ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. Теория вычислительных процессов

• Название: Теория вычислительных процессов
• Анкор: ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ.doc
• Дата: 01.04.2018
• Размер: 2.17 Mb.
• Имя файла: ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ.doc
• Тип: Документы; #17485
• страница: 14 из 20

Параллельные процессы

Процесс определяется полным описанием его потенциального поведения. При этом часто имеется выбор между несколькими различными действиями. В каждом таком случае выбор того, какое из событий произойдет в действительности, может зависеть от окружения, в котором работает процесс. Само окружение процесса может быть описано как процесс, поведение которого определяется в уже знакомых терминах. Это позволяет исследовать поведение целой системы, состоящей из процесса и его окружения, взаимодействующих по мере их параллельного исполнения. Всю систему также следует рассматривать как процесс, поведение которого определяется в терминах поведения составляющих его процессов. Эта система в свою очередь может быть помещена в еще более широкое окружение, и т.д.
Взаимодействие
Объединяя два процесса для совместного исполнения, как правило, хотят, чтобы они взаимодействовали друг с другом. Эти взаимодействия можно рассматривать, как события, требующие одновременного участия обоих процессов.

Законы

Законы, управляющие поведением (P|| Q), параллельно развивающихся процессов P и Q, достаточно просты. Первый закон выражает логическую симметрию между процессом и его окружением:

L1.P|| Q =Q|| P.

Следующий закон показывает, что при совместной работе трех процессов неважно, в каком порядке они объединены оператором параллельной композиции ||:

L2.P|| (Q|| R) = (P|| Q) || R.

Процесс, находящийся в тупиковой ситуации, приводит к тупику всей системы.

L3.P|| СТОП_P =СТОП_P.

Следующий закон гласит, что пара процессов с одинаковыми алфавитами либо одновременно выполняет одно и то же действие, либо попадает в состояние тупика, если начальные события процессов не совпадают:

L4А. (с Р) || (с Q) = с (Р|| Q).

L4B. (с Р) || (d Q) = СТОП.
Параллелизм
Рассмотрим случай, когда операнды Р и Q оператора || имеют неодинаковые алфавиты Р Q.

Когда такие процессы объединяются для совместного исполнения, события, содержащиеся в обоих алфавитах, требуют одновременного участия Р и Q. События же из алфавита Р, не содержащиеся в алфавите Q, не имеют никакого отношения к Q, который физически неспособен ни контролировать, ни замечать такие события. Такие события процесса P могут происходить независимо от Q. Аналогично Q может самостоятельно участвовать в событиях, содержащихся в его алфавите, но отсутствующих в алфавите Р.

Таким образом, множество всех событий, логически возможных для данной системы, есть просто объединение алфавитов составляющих ее процессов (Р|| Q) = Р Q.

Законы

Формальное описание вышесказанного осуществляется с помощью следующих законов:

Пусть а (Р- Q), b (Q-Р) и {c, d} (Р Q). Следующие законы показывают, каким образом процесс Родин участвует в событии a, Q один участвует в b, а c и dтребуют одновременного участия P и Q.

L1А. (сР) || (сQ)=с(Р|| Q).

L1B. (сР) || (dQ)=СТОП.

L2А. (aР) || (сQ)=a(Р|| (сQ)).

L2B.(сР) || (bQ)=b((сР) || Q)..

L3.(aР) || (bQ)=.(a(Р|| (bQ)) | b((aР) || Q)).

Эти законы можно обобщить для общего случая оператора выбора:

L3.Пусть Р= (х: А Р(х)), Q= (y:B Q(y)). Тогда

Р|| Q= (z:C (Р' || Q')),

где С= (A B) (А- Q) (B- P), P' = P(z), если z A, иначеP' = Р, а Q' = Q(z), если z B, иначеQ' = Q.

С помощью этих законов можно переопределить процесс, удалив из его описания, параллельный оператор, как это показано в следующем примере.

Пример 3.17.

Пусть Р= {a, c}, Q= {b, c}, P= (a c P),Q= (c b Q). Тогда

Р|| Q= (a c P) || (c b Q) = a ((cP) || (cbQ)) по L2A

= a c (P || (bQ)), по L1A (1)

(P || (bQ)) = a ((cP) || (bQ)) |b (P || Q) по L3

= a b ((cP) || Q) |b (P || Q)по L2B

= a b c (P || (bQ)) |bac(P||(bQ)) по L1A и (1)

= X.(a b c X | b a c X).

