МатАнализВесна2022-2. Теорема о замене переменной под знаком предела для функций Пусть существуют и конечны пределы lim
 Скачать 0.52 Mb.
|
|
b) − g(a) Таким образом, функция φ(x) подчиняется условиям теоремы Ролля. Согласно этой теореме, существует такое c ∈ (a, b) , что φ ′ (c) = 0 . Но тогда φ ′ (c) = f ′ (c) − g ′ (c) · f (b) − f(a) g(b) − g(a) = 0 , следовательно, f ′ (c) = g ′ (c) · f (b) − f(a) g(b) − g(a) , f ′ (c) g ′ (c) = f (b) − f(a) g(b) − g(a) . Доказательство закончено. Теорема о первом правиле Лопиталя Пусть f : R → R , g : R → R . Пусть функции f(x) , g(x) : 1) непрерывны на полуоткрытом промежутке [a, c) , 2) дифференцируемы на открытом промежутке (a, c) , 3) f (a) = g(a) = 0 , 4) g ′ (x) ̸= 0 на открытом промежутке (a, c) , 5) существует и конечен предел lim x →a+0 f ′ (x) g ′ (x) = A . 44 Тогда существует, конечен и принимает такое же значение предел lim x →a+0 f (x) g(x) = A . Замечание к формулировке теоремы Предел отношения двух функций, дающий неопределённость [ 0 0 ] , равен пределу отношения производных этих функций. Краткая запись утверждения теоремы: lim x →a+0 f (x) g(x) = [ 0 0 ] = lim x →a+0 f ′ (x) g ′ (x) . Доказательство Зададим произвольное ε > 0. Поскольку lim x →a+0 f ′ (x) g ′ (x) = A , то существует δ 1 = δ 1 (ε) > 0 , такое, что из неравенства 0 < x − a < δ 1 (ε) вытекает справедливость неравенства f ′ (x) g ′ (x) − A < ε. Если теперь взять функцию δ(ε) в виде δ(ε) = min (δ 1 (ε), c − a), то и подавно верно следование |x − a| < δ(ε) = ⇒ f ′ (x) g ′ (x) − A < ε . (68) Функции f (x) и g(x) на промежутке [a, b] , где b = a + 1 2 · δ(ε) , удовлетворяют условию теоремы Коши. Согласно этой теореме, f (b) − =0 z}|{ f (a) g(b) − g(a) |{z} =0 = f (b) g(b) = f ′ (c(b)) g ′ (c(b)) , (69) 45 причём, согласно этой же теореме, a < c(b) < b , следовательно, a < c(b) < a + δ(ε) 2 = ⇒ |c(b) − a| < δ(ε) 2 = ⇒ f ′ (c(b)) g ′ (c(b)) − A < ε =⇒ (согласно (69)) = ⇒ f (b) g(b) − A < ε Доказательство закончено. Доказательство для левостороннего предела lim x →a−0 f (x) g(x) = [ 0 0 ] = lim x →a−0 f ′ (x) g ′ (x) строится аналогично. Доказательство для обычного предела lim x →a f (x) g(x) = [ 0 0 ] = lim x →a f ′ (x) g ′ (x) рассматривается как совокупность доказательств для двух односторонних пределов. Замечание Иногда для нахождения предела, дающего неопределённость вида [ 0 0 ] , прихо- дится продлять цепь замен функций на их производные: lim x →0 e x 2 − cos x x 2 = [ 0 0 ] = lim x →0 (e x 2 − cos x) ′ (x 2 ) ′ = lim x →0 e x 2 · 2x + sin x 2x = [ 0 0 ] = = lim x →0 (e x 2 · 2x + sin x) ′ (2x) ′ = lim x →0 e x 2 · 2x · 2x + e x 2 · 2 + cos x 2 = 0 + 2 + 1 2 = 3 2 . Справедливости ради следует отметить, что данный предел до взятия вторых произ- водных можно и не доводить. Действительно, lim x →0 e x 2 · 2x + sin x 2x = lim x →0 ( e x 2 + sin x 2x ) = lim x →0 e x 2 + 1 2 · lim x →0 sin x x = 1 + 1 2 = 3 2 . 46 Теорема о втором правиле Лопиталя Пусть f : R → R , g : R → R . Пусть функции f(x) , g(x) : 1) непрерывны на открытом промежутке (a, b) , 2) дифференцируемы на открытом промежутке (a, b) , 3) lim x →a+0 f (x) = ∞ , lim x →a+0 g(x) = ∞ , 4) g ′ (x) ̸= 0 на открытом промежутке (a, b) , 5) существует и конечен предел lim x →a+0 f ′ (x) g ′ (x) = A . Тогда существует, конечен и принимает такое же значение предел lim x →a+0 f (x) g(x) = A . Замечание / к формулировке теоремы Предел отношения двух функций, дающий неопределённость [ ∞ ∞ ] , равен пределу отношения производных этих функций. Краткая запись утверждения теоремы: lim x →a+0 f (x) g(x) = [∞ ∞ ] = lim x →a+0 f ′ (x) g ′ (x) . Без доказательства Определение Пусть f : R → R. Пусть n ∈ N. Говорят, что функция f (x) n раз дифференцируема в точке x 0 , если в этой точке существуют и конечны производные всех порядков начиная от первого и заканчивая n –м. Говорят, что функция f (x) n раз дифференцируема на промежутке, если она n раз дифференцируема в каждой точке промежутка. 47 Определение 1! def = 1, 2! def = 1 · 2 = 2, 3! def = 1 · 2 · 3 = 6, · · · n! def = 1 · 2 · 3 · . . . · n = (n − 1)! · n, 0! def = 1. