Трёхфазные цепи Трёхфазная система эдс

• Название: Трёхфазные цепи Трёхфазная система эдс
• Анкор: Lektsia_16.doc
• Дата: 15.08.2018
• Размер: 0.63 Mb.
• Имя файла: Lektsia_16.doc
• Тип: Документы; #22976

Трёхфазные цепи

Трёхфазная система ЭДС

Трёхфазная электрическая цепь может быть представлена как совокупность трех однофазных цепей, в которых действуют ЭДС одной и той же частоты, сдвинутых относительно друг друга на одну треть периода, т.е. на .

Принцип получения трёхфазной системы ЭДС показан на рис. 1.



Рис. 1. Принцип получения трёхфазной системы ЭДС

В равномерном магнитном поле с постоянной угловой скоростью ω вращаются три одинаковых, жестко скрепленных друг с другом, катушки. Плоскости катушек смещены в пространстве на 120° одна относительно другой. В каждой из катушек наводится синусоидальная ЭДС одинаковой амплитуды, но по фазе они сдвинуты на 120°.



Рис. 2. Несвязная трёхфазная цепь.

Если каждую катушку соединить с нагрузкой, то получим схему несвязанной трёхфазной цепи, показанную на рис. 2.

Часть трёхфазной цепи, по которой протекает одинаковый ток, называют фазой. На рис. 2 фазы А, В, С изображены под углом 120°, для того что бы подчеркнуть, что ЭДС Е́_А, Е́_В, Е́_С сдвинуты одна относительно другой на 120°.

При равенстве амплитуд ЭДС и одинаковых сопротивлениях нагрузки токи Í_A, Í_B, Í_C так же равны по величине и сдвинуты друг относительно друга на одну треть периода, т. е. на 120°, образуя симметричную систему.

График мгновенных значений ЭДС, наводимых в катушках схемы рис. 2, показан на рис. 3, векторная диаграмма ЭДС на рис. 4.



Рис. 3. График мгновенных значений ЭДС е_А, е_B, е_C



Рис. 4. Векторная диаграмма ЭДС

Мгновенные ЭДС, показанные на рис. 4, выражаются аналитически следующим образом:

е_А=Е_msinωt

е_B=Е_msin(ωt-) (1)

е_C=Е_msin(ωt+)

Для осуществления трехфазной системы по схеме рис. 2 нужно шесть проводов, что очень неэкономно.

Сумма токов Í_A+Í_B+Í_C при равенстве амплитуд ЭДС и одинаковых сопротивлениях нагрузки равна нулю в любой момент времени

Í_A+Í_B+Í_C=0 (2)

Поэтому если три провода, по которым токи возвращаются к источникам объединить в один провод, то ток в этом проводе будет равен нулю. Получится связанная трёхфазная цепь.

Создание связанной трёхфазной цепи переменного тока явилось важным событием в истории электротехники.

Связанная трёхфазная цепь показана на рис. 5.



Рис. 5. Связанная трёхфазная цепь

Данная схема по сравнению с схемой рис. 2 позволяет экономить два провода.

Впервые связанную трёхфазную цепь переменного тока в 1889 г. осуществил выдающийся русский инженер и учёный Михаил Осипович Доливо-Добровольский (1862-1919 гг.). Им были разработаны основные звенья генерирования, передачи, распределения и преобразования электроэнергии трёхфазного тока; а именно: трёхфазный синхронный генератор, трёхфазный трансформатор, трёхфазный асинхронный двигатель. Изобретение М.О. Доливо-Добровольским трёхфазного асинхронного двигателя, являющегося самым дешёвым и простейшим двигателем переменного тока, существенно способствовало широкому промышленному внедрению трёхфазного тока.

Аналогичным путём можно получить двух-, четырёх-, и вообще n-фазную систему ЭДС. Но наибольшее практическое применение получила трёхфазная система.

Последовательность прохождения ЭДС через одинаковые значения (например через ноль) называют последовательностью фаз. Так на рис. 3 через ноль проходит сначала е_А, затем е_В, и лишь потом _­е_С. Последовательность фаз будет – А, В, С.

Принцип работы трёхфазного синхронного генератора.