Отсюда следует, что

Р|| Q= a c X.(a b c X | b a c X).по (1)

Реализация

Реализация операции || выводится непосредственно из закона L3. Алфавиты операндов представляются конечными списками символов A и B.

Протоколы

Пусть t — протокол (Р || Q). Тогда все события из t, принадлежащие алфавиту Р, являлись событиями в жизни P, а все события из t, не принадлежащие Р, происходили без участия P. Таким образом, (tР) — это протокол всех событий, в которых участвовал процесс P, и поэтому он является протоколом P. По тем же соображениям (tQ) является протоколом Q. Более того, каждое событие из t должно содержаться либо вР, либо в Q. Эти рассуждения позволяют сформулировать закон

L1. протоколы(Р|| Q) = {t | (t­Р) протоколы(Р)

AND (t­Q) протоколы(Q) AND t (Р Q)^*}.
Задача об обедающих философах
Рассмотрим ещё одну трактовку задачи предложенной Дейкстрой об обедающих философах. В некоем пансионе нашли пристанище пять философов. У каждого философа была своя комната, где он мог предаваться размышлениям. Была у них и общая столовая с круглым столом, вокруг которого стояли пять стульев, каждый помеченный именем того философа, которому он предназначался. В центре стола стояла большая миска спагетти, содержимое которой постоянно пополнялось. На столе также лежало пять вилок, по одной между соседними посадочными местами.

Звали философов ФИЛ₀, ФИЛ₁, ФИЛ₂, ФИЛ₃, ФИЛ₄ и за столом они располагались в этом же порядке, против часовой стрелки. Почувствовав голод, философ шёл в столовую, садился на свой стул, брал сначала слева от себя вилку, затем справа и приступал к еде. Закончив трапезу, он клал на место обе вилки, выходил из-за стола, и возвращался к своим размышлениям. Разумеется, одной вилкой философы могли пользоваться только по очереди. Если вилка требовалась другому философу, ему приходилось ждать, пока она освободится.

Алфавиты

Теперь построим математическую модель этой системы. Сначала надо выбрать множества событий. Для ФИЛ_i определим это множество как

ФИЛ_i = {i.садится,i.встаёт,i.берет вил.i,i.берет вил.(i +₅ 1),

i.кладёт вил.i,i.кладёт вил.(i +₅ 1)},

где +₅ - сложение по модулю 5.

Заметим, что алфавиты философов друг с другом не пересекаются, а возможность взаимодействия между ними исключена.

Другие «действующие лица» —это пять вилок, каждая из которых имеет тот же номер, что и философ, которому она принадлежит. Вилку берет и кладет на место или сам этот философ, или его сосед слева. Алфавит i-й вилки определим как

ВИЛКА_i = {i.берет вил.i,(i -₅ 1).берет вил.i,i.кладёт вил.i,(i -₅ 1).кладёт вил.i},

где -₅ - обозначает вычитание по модулю 5.

Таким образом, каждое событие, кроме садится и встает,требует участия ровно двух соседних действующих лиц — философа и вилки.

Поведение

Помимо не учитываемых нами процессов размышления и еды, жизнь каждого философа представляет собой повторение цикла из шести событий:

ФИЛ_i = (i.садится i.берет вил.i i.берет вил.(i +₅ 1)

i.кладет вил.i i.кладет вил.(i +₅ 1) → i.встаёт ФИЛ_i).

Вилку циклически берёт и кладёт на место кто-нибудь из соседних с ней философов:

ВИЛКА_i = (i.берет вил.i, i.кладёт вил.i ВИЛКА_i | (i -₅ 1).берет вил.i

(i -₅ 1).кладёт вил.i ВИЛКА_i).

Поведение всего пансиона можно описать как параллельную комбинацию поведения компонент:

ФИЛОСОФЫ= (ФИЛ₀ || ФИЛ₁ || ФИЛ₂ || ФИЛ₃ || ФИЛ₄ )

ВИЛКИ= (ВИЛКА₀ || ВИЛКА₁ || ВИЛКА₂ || ВИЛКА₃ || ВИЛКА₄ )

ПАНСИОН= (ФИЛОСОФЫ || ВИЛКИ).

В одном из интересных вариантов этой историй философы могут брать и класть обе вилки в любом порядке. Рассмотрим поведение каждой руки философа в отдельности.

ЛЕВАЯ_i = {i.садится,i.встаёт,i.берет вил.i,i.кладёт вил.i}.

