математика. Учебник для сопровождения лекций и практических занятий

• Название: Учебник для сопровождения лекций и практических занятий
• Анкор: математика
• Дата: 13.04.2023
• Размер: 0.78 Mb.
• Имя файла: 00AlgPropos.pdf
• Тип: Учебник; #1059125
• страница: 5 из 5

. Отметим, что это верно?
неверно?
240

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Таким образом, формула ∀𝑥 𝑥
2
> 0
читается так:
для любого 𝑥 𝑥
2
> 0
. Отметим, что это неверно: 0 2
= 0.
241

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формула ∀𝑥 ∃𝑦 𝑥 < 𝑦 читается так:
242

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формула ∀𝑥 ∃𝑦 𝑥 < 𝑦 читается так:
для любого 𝑥
243

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формула ∀𝑥 ∃𝑦 𝑥 < 𝑦 читается так:
для любого 𝑥 найд¨ется б´ольший 𝑦.
244

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формула ∀𝑥 ∃𝑦 𝑥 < 𝑦 читается так:

для любого 𝑥 найд¨ется б´ольший 𝑦. Отметим, что это верно?
неверно?
245

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формула ∀𝑥 ∃𝑦 𝑥 < 𝑦 читается так:
для любого 𝑥 найд¨ется б´ольший 𝑦. Отметим, что это верно.
246

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
247

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀𝑛
248

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀𝑛
⎛
⎝
⎞
⎠
,
249

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀𝑛
⎛
⎝
𝑛 ∈ N
⎞
⎠
,
250

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀𝑛
⎛
⎝
𝑛 ∈ N ⇒
⎞
⎠
,
251

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀𝑛
⎛
⎝
𝑛 ∈ N ⇒ ∃𝑚
⎞
⎠
,
252

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀𝑛
⎛
⎝
𝑛 ∈ N ⇒ ∃𝑚
⎧
⎨
⎩
𝑚 ∈ N,
𝑚 > 𝑛,
𝑚/𝑛 ∈ N
⎞
⎠
,
253

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀𝑛
⎛
⎝
𝑛 ∈ N ⇒ ∃𝑚
⎧
⎨
⎩
𝑚 ∈ N,
𝑚 > 𝑛,
𝑚/𝑛 ∈ N
⎞
⎠
,
т.е.
254

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Формулу «всякое натуральное число является делителем некоторого б´ольшего натурального числа» можно записать так:
∀𝑛
⎛
⎝
𝑛 ∈ N ⇒ ∃𝑚
⎧
⎨
⎩
𝑚 ∈ N,
𝑚 > 𝑛,
𝑚/𝑛 ∈ N
⎞
⎠
,
т.е.
∀𝑛
(︂
𝑛 ∈ N
⇒
∃𝑚
(︀(𝑚 ∈ N)
∧
(𝑚 > 𝑛)
∧
(𝑚/𝑛 ∈ N)
)︀
)︂
255

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
Мы уже рассматривали отрицания к логическим функциям.
Рассмотрим правила построения отрицаний к формулам с преди- катами.
256

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
257

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для
258

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥
259

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
260

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
261

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого
262

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого 𝒫(𝑥) неверно.
263

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого 𝒫(𝑥) неверно.
264

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого 𝒫(𝑥) неверно.
265

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого 𝒫(𝑥) неверно.
266

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого 𝒫(𝑥) неверно.
«Неверно, что ∃𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
267

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого 𝒫(𝑥) неверно.
«Неверно, что ∃𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что найд¨ется 𝑥, для которого предикат 𝒫(𝑥) истинен»
268

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого 𝒫(𝑥) неверно.
«Неверно, что ∃𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что найд¨ется 𝑥, для которого предикат 𝒫(𝑥) истинен»
означает, что
269

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого 𝒫(𝑥) неверно.
«Неверно, что ∃𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что найд¨ется 𝑥, для которого предикат 𝒫(𝑥) истинен»
означает, что для любого 𝑥
270

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого 𝒫(𝑥) неверно.
«Неверно, что ∃𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что найд¨ется 𝑥, для которого предикат 𝒫(𝑥) истинен»
означает, что для любого 𝑥 𝒫(𝑥) не выполняется.
271

