ит
)-(у – 1);
5. Решить полученную систему уравнений любым методом и найти неизвестные токи. Примечания
1) Уравнения по второму закону Кирхгофа должны быть составлены для независимых контуров. Контуры взаимо-независимы, если каждый новый контур, для которого составляется уравнение, имеет не меньше одной новой ветви. Независимыми контурами являются контуры-ячейки.
17 2) Для контуров содержащих ветвь с источником тока уравнения по второму закону Кирхгофа составлять нельзя, поэтому перед составлением уравнений по второму закону Кирхгофа ветвь с источником тока из схемы нужно мысленно удалить. Рисунок 1.14 – Схема электрической цепи Запишем систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы электрической цепи, изображенной на рисунке 1.14. Схема содержит пять узлов (а, b, c, d, m), следовательно, на основании первого закона Кирхгофа записываем четыре уравнения. В схеме девять ветвей, но две из них содержат источники тока J
k1 и , поэтому неизвестных токов вцепи семьи на основании второго закона Кирхгофа составляем три уравнения
0 0
0 0
0 6
6 5
5 3
3 1
4 4
5 5
1 1
1 6
6 2
2 1
1 1
1 1
3 5
4 3
1 6
5 1
3 6
3 2
I
R
I
R
I
R
E
I
R
I
R
I
R
E
I
R
I
R
I
R
J
I
I
J
I
I
I
J
I
I
I
J
I
I
I
k
E
k
k
k
J
J
I
R
R
R
1 1
5 2
k1
k3
R
R
E
R
a
m
c
d
3 4
1 6
b
I
I
I
I
I
I
1 6
5 4
2 3
E
18
1.1.9 Баланс мощности в электрических цепях Баланс мощности вытекает из закона сохранения энергии. При протекании токов по сопротивлениям в них выделяется тепло. Количество тепла, выделяющиеся в единицу времени в сопротивлении, должно быть равно энергии, доставляемой за это же время от источника питания. Баланс мощности составляется для проверки правильности найденных токов.
B
k
потр
B
k
ист
Р
P
1 ист 1
- мощность источников.
B
k
k
R
потр
R
I
P
k
1 2
- мощность потребителей. Мощность, генерируемая источниками электрической энергии равна суммарной мощности, потребляемой вцепи. Причем, мощность отдельного источника может быть положительной и отрицательной. Отрицательный знак мощности означает, что соответствующий источник работает в режиме потребления (накопления энергии. Знак произведения напряжения источника ЭДС и тока определяется направлением тока через этот источник. Плюс записывается, если направление тока в ветви совпадает с направлением ЭДС. Знак произведения тока источника тока и напряжения на его зажимах зависит от знака напряжения. Напряжение источника тока равно разности потенциалов точки, в которую ток источника входит, и точки из которой он выходит. Рассмотрим пример (рисунке 1.15):
19 Рисунок 1.15 – Схема электрической цепи 3
3 2
1 1
1 1
2 1
3 3
2 2
1 1
;
2 ист 2
6 3
2 3
2 2
2 1
2 1
R
I
R
I
R
I
R
I
P
потр
1.1.10 Потенциальная диаграмма Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциала вдоль какого либо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс откладывают последовательно сопротивления вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной точки, потенциал, которой принимают равным нулю, а по оси ординат откладывают потенциалы. Тангенс угла наклона потенциальной диаграммы относительно оси сопротивлений равен току в соответствующей точке рассматриваемого контура. Каждой точке участка цепи соответствует своя точка на потенциальной диаграмме. По потенциальной диаграмме можно определить разность потенциалов между любыми двумя точками контура. Рассмотрим последовательность построения потенциальной диаграммы на примере неразветвленной цепи. Дано
20 1
E
В,
100 2
E
В,
1 6
1 1
6 1
2 2
2 6
J
J
2 3
3 1
3 3
1
I
I
I
I
E
E
E
U
U
R
R
R
R
J
J
E
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
R
I
a
b
f
c
e
d
R
R
1
+
+
+
-
-
-
1 2
2 3
3
E
E
E
20 60 3
E
В,
10 1
R
Ом.
5 3
2
R
R
Ом.