В отличие от рис. 1 в трёхфазном синхронном генераторе обмотки А, В, С являются неподвижными и размещены они в пазах статора. Каждая обмотка размещается в одной трети пазов статора. Автоматически получается сдвиг на 120° плоскостей обмоток относительно друг друга.

М. О. Доливо-Добровольский поменял местами обмотки и поле. Раньше магнитное поле было неподвижным, а вращались обмотки в поле (рис. 1). Теперь обмотки стали неподвижными, а вращается магнитное поле, создаваемое обмоткой ротора, по которым протекает постоянный ток. Питание обмотки ротора происходит через кольца со скользящими контактами. Ротор вращается равномерно с угловой скоростью ω от внешнего двигателя, например, бензинового двигателя, гидротурбины, газовой турбины и т. д. (рис. 6).



Рис. 6. Трёхфазный синхронный генератор

Угловая скорость вращения ротора равны угловой скорости вращающегося магнитного поля. Поэтому говорят, что магнитное поле вращается синхронно с ротором. Отсюда название трёхфазный синхронный генератор. Вращающееся магнитное поле пересекает обмотки неподвижного статора и в них наводится синусоидальная ЭДС.

Благодаря тому, что фазы А, В, С неподвижны, присоединение трёхфазного генератора к внешней цепи происходит очень просто и надежно с помощью болтовых соединений.

Магнитная цепь в такой конструкции почти замкнута, имеется только небольшой зазор между статором и ротором, что позволяет получить значительный магнитный поток при относительно небольшой МДС обмотки ротора.

У мощных синхронных генераторов в качестве магнитного поля используется электромагнитное поле постоянного тока. Подвод питания к вращающейся обмотке ротора происходит через скользящие контакты. И это пожалуй самое слабое место. У маломощных синхронных генераторов отсутствует и это слабое место, так как ротор у них представляет двухполюсный или многополюсный постоянный магнит. И нет никаких скользящих контактов.

Трёхфазная цепь. Расширение понятия фазы.

Совокупность трёхфазной системы ЭДС, трёхфазных нагрузок и соединительных проводов называют трёхфазной цепью.

Под фазой трёхфазной цепи, как уже было сказано, понимают участок трёхфазной цепи, по которому протекает одинаковый ток. В литературе фазой иногда называют однофазную цепь, входящую в состав многофазной цепи. Под фазой понимают так же аргумент синусоидально изменяющейся величины, что ранее рассматривалось.

Таким образом, в зависимости от рассматриваемого вопроса ваза это либо участок трёхфазной цепи, либо аргумент синусоидально изменяющейся величины.

Соединение обмоток генератора и нагрузок звездой и треугольником.

На электрической схеме обмотки генератора обозначают буквами А, В, С; буквы расставляют: А – у начала первой фазы, В – у начала второй фазы, С – у начала третьей фазы.

При соединении обмоток генератора звездой одноимённые зажимы (например, концы x, y, z) трёх обмоток объединяют в одну точку О (рис. 7)



а) б) в)

Рис. 7. Соединение обмоток генератора звездой и векторная диаграмма ЭДС Е́_А, Е́_В, Е́_С

На рис. 7, а и 7, б показаны различные схемы изображения фаз генератора. На рис. 7, в показана векторная диаграмма фазных ЭДС генератора. Векторы Е́_А, Е́_В, Е́_С сдвинуты на 120° один относительно другого и получается симметричная система векторов. Сумма векторов любой симметричной системы равна нулю.

Точку О называют нулевой точкой генератора.

При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 8) начало одной фазной обмотки с концом следующей по порядку фазной обмотки так, что все три обмотки образуют замкнутый треугольник, причем направление ЭДС в контуре треугольника совпадают и сумма ЭДС равна нулю. Поэтому если к зажимам А, В, С не присоединена нагрузка, то по обмоткам генератора не будет протекать ток.



а) б) в)

Рис. 8. Соединение обмоток треугольником и векторная диаграмма ЭДС Е́_А, Е́_В, Е́_С

На рис. 8, а и 8, б показаны различные схемы изображения фаз генератора. На рис. 8, в представлена векторная диаграмма фазных ЭДС генератора Е́_А, Е́_В, Е́_С.

Ради упрощения на рис. 7 и 8 показаны только ЭДС генератора; обмотки и их сопротивления на схеме не показаны.