ФИЛ_i = {i.садится,i.встаёт,i.берет вил.(i +₅ 1), i.кладёт вил.(i +₅ 1)}.

ЛЕВАЯ_i = (i.садится i.берет вил.i i.кладет вил.i i.встаёт ЛЕВАЯ_i).

ПРАВАЯ_i = (i.садится i.берет вил.(i +₅ 1) i.кладет вил.(i +₅ 1)

i.встаёт ПРАВАЯ_i).

ФИЛ_i = (ЛЕВАЯ_i || ПРАВАЯ_i ).

Синхронизацией процессов ЛЕВАЯ_i и ПРАВАЯ_i в момент, когда i-тый философ садится или встаёт, достигается то, что он не может поднять вилку, если не сидит за столом, и не может встать из-за стола, пока не положит вилку. Помимо этого, операции с обеими вилками произвольно чередуются.

Тупик!

Построенная математическая модель позволяет обнаружить опасность возникновения тупиковой ситуации, когда каждый из философов, сев за стол, возьмёт вилку в левую руку и потянется за второй – которой уже нет на месте. Несмотря на то, что каждый из участников способен к дальнейшим действиям, ни одна пара участников не в состоянии договориться о том, какое действие совершить следующим.

Одним из решений этой проблемы явилось введение в систему слуги. Слуге даётся указание следить за тем, чтобы за столом никогда не оказывалось больше четырех философов одновременно. Алфавит его определяется как C B, где

C= {0.садится, … , 4.садится }, B= {0.встаёт, … , 4.встаёт}.

Поведение слуги проще всего описать с помощью взаимной рекурсии. Пусть СЛУГА_j определяет поведение слуги, когда за столом сидят jфилософов:

СЛУГА₀ =(x: C СЛУГА₁),

СЛУГА_j =(x: C СЛУГА_j+1) | y: B СЛУГА_j-1), для j{1,2.3}.

СЛУГА₄ =(y: B СЛУГА₃).

Пансион, свободный от тупика, определяется как

НОВПАНСИОН= ((ПАНСИОН || СЛУГА₀).

Доказательство беступиковости

Докажем утверждение, что НОВПАНСИОН свободен от тупиков. Для этого достаточно доказать, что любой протокол s этой системы можно продолжить некоторым событием так, что бы снова получить протокол этой же системы. Строго, это можно сформулировать как

s, z (sпротоколы(НОВПАНСИОН) AND zНОВПАНСИОН

s^z протоколы(НОВПАНСИОН)).

Доказательство можно осуществлять двумя способами:

Первый из них предполагает применение (насколько это возможно) приведённых выше законов.

Второй способ доказательства состоит в составлении компьютерной программы для исследования протоколов системы в поисках тупика. Такая программ сможет дать интересующий нас ответ за конечное время, если система имеет конечное число состояний, как в нашем случаеНОВПАНСИОН. Достаточно рассмотреть только те протоколы, длина которых не превышает известной верхней границы числа состояний. (Каждому протоколу соответствует некоторое состояние системы, в которое систему приводит из начального состояния последовательность событий, описываемая этим протоколом.)

Число состояний в системе НОВПАНСИОН не превышает 1,8 млн. Но, т. к. в каждом состоянии возможны не меньше двух событий, то количество протоколов, которые надо проверить, будет превышать два в степени 1,8 млн. Трудно представить, что компьютер, когда-нибудь сумеет исследовать все возможные случаи. Таким образом, доказательство отсутствия тупиковых ситуаций, как правило, входит в обязанности разработчика параллельных систем.

Бесконечный перехват

Помимо тупика обедающего философа подстерегает опасность бесконечного перехвата инициативы. Предположим, что левая рука у сидящего философа очень медлительна, в то время как его левый сосед очень проворен.

Всякий раз, когда философ пытается дотянуться до своей левой вилки, его левый сосед мгновенно перехватывает ее. Таким образом, может оказаться, что сидящий философ никогда не приступит к еде.

При строгом подходе эта проблема неразрешима. Однако, если важно гарантировать, чтобы сидящий философ смог поесть, нужно изменить поведение слуги: проводив философа до его места, он ждет, пока философ не возьмет обе вилки, и только после этого позволяет есть его соседям.

Таким образом, добиваться, чтобы любое желаемое и возможное событие обязательно наступило в пределах разумного интервала времени, становится задачей проектировщика системы.