Рисунок 1.16 Определяем ток вцепи по обобщенному закону Ома
3 10 5
5 60 100 20 3
2 1
3 2
1
R
R
R
E
E
E
R
E
I
А Потенциал точки a примем за ноль. Рассчитываем изменение потенциала для каждой точки на схеме
100 2
E
a
b
В
85 5
3 100 2
R
I
b
c
В
25 60 85 3
E
c
d
В
10 5
3 25 3
R
I
d
e
В
30 20 10 1
E
e
f
В
0 10 3
30 1
R
I
f
a
В
1 3
2
R
R
R
R
a
b
85 100 30 25 Рисунок 1.17– Потенциальная диаграмма
1.2 Рабочее задание
1.2.1 Соберите цепь рисунке 1.18 по монтажной схеме (рисунок 1.19).
21
R1=150...670 Ом B
=9 B
R3=150...670 Ом Ом
A
V
V
V
V
V
A
A
+
+
-
-
Рисунок 1.18 - Принципиальная схема Рисунок 1.19– Монтажная схема
1.2.2 Установите на источнике постоянного тока Б5-4А значение ЭДС в пределах от 15 до 20 В. Измерьте
- токи ветвей
- падения напряжения на резисторах.
Результаты эксперимента запишите в таблицу 1.3.
1.2.3 По результатам измерений рассчитайте значения сопротивлений и занести их в таблицу 1.3.
22 Таблица 1.3 – Исследование законов Кирхгофа
ЭКСПЕРИМЕНТНаименование величины Результаты первого опыта Напряжение источника Е, В Напряжение источника Е, В Ток первой ветви I1, А Напряжение на резисторе R1- U1, В Ток второй ветви I2, А Напряжение на резисторе R2- U2, В Ток третьей ветви I3, А Напряжение на резисторе R3- U3, В
РАСЧЕТТок первой ветви I1, А Ток второй ветви I2, А Ток третьей ветви I3, А Сопротивление резистора
R1+ R1, Ом Сопротивление резистора
R2+ R2, Ом Сопротивление резистора
R3+ R3, Ом
1.2.4 Для схемы, представленной на рисунке 1.18, составьте систему уравнений по законам Кирхгофа. Используя данные таблицы 1.3 (значения
источников ЭДС и сопротивлений, рассчитайте полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно токов ветвей. Пример расчѐта в системе MathCad приведен на рисунке 1.20. Результаты расчѐтов занесите в таблицу 1.3.
1.2.5 Сравните значения токов ветвей, полученных по результатам эксперимента и расчѐта.
1.2.6 Поданным таблицы 1.3 составьте баланс мощности и постройте потенциальную диаграмму для внешнего контура схемы.
23 Лабораторная работа Исследование законов Кирхгофа 1
TOL 0.000001
R1 270
R2 130
R3 110
E1 15
E2 8
A
1
R1 0
1 0
R2 1
R3
R3
B
0
E1
E2
I
lsolveA B
(
)
I
0.057 0.059 2.655 10 3
Pist E1 I
1
E2 I
2
Pist 1.324
Ppotr
I
1 2
R1
I
2 2
R2
I
3 2
R3
Ppotr Рисунок 1.20 – Расчѐт системы уравнений в системе MathCad
1.3 Контрольные вопросы и задания 1 Чему равно внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС
2 Чему равно внутреннее сопротивление идеального источника тока
3 Какой вид имеют вольт-амперные характеристики неидеальных и идеальных источников энергии
4 Как осуществить эквивалентное преобразование неидеального источника напряжения в неидеальный источник тока и обратное преобразование
5 Какие электрические цепи называются линейным
6 Как определить предельно допустимый ток через резистор, зная мощность и сопротивление
7 Чему равно внутреннее сопротивление амперметра
8 Чему равно внутреннее сопротивление вольтметра
9
Дайте определение силы тока, напряжения, заряда.
10 Резистивный элемент (определение, ВАХ).
11 Запишите закон Кирхгофа для данного контура электрической цепи.
24 12 Определите эквивалентное сопротивление данной электрической цепи, если
4 3
2 1
R
R
R
R
20 Ом. Рассчитайте мощность источника энергии при напряжении на зажимах цепи
U
=100 В. Определите токи в ветвях.