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа Пусть f : R → R . Пусть f(x) (n + 1) раз дифференцируема на открытом промежутке (x 0 − δ, x 0 + δ) (где δ > 0). Тогда ∀x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ) \ { x 0 }, ∃ c ∈ (x 0 , x) (если x > x 0 ), либо ∃ c ∈ (x, x 0 ) (если x < x 0 ) такое, что f (x) = f (x 0 ) + f ′ (x 0 ) 1! (x − x 0 ) 1 + f ′′ (x 0 ) 2! (x − x 0 ) 2 + + . . . + f (n) (x 0 ) n! (x − x 0 ) n + R n (x) , (70) где R n (x) – т.н. остаточный член в форме Лагранжа, R n (x) = f (n+1) ( c ) (n + 1)! (x − x 0 ) n+1 . Замечания к формулировке теоремы Величина c зависит от x 0 и от x , поэтому иногда пишут c = c (x 0 , x). Поскольку 0! = 1, (x − x 0 ) 0 = 1, f (0) (x 0 ) = f (x 0 ), формулу Тейлора иногда 48 пишут в свёрнутом виде, f (x) = n ∑ k=0 f (k) (x 0 ) k! (x − x 0 ) k + f (n+1) ( c ) (n + 1)! (x − x 0 ) n+1 | {z } =R n (x) . (71) Равенство (71) равноценно соотношению R n (x) = f (x) − n ∑ k=1 f (k) (x 0 ) k! (x − x 0 ) k = f (n+1) ( c ) (n + 1)! (x − x 0 ) n+1 . (72) Доказательство Зафиксируем величины x 0 и x (временно будем считать их константами). Рассмотрим две вспомогательные функции новой переменной t . φ(t) = f (x) − f(t) − n ∑ k=1 f (k) (t) k! (x − t) k , g(t) = (x − t) n+1 . С помощью (72), (70) можно убедиться в том, что φ(x 0 ) = R n (x) , φ(x) = 0. Найдём производную первой из вспомогательных функций. Это некоротко. φ ′ (t) = −f ′ (t) − ( n ∑ k=1 f (k) (t) k! (x − t) k ) ′ t = = −f ′ (t) − n ∑ k=1 ( f (k+1) (t) k! (x − t) k + f (k) (t) k! · k · (x − t) k −1 · ( −1) ) = = −f ′ (t) + n ∑ k=1 ( − f (k+1) (t) k! (x − t) k + f (k) (t) (k − 1)! (x − t) k −1 ) = (в развёрнутом виде) = −f ′ (t) + + ( − f (2) (t) 1! (x − t) 1 + f (1) (t) 0! (x − t) 0 ) + + ( − f (3) (t) 2! (x − t) 2 + f (2) (t) 1! (x − t) 1 ) + 49 + ( − f (4) (t) 3! (x − t) 3 + f (3) (t) 2! (x − t) 2 ) + + · · · + + ( − f (n) (t) (n − 1)! (x − t) n −1 + f (n −1) (t) (n − 2)! (x − t) n −2 ) + + ( − f (n+1) (t) n! (x − t) n + f (n) (t) (n − 1)! (x − t) n −1 ) = = − f (n+1) (t) n! (x − t) n . Члены, выделенные одинаковыми цветами, взаимно уничтожаются. Найдём производную второй из вспомогательных функций. Это коротко. g ′ (t) = (n + 1) · (x − t) n · ( −1) = − (n + 1) · (x − t) n . Согласно теореме Коши, на промежутке с концами x 0 , x существует такое зна- чение c , что φ(x) − φ(x 0 ) g(x) − g(x 0 ) = φ ′ ( c ) g ′ ( c ) , 0 − R n (x) 0 − (x − x 0 ) n+1 = − f (n+1) ( c ) n! · (x − c ) n − (n + 1) · (x − c ) n , R n (x) (x − x 0 ) n+1 = f (n+1) ( c ) n! · (n + 1) , R n (x) = f (n+1) ( c ) (n + 1)! · (x − x 0 ) n+1 . Доказательство закончено. Замечание Существует вариант формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано: f (x) = n ∑ k=0 f (k) (x 0 ) k! (x − x 0 ) k + o ( (x − x 0 ) n ) . (73) 50 Замечание Частный случай формулы Тейлора при x 0 = 0 носит название формулы Макло- рена: f (x) = n ∑ k=0 f (k) (0) k! · x k + o ( x n ) . (74) Для практики важны формулы Маклорена для элементарных функций: e x = exp(x) = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + . . . + x n n! + o(x n ) , sin(x) = x − x 3 3! + x 5 5! − x 7 7! + . . . + ( −1) n −1 · x 2n −1 (2n − 1)! + o(x 2n ) , cos(x) = 1 − x 2 2! + x 4 4! − x 6 6! + . . . + ( −1) n · x 2n (2n)! + o(x 2n+1 ) , (1 + x) m = 1 + m · x + m(m − 1) 2! · x 2 + m(m − 1)(m − 2) 3! · x 3 + . . . + + m(m − 1)(m − 2) · . . . · (m − n + 1) n! · x n + o(x n ) , ln(1 + x) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + . . . + ( −1) n −1 · x n n + o(x n ) . Замечание Члены, предшествующие остаточному члену, логично называть главными. Каждый из главных членов можно вычислить точно, тогда как в остаточном члене присутсвует значение c , найти которое точно не представляется возможным. Самое интересное, что искать его и не нужно. На практике формулы Маклорена (и Тейлора) применяются с сохранением "нуж- ного" количества главных членов и с отбрасыванием остаточного члена. Что такое "нужное" количество, станет ясным после изучения темы "степенные ряды". 51 |