно нулю), то квадратичная форма называется положительно полуопределённой.
Если собственные числа матрицы квадратичной формы не положительны (то есть, каждое собственное число либо отрицательно, либо равно нулю), то квадратич- ная форма называется отрицательно полуопределённой.
Если дифференциал второго порядка d
2
f (x, y, . . . ) в точке (x
0
, y
0
, . . . ) есть по- ложительно полуопределёння или отрицательно полуопределёння квадратичная фор- ма относительно переменных dx, dy, . . . , то об экстремуме функции f (x, y, . . . ) в точке (x
0
, y
0
, . . . ) предыдущая теорема не в силах сказать что-либо определённое.
Пример
Найти точки экстремума функции двух переменных f (x, y) = x
3
+ y
3
− 3xy .
Решение
Разбираемся с необходимым условием экстремума – разыскиваем решения си- стемы уравнений
{
∂f (x,y)
∂x
= 0
∂f (x,y)
∂y
= 0
.
(90)
Сайт
WolframAlpha.com
(Рис. 8) предъявляет четыре решения системы (90), то есть, четыре двумерные точки, подозрительные на экстремум:
Рис. 8 60

К сожалению, российская средняя школа и сайт
WolframAlpha.com воспринима- ют число
3
√
−1 по-разному. Читателю предлагается самостоятельно убедиться в том,
что третья и четвёртая двумерные точки, подозрительные на экстремум, являются комплекснозначными, а значит, в поиске экстремума участвовать не могут.
Точек, подозрительных на экстремум, остаётся две: (0, 0) и (1, 1) .
Для нахождения матрицы квадратичной формы
(
∂
2
f (x,y)
∂x
2
∂
2
f (x,y)
∂x ∂y
∂
2
f (x,y)
∂x ∂y
∂
2
f (x,y)
∂y
2
)
вновь обратимся к сайту
WolframAlpha.com
:
Рис. 9
Команда поиска четырёх производных – длинная, и в командной строке (Рис. 9)
она полностью не видна.
1. Испытываем на экстремум точку (0, 0) . Матрица квадратичной формы в ней при- нимает вид
(
0
−3
−3 0
)
.
Обращаемся к сайту
WolframAlpha.com с вопросом о собственных числах мат- рицы:
61

Рис. 10
Два собственных числа противоположны по знаку (Рис. 10), следовательно, диф- ференциал второго порядка есть знакопеременная квадратичная форма относительно переменных dx, dy , а значит, экстремума в точке (0, 0) нет.
2. Испытываем на экстремум точку (1, 1) . Матрица квадратичной формы в ней при- нимает вид
(
6
−3
−3 6
)
.
Обращаемся к сайту
WolframAlpha.com с вопросом о собственных числах мат- рицы:
Рис. 11 62

Оба собственных числа положительны (Рис. 11), следовательно, дифференциал второго порядка есть положительно определённая квадратичная форма относитель- но переменных dx, dy , а значит, в точке (1, 1) функция f (x, y) достигает своего локального минимума. Нетрудно вычислить
f
min
= f (1, 1) =
−1 .
График функции z = f (x, y) предъявлен на Рис. 12. Качество – на любителя.
Рис. 12 63