13 Как изменятся напряжения на участках
1
R и
2
R при замыкании ключа K (
const
U
)?
14 Сформулируйте закон Ома для участка цепи с ЭДС.
15 Приведите по две формулировки каждого закона Кирхгофа. Изложите алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа.
16 Какие контуры называются независимыми Сколько независимых контуров в исследуемой цепи
17 Как определить мощность источника тока
18 Как определить мощность, потребляемую резистором
19 С какой целью составляют баланс мощностей
20 Что называют потенциальной диаграммой
1 2
4 3
E
E
E
E
1 3
6
R
R
R
5 4
2
R
R
R
R
R
R
R
U
2 3
1 4
+
1 3
2
R
+
R
K
R
U
I
25
2 Лабораторная работа № 2 Исследование неразветвленной электрической цепи
синусоидального тока Цель работы ознакомиться с экспериментальными методами определения параметров пассивных приемников в цепях переменного тока. Изучить влияние переменного параметра в ветви цепи на величины и фазы напряжений и токов.
2.2 Краткие теоретические и практические сведения
2.2.1 Цепь с активным сопротивлением Если цепь переменного тока содержит только резистор R (лампа накаливания, электронагревательный прибор и т.д.), к которому приложено синусоидальное напряжение
u
(рисунок а
t
sin
U
u
m
,
(2.1) то ток вцепи будет определяться значением этого сопротивления
t
sin
I
R
t
sin
U
R
u
i
m
m
,
(2.2) где
R
U
I
m
m
– амплитуда тока. Из выражений (2.1) и (2.2) следует, что вцепи с активным сопротивлением токи напряжение совпадают по фазе. Обе эти величины можно изобразить на временной (рисунок б) и векторной (рисунок в) диаграммах.
26 Рисунок 2.1 – Схема, временная и векторная диаграммы цепи с активным сопротивлением Учитывая, что
2
I
I
m
,
2
U
U
m
, можно записать выражение
R
U
I
,
(2.3) которое называют законом Ома для цепи с активным сопротивлением. Рассмотрим энергетические процессы вцепи с активным элементом. Скорость преобразования электрической энергии в другие виды энергии характеризует мгновенную мощность
p
:
t
cos
UI
UI
t
sin
I
U
ui
p
m
m
R
2 2
,
(2.4) где
UI
– постоянная составляющая. График изменения мгновенной мощности для цепи с активным сопротивлением показан на рисунке б. В любой момент времени направления тока и напряжения совпадают, следовательно, мгновенная мощность положительна и колеблется с угловой частотой 2 в пределах от 0 доте. активное сопротивление потребляет электрическую энергию от источника и необратимо преобразует ее в другие виды энергии. Кроме мгновенного значения мощности
p
, различают еще среднюю мощность
cp
P
за период, которую называют активной мощностью и обозначают буквой P :
R
а)
б)
в)
R
R
i
i
u
p
2 2
3
i,u,p
u
t
=0
P
U
I
27
R
I
I
U
dt
ui
T
P
P
R
T
cp
2 0
1
(2.5) Активная мощность характеризует работу, совершаемую в электрической цепи за период, те. определяет электрическую энергию, необратимо преобразовавшуюся в другие виды энергии. Единицей измерения активной мощности является Ватт (Вт.
2.2.2 Цепь с индуктивностью Пусть по катушке индуктивности L , для которой R =0 (рисунок а, протекает ток
t
sin
I
i
m
(2.6) При изменяющемся токе в катушке наводится ЭДС самоиндукции
dt
di
L
e
L
(2.7) Приложенное к зажимам цепи напряжение уравновешивает ЭДС самоиндукции
2
t
sin
U
t
cos
LI
dt
di
L
e
u
m
m
L
,
(2.8) где
m
m
LI
U
,
(2.9) называется амплитудой напряжения. Таким образом, вцепи с индуктивностью напряжение опережает ток на угол Временная и векторная диаграммы изображены на рисунке б ив. Деля соотношение (2.9) на 2 , получим
28 Рисунок 2.2 – Схема, временная и векторная диаграммы цепи с идеальным индуктивным элементом.