Нагрузки в трёхфазной цепи так же могут быть соединены звездой или треугольником (рис. 9). Точка О` называется нулевой точкой нагрузки.



Рис. 9 Соединение нагрузок звездой и треугольником

Основные схемы соединения трёхфазных цепей. Соотношения между линейными и фазными величинами.

Существует пять способов соединения трёхфазного генератора и трёхфазной нагрузки. Рассмотрим их все поочерёдно.

Звезда – звезда с нулевым проводом (рис. 10)

В этой схеме и обмотки генератора и нагрузки соединены звездой и имеется нулевой провод.



Рис. 10. Схема соединений звезда – звезда с нулевым проводом

Рассмотрим все обозначения, принятые в трёхфазных цепях.

Нулевой провод – провод, соединяющий нулевую точку генератора О и нулевую точку нагрузки О`. Ток текущий по нулевому проводу называют нулевым током и обозначают Í₀.

Линейный провод – провода, соединяющие точки А, В, С генератора и соответствующие точки а, b, с нагрузок.

Токи, текущие по линейным проводам, называют линейными токами и обозначают Í_A, Í_B, Í_C. Положительное направление линейных токов всегда от генератора к нагрузке. Направление нулевого тока Í₀ всегда от нагрузки к генератору.

Модуль линейного тока обозначается I_Л, модуль тока нулевого провода I₀.

Зажимы А, В, С генератора не схеме всегда обозначается большими буквами, зажимы а, b, с нагрузок – маленькими.

Между точками А и О, В и О, С и О – фазные ЭДС генератора Е́_А, Е́_В, Е́_С соответственно. Между зажимами А, В, С – линейные ЭДС генератора Е́_АВ, Е́_ВС, Е́_СА.

Напряжение между точками а и о`, b и о`, с и о` называют фазными напряжениями нагрузки и обозначают Ú_A, Ú_B, Ú_C. Модуль фазного напряжения обозначается U_ф.

Напряжения между точками а, b, с нагрузки, т. е. между линейными проводами в месте присоединения нагрузки, называется линейным напряжением нагрузки и обозначаются Ú_AВ, Ú_BС, Ú_CА. Модуль линейного напряжения – U_Л.

Каждую из трёх обмоток генератора называют фазой генератора, каждую из трёх нагрузок – фазой нагрузки. Токи, протекающие по фазам генератора, называют фазовыми токами генератора. Токи, протекающие по фазам нагрузки, называют фазовыми токами нагрузки. Модуль фазового тока обозначается I_ф.

Нагрузка называется равномерной или симметричной, когда во всех фазах включена одинаковая нагрузка по величине и по характеру.

Для генератора и равномерной нагрузки справедлива векторная диаграмма рис. 11.



Рис. 11. Векторная диаграмма





(3)

Для данной схемы соединения звезда – звезда с нулевым проводом в фазах генератора и нагрузки течёт тот же ток, что и в линейном проводе.

Отдельно запишем соотношение между линейными и фазными величинами для генератора и нагрузки.

Для генератора:

(4)

(5)

Для нагрузки:

(6)

(7)

Звезда – звезда без нулевого провода (рис. 12)

Рис. 12. Схема соединений звезда – звезда без нулевого провода

Для генератора:

(8)

(9)

Для нагрузки:

(10)

(11)

Звезда – треугольник (рис. 13)

В данной схеме обмотки генератора включены звездой, а нагрузки треугольником.

В этой схеме кроме линейных токов нагрузок Í_A, Í_B, Í_C появляются фазные токи нагрузок Í_ab, Í_bc, Í_ca, протекающие по треугольнику нагрузок.



Рис. 13. Схема соединения звезда - треугольник

При равномерной нагрузке фазные токи нагрузок Í_ab, Í_bc, Í_ca образуют равносторонний треугольник (рис. 14):



Рис. 14. Фазные токи нагрузок

Для узлов а, b, с по первому закону Кирхгофа можно записать:

Í_A = Í_ab - Í_ca; (12)

Í_B = Í_bc - Í_ab; (13)

Í_C = Í_ca ­­- Í_bc; (14)

Изобразим векторную диаграмму согласно выражению (12), т. е. сложим вектор Í_ab с вектором - Í_ca, что показано на рис. 15. Сумма этих векторов равна линейному току Í_A.