L
X
U
L
U
I
(2.10) Здесь
L
X
L
имеет размерность сопротивления и называется индуктивным сопротивлением. Выражение (2.10) называется законом Ома для цепи с индуктивностью. Перейдем к анализу энергетических процессов вцепи с индуктивным элементом. Мгновенная мощность индуктивного элемента
t
UI
t
t
I
U
ui
p
m
m
L
2
sin
)
2
sin(
sin
,
(2.11) изменяется по закону синуса с удвоенной частотой. График мгновенной мощности на индуктивном элементе показан на рисунке б. В первую четверть периода направления напряжения и тока совпадают и
0
L
p
, те. индуктивный элемент потребляет электрическую энергию от источника. Во вторую четверть периода направления напряжения и тока противоположны и
0
L
p
, те. индуктивный элемент является источником и высвобождает энергию, запасенную в магнитном поле. Активная мощность P , характеризующая необратимые преобразования энергии и определяемая средним значением мгновенной мощности за период, для индуктивного элемента равна нулю
L
а)
б)
в)
L
L
L
i
i
u
p
2 2
2
i,u,p
u
e
t
U
E
I
L
L
=
29
T
T
cp
dt
t
sin
UI
T
dt
ui
T
P
P
0 0
2 1
1
=0.
(2.12) Таким образом, вцепи с идеальным индуктивным элементом не совершается работа, а происходит только периодический обмен энергией между источником энергии и магнитным полем. Интенсивность этого обмена принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле, которое называется реактивной мощностью, и обозначают
L
Q
2
I
X
I
U
Q
L
L
L
, вар.
(2.13) Реактивная мощность имеет размерность Вольт-Ампер реактивный, сокращенно – ВАр.
2.2.3 Цепь с емкостью Если цепь переменного тока содержит емкость
C
, к которой приложено синусоидальное напряжение
u
(рисунок а)
t
sin
U
u
m
,
(2.14) то мгновенное значение тока в этой цепи
2
t
sin
I
t
cos
CU
dt
du
C
dt
dq
i
m
m
,
(2.15) Амплитудные значения тока и напряжения связаны соотношением
m
m
CU
I
(2.16) Из (15) следует, что ток вцепи с емкостью опережает приложенное напряжение на угол
2
. Временная и векторная диаграммы представлены на рисунке б ив. Деля соотношение (2.16) на
2 , получим закон Ома для цепи с емкостью
30
CU
I
или
C
IX
C
I
U
1
,
(2.17) здесь
C
X
C
1
имеет размерность сопротивления и называется емкостным сопротивлением. Рисунок 2.3 – Схема, временная и векторная диаграммы цепи с идеальным емкостным элементом. Перейдем к анализу энергетических процессов вцепи с емкостным элементом. Мгновенная мощность емкостного элемента
t
UI
t
t
I
U
ui
p
m
m
C
2
sin
)
2
sin(
sin
,
(2.18) изменяется по закону синуса с удвоенной частотой. График мгновенной мощности приведен на рисунке б. В первую четверть периода направления напряжения и тока совпадают и
0
C
p
, те. емкостной элемент потребляет энергию от источника, которая запасается в электрическом поле. Во вторую четверть периода направления напряжения и тока противоположны,
0
C
p
, те. емкостной элемент является источником и отдает запасенную в электрическом поле энергию. Активная мощность, характеризующая необратимые процессы преобразования энергии и определяемая средним значением мгновенной мощности за период, для емкостного элемента равна нулю. а)
б)
в)
C
C
i
i
u
p
2 2
2
i,u,p
u
t
U
I
C
C
=
31
TTcpdttsinUITdtuiTPP0 0
2 1
1
=0.
(2.19) Таким образом, вцепи с идеальным емкостным элементом не совершается работа, а происходит только периодический обмен энергией между источником и электрическим полем. Интенсивность этого обмена принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в электрическом поле, которое называют реактивной мощностью и обозначают
CQ 2
IXIUQCCC, вар.
(2.20)
Реактивная мощность емкостного элемента, также как и реактивная мощность индуктивного элемента, измеряется в Вольт-Амперах реактивных.
Скачать 1.91 Mb.