Рис. 15. Векторная диаграмма

Между фазными токами нагрузок Í_ab, Í_bc, Í_ca при равномерной нагрузке углы 120°. На векторной диаграмме фазные токи Í_ab, Í_bc и линейный ток Í_A образуют равнобедренный треугольник, в котором углы между фазными токами нагрузок и линейным током равны 30°.

Это справедливо и для выражений (13) и (14).

Тогда можно обобщить (рис. 16):



Рис. 16. Соотношение между линейным и фазным токами

Для рис. 16 можно записать:





(15)

Таким образом для схемы звезда – треугольник при равномерной нагрузке соответствия между линейными и фазными величинами выглядят следующим образом:

Для генератора:

(16)

(17)

Для нагрузки:

(18)

(19)

Треугольник – треугольник (рис. 17)

Рис. 17. Схема соединений треугольник - треугольник

При равномерной нагрузке соотношения между линейными и фазными величинами выглядят следующим образом:

Для генератора:

(20)

(21)

Для нагрузки:

(22)

(23)

Треугольник – звезда (рис. 18)

При равномерной нагрузке соотношения между линейными и фазными величинами выглядит:



Рис. 18. Схема соединения треугольник - звезда

Для генератора:

(24)

(25)

Для нагрузки:

(26)

(27)

Выше рассмотренные соотношения между линейными и фазными величинами всегда соблюдаются для генератора при любой нагрузке равномерной или неравномерной. Рассмотренные соотношения между линейными и фазными величинами для нагрузки соблюдаются только в случае равномерной нагрузки.

Преимущества трёхфазных систем

Широкое распространение трёхфазных систем объясняется главным образом тремя основными причинами:

1. 
   Передача энергии на дальние расстояние трёхфазным током экономически более выгодно, чем переменным током с иным числом фаз
   
2. 
   Элементы системы – трёхфазный асинхронный двигатель, трёхфазный синхронный генератор и трёхфазный трансформатор – весьма просты в производстве, экономичны и надёжны в работе
   
3. 
   Система обладает свойством неизменности величины мгновенной мощности за период синусоидального тока, если нагрузка во всех трёх фазах одинаковая
   

Расчёт трёхфазных цепей

Трёхфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока и потому расчёт и исследование процессов в них производится теми же методами и приёмами, которые рассматривались ранее.

Для цепей трёхфазного тока применим так же символический метод расчёта, могут строиться векторные, топографические и круговые диаграммы.

Аналитический расчёт рекомендуется сопровождать построением векторных или топографических диаграмм, что помогает находить ошибки при аналитическом расчёте, если последние возникают.

Оператор а трёхфазной системы

Условимся комплексное число е_­^j120° ­по модулю равное единице, обозначить через а и называть оператором трёхфазной системы

е_­^j120° ­= а (28)

Тогда

е_­^j240° =(е_­^j120° ­)­_­² = а² (29)

Умножение любого вектора на а означает поворот его без изменения модуля на 120° против часовой стрелки. Умножение вектора на а² поворачивает его на угол 240° против часовой стрелки, или, что то же самое, поворачивает его на 120° по часовой стрелке.

Три вектора 1, а, а² – образуют симметричную трёхфазную систему, а сумма векторов любой симметричной системы равна нулю (рис. 19).

1 + а + а² = 0 (30)



Рис. 19. Симметричная система трёх единичных векторов

С помощью оператора а можно выразить ЭДС Е́_В и Е́_С симметричной трёхфазной системы через ЭДС Е́_А:

Е́_В = а²* Е́_А; Е́_С = а*Е́_А; (30)

Расчёт схемы звезда – звезда с нулевым проводом (рис. 20)

Рис. 20. Схема соединения звезда – звезда с нулевым проводом

Если нулевой провод обладает весьма малым сопротивлением, т.е. Z₀=0, то потенциал точки О` практически равен потенциалу точки О, точки О` и О фактически представляют собой одну точку:

ϕ́₀ = ϕ́₀` (32)

При этом в схеме образуются три обособленных контура, токи в которых даже при неравномерной нагрузке можно определить по простым формулам:

; ; ; (33)

При равномерно нагрузке линейные токи Í_A, Í_B, Í_C образуют симметричную систему векторов, т. е. сдвинутых на 120° один относительно другого. Их сумма равна нулю:

Í_A + Í_B + Í_C = 0, (34)

т. е. ток нулевого провода равен нулю.

При неравномерной нагрузке линейные тока могут оказаться под любым углом по отношению друг к другу. Появляется ток нулевого провода Í₀, который можно определить по первому закону Кирхгофа для любого узла:

Í₀ = Í_A + Í_B + Í_C (35)

Если в нулевом проводе есть сопротивление Z­₀, то расчёт следует проводить по методу узловых потенциалов. Точка О генератора всегда заземляется по правилам техники безопасности, т. е.

ϕ́₀ = 0 (36)

Составим уравнение для узла О`:

ϕ́_0`(Y_A+Y_B+Y_C+Y₀) = Е́_АY_A+ Е́_ВY_В+ Е́_СY_С,

отсюда получаем

(37)

где Y_A, Y_B, Y_C, Y₀ – комплексные проводимости фаз А, В, С и нулевого провода соответственно.

Если нагрузка неравномерная , то и тогда фазные напряжения нагрузок будут:

Ú_{AO`</sub>=É<sub>А</sub> - Ú<sub>O`О}, Ú_{ВO`</sub>=É<sub>В</sub> - Ú<sub>O`О}, Ú_{СO`</sub>=É<sub>С</sub> - Ú<sub>O`О} (38)

А токи в фазах нагрузки будут найдены:

; (39)

; (40)

; (41)

Линейные токи Í_A, Í_B, Í_C образуют несимметричную систему и появляется ток нулевого провода Í₀, который можно найти по первому закону Кирхгофа:

Í₀ = Í_A + Í_B + Í_C, (42)

или по формуле

(43)

Естественно, по обеим формулам должно получиться одно и то же.

Если нагрузка равномерная , то:

(44)

так как 1 + а­² + а = 0

Линейные токи Í_A, Í_B, Í_C образуют симметричную систему:

; ; ; (45)

Ток нулевого провода будет равен нулю:

Í₀ = Í_A + Í_B + Í_C = 0. (46)

Расчёт схемы звезда – звезда без нулевого провода

Расчёт такой же, как и для схемы звезда - звезда с нулевым проводом. Только будет отсутствовать комплексная проводимость нулевого провода Y₀, так как нет нулевого провода (рис. 21).



Рис. 21. Схема соединений звезда – звезда без нулевого провода

Для этой схемы

(47)

Если нагрузка неравномерная , то и на фазах нагрузки будут разные напряжения:

Ú_{AO`</sub>=É<sub>А</sub> - Ú<sub>O`О}, Ú_{ВO`</sub>=É<sub>В</sub> - Ú<sub>O`О}, Ú_{СO`</sub>=É<sub>С</sub> - Ú<sub>O`О} (48)

А токи в фазах нагрузки будут найдены:

; (49)

; (50)

; (51)

Линейные токи по отношению друг к другу могут находиться под любым углом, т. е. образуют несимметричную систему векторов. По первому закону Кирхгофа их сумма должна равняться нулю:

Í_A + Í_B + Í_C = 0. (52)

Если нагрузка равномерная , то:

(53)

так как 1 + а­² + а = 0

В этом случае линейные токи Í_A, Í_B, Í_C образуют симметричную систему векторов:

; ; ; (54)

Естественно, что:

Í₀ = Í_A + Í_B + Í_C = 0. (55)

Расчёт схемы, когда нагрузка соединена звездой и известны линейные напряжения (рис. 22)

Сюда подходят схемы соединений треугольник – звезда и звезда – звезда без нулевого провода.



Рис. 22. Электрическая схема

По первому закону Кирхгофа можно записать:

Í_A + Í_B + Í_C = 0 (56)

Токи в фазах нагрузки можно записать через фазные напряжения нагрузок Ú_A, Ú_B, Ú_C и комплексные проводимости нагрузок:

Í_A = Ú_AY_A; Í_В = Ú_ВY_В; Í_С = Ú_СY_С; (57)

Подставим (57) в (56):

Ú_AY_A+ Ú_ВY_В+ Ú_СY_С = 0 (58)

Фазные напряжения Ú_В и Ú_С могут быть выражены через Ú_А и заданные линейные напряжения Ú_АВ и Ú_СА:

Ú_АВ = Ú_А - Ú_В; Ú_В = Ú_А - Ú_АВ; (59)

Ú_СА = Ú_С – Ú_А; Ú_С = Ú_А + Ú_АВ; (60)

Подставим (59) и (60) в (58):

Ú_AY_A+ (Ú_А – Ú_АВ)Y_В+ (Ú_А + Ú_АВ)Y_С = 0.

Отсюда

(61)

Теперь фазные напряжения Ú_А и Ú_С выразим через Ú_В и заданные линейные напряжения Ú_АВ и Ú_ВС:

Ú_АВ = Ú_А - Ú_В; Ú_А = Ú_В + Ú_АВ; (62)

Ú_ВС = Ú_В – Ú_С; Ú_С = Ú_В - Ú_ВС; (63)

Подставим (62) и (63) в (61):

(Ú_В + Ú_АВ)Y_A+ Ú_ВY_В+ (Ú_В - Ú_ВС)Y_С = 0.

Отсюда

(64)

Аналогично выразим Ú_А и Ú_В выразим через Ú_С и заданные линейные напряжения Ú_СА и Ú_ВС:

Ú_СА = Ú_С – Ú_А; Ú_А = Ú_С – Ú_СА; (65)

Ú_ВС = Ú_В – Ú_С; Ú_В = Ú_С + Ú_ВС; (66)

Подставим (66) и (65) в (64):

(Ú_С – Ú_СА)Y_A+ (Ú_С + Ú_ВС)Y_В+ Ú_СY_С = 0.

Отсюда

(67)

Расчёт схемы, когда нагрузка соединена треугольником и известны линейные напряжения (рис. 23)

Сюда подходят схемы соединений треугольник – треугольник и звезда – треугольник.



Рис. 23. Электрическая схема

Так как заданные линейные напряжения Ú_AB, Ú_BС, Ú_СА напрямую подключаются к сопротивлениям нагрузки Z­_ab, Z­_bc, Z­_ca, то легко найти фазные токи нагрузок Í_ab, Í_bc, Í_ca:

(67)

Токи в линейных проводах определяются по первому закону Кирхгофа для узлов a, b, c:

Í_А + Í_cа - Í_ab = 0; Í_А = Í_аb – Í_ca; (68)

Í_В + Í_аb - Í_bc = 0; Í_В = Í_bc – Í_ab; (69)

Í_С + Í_bc – Í_ca = 0; Í_С = Í_ca – Í_bc; (70)

Если на выводах несимметричной трёхфазной нагрузки, соединённой треугольником, заданы фазные напряжения источника Ú_A, Ú_B, Ú_C, обмотки которого соединены в звезду, то линейные напряжения на выводах нагрузки находятся как разности соответствующих фазных напряжений:

Ú_AB = Ú_A – Ú_В; Ú_BС = Ú_B – Ú_С; Ú_СА = Ú_С – Ú_С; (71)

Далее задача сводится к только что рассматриваемому случаю.

Расчёт трёхпроводной трёхфазной схемы, когда в линейных проводах включены сопротивления

Когда между генератором и нагрузкой большое расстояние, то необходимо учитывать сопротивления линейных проводов. Линейные провода обладают активным и индуктивным сопротивлениями.

Рассмотрим расчёт схемы соединений треугольник – треугольник (рис. 24).



Рис. 24. Схема соединения треугольник - треугольник

Будем считать, что нагрузка неравномерная. На схеме рис. 24 обозначено: R – активное сопротивление линейного провода, L – индуктивность линейного провода.

Ни один из выше рассмотренных методов расчёта напрямую не подходит для расчёта данной схемы.

Перед расчётом известны все линейные ЭДС генератора Е́_АВ, Е́_ВС, Е́_СА, комплексные сопротивления нагрузок и линейных проводов.

Расчёт любой трёхфазной цепи начинается с написания систем трёх линейных и трёх фазных напряжений генератора. Предположим, что Е́_АВ = 380В. Что бы не ошибиться, желательно строить векторную диаграмму линейных и фазных напряжений.

Вектор Е́_АВ направлен по вещественной оси комплексной плоскости (рис. 25)



Рис. 25. Векторная диаграмма

Вектор Е́_ВС отстаёт от вектора Е́_АВ на 120°. В результате получилась следующая система:

Е́_АВ = 380 В

Е́_ВС = 380^-j120° = -190 – j329,09 В (72)

Е́_СА = 380^j120° = -190 – j329,09 В

Теперь запишем систему трёх фазных ЭДС генератора. Из векторной диаграммы рис. 25 видно, что ЭДС Е́_А отстаёт от Е́_{АВ ­}на 30°. Треугольник линейных ЭДС равносторонний, все углы по 60°. Фазные ЭДС делят эти углы пополам. Кроме того известно, что фазные ЭДС в раз меньше линейных:



Поэтому для фазной ЭДС генератора можно записать:

Е́_А = 220^-j30° = 190,526 – j100 В

Фазная ЭДС Е́_В отстает от Е́_А на 120°:

Е́_В = 220^-j150° = -190,526 – j100 В

Фазная ЭДС Е́_С опережает от Е́_А на 120°:

Е́_С = 220^j90° = j220 В

Запишем теперь систему трёх фазных ЭДС генератора:

Е́_А = 220^-j30° = 190,526 – j100 В

Е́_В = 220^-j150° = -190,526 – j100 В (73)

Е́_С = 220^j90° = j220 В

Пользуемся ли мы системой трёх линейных ЭДС или трёх фазных ЭДС генератора, потенциалы точек А, В, С одинаковый в обоих случаях.

Для расчёта схемы рис. 24 воспользуемся системой трёх фазных ЭДС (73).

Далее следует преобразовать треугольник нагрузок в эквивалентную звезду. Обозначим через Z­_a, Z­_b, Z­_c сопротивления эквивалентной звезды. Формулы для расчёта точно такие же, как и на постоянном токе, только расчёт ведётся в комплексных числах. На рис. 26 показана эквивалентная схема.



Рис. 26. Эквивалентная схема

Эквивалентные сопротивления звезды рассчитываются по следующим формулам:

(74)

(75)

(76)

В результате от исходной схемы рис. 24 треугольник – треугольник мы перешли к эквивалентной схеме звезда – звезда без нулевого провода, расчёт которой выше рассмотрен. Эта эквивалентная схема нужна, что бы найти линейные токи Í_A, Í_В, Í_С.

Запишем сначала фазные сопротивления Z­_А, Z­_В, Z­_С:

Z­_А = R + jX_L + Z­_a; (77)

Z­_В = R + jX_L + Z­_b; (78)

Z­_С = R + jX_L + Z­_c; (79)

Далее найдем напряжение Ú_O`O:

(80)

А потом найдем линейные токи:

; (81)

; (82)

; (83)

Теперь надо вернуться к исходной схеме рис. 24 и найти потенциалы точек a, b, c:

ϕ́_а = Е́_А – Í_A­(R + jX_L) (84)

ϕ́_b = Е́_B – Í_B­(R + jX_L) (85)

ϕ́_c = Е́_С – Í_С­(R + jX_L) (86)

Далее в схеме рис. 24 найдем фазные токи нагрузок

(87)

(88)

(89)

Балансы активных и реактивных мощностей и векторную диаграмму следует делать по исходной схеме рис. 24.

Векторная диаграмма начинается с построения системы трёх линейных ЭДС генератора Е́_АВ, Е́_ВС, Е́_СА. Далее следует построить векторы токов, чтобы на диаграмме выполнялись следующие соотношения:

Í_A + Í_B + Í_C = 0; (90)

Í_А = Í_аb – Í_ca; (91)

Í_В = Í_bc – Í_ab; (92)

Í_С = Í_ca – Í_bc; (93)

Далее следует посчитать падения напряжений на всех элементах схемы и построить их на диаграмме, чтобы выполнялись следующие соотношения

Е́_АВ = -Í_BR – Í_BjX_L + Í_abZ_ab + Í_AjX_L + Í_AR; (94)

Е́_CВ = -Í_CR – Í_CjX_L + Í_bcZ_bc + Í_BjX_L + Í_BR; (95)

Е́_CA = -Í_AR – Í_AjX_L + Í_caZ_ca + Í_CjX_L + Í_CR; (96)

Так будет построена полная векторная диаграмма трёхфазной цепи

рис. 24.