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
¬
(∃𝑥 𝒫(𝑥)) ∼
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого 𝒫(𝑥) неверно.
«Неверно, что ∃𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что найд¨ется 𝑥, для которого предикат 𝒫(𝑥) истинен»
означает, что для любого 𝑥 𝒫(𝑥) не выполняется.
272

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
¬
(∃𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∀𝑥
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого 𝒫(𝑥) неверно.
«Неверно, что ∃𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что найд¨ется 𝑥, для которого предикат 𝒫(𝑥) истинен»
означает, что для любого 𝑥 𝒫(𝑥) не выполняется.
273

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
¬
(∃𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∀𝑥
¬
𝒫(𝑥).
«Неверно, что ∀𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что для любого 𝑥 предикат 𝒫(𝑥) истинен» означает, что
𝒫(𝑥)
выполняется «не для любого 𝑥», т.е.
найд¨ется 𝑥, для которого 𝒫(𝑥) неверно.
«Неверно, что ∃𝑥 𝒫(𝑥)», т.е.
«неверно, что найд¨ется 𝑥, для которого предикат 𝒫(𝑥) истинен»
означает, что для любого 𝑥 𝒫(𝑥) не выполняется.
274

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
¬
(∃𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∀𝑥
¬
𝒫(𝑥).
В случае, когда предикат 𝒫 может быть выражен через логические функции
, отрицание строится с использованием соответствую- щих соотношений.
275

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
¬
(∃𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∀𝑥
¬
𝒫(𝑥).
В случае, когда предикат 𝒫 может быть выражен через логические функции
, отрицание строится с использованием соответствую- щих соотношений.
Например, отрицание к формуле (здесь «по умолчанию» 𝑥 и 𝑦
обозначают натуральные числа) ∃𝑥 ∀𝑦 𝑥 > 𝑦 т.е.
276

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
¬
(∃𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∀𝑥
¬
𝒫(𝑥).
В случае, когда предикат 𝒫 может быть выражен через логические функции
, отрицание строится с использованием соответствую- щих соотношений.
Например, отрицание к формуле (здесь «по умолчанию» 𝑥 и 𝑦
обозначают натуральные числа) ∃𝑥 ∀𝑦 𝑥 > 𝑦 т.е.
«неверно, что найдется наибольшее натуральное число», имеет вид
277

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
¬
(∃𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∀𝑥
¬
𝒫(𝑥).
В случае, когда предикат 𝒫 может быть выражен через логические функции
, отрицание строится с использованием соответствую- щих соотношений.
Например, отрицание к формуле (здесь «по умолчанию» 𝑥 и 𝑦
обозначают натуральные числа) ∃𝑥 ∀𝑦 𝑥 > 𝑦 т.е.
«неверно, что найдется наибольшее натуральное число», имеет вид
∀𝑥
278

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
¬
(∃𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∀𝑥
¬
𝒫(𝑥).
В случае, когда предикат 𝒫 может быть выражен через логические функции
, отрицание строится с использованием соответствую- щих соотношений.
Например, отрицание к формуле (здесь «по умолчанию» 𝑥 и 𝑦
обозначают натуральные числа) ∃𝑥 ∀𝑦 𝑥 > 𝑦 т.е.
«неверно, что найдется наибольшее натуральное число», имеет вид
∀𝑥 ∃𝑦
279

VI. Построение отрицаний к формулам с предика- тами и кванторами
¬
(∀𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∃𝑥
¬
𝒫(𝑥);
¬
(∃𝑥 𝒫(𝑥)) ∼ ∀𝑥
¬
𝒫(𝑥).
В случае, когда предикат 𝒫 может быть выражен через логические функции
, отрицание строится с использованием соответствую- щих соотношений.
Например, отрицание к формуле (здесь «по умолчанию» 𝑥 и 𝑦
обозначают натуральные числа) ∃𝑥 ∀𝑦 𝑥 > 𝑦 т.е.
«неверно, что найдется наибольшее натуральное число», имеет вид
∀𝑥 ∃𝑦
𝑥 < 𝑦.
280

Спасибо за внимание!
e-mail:
[e-mail]
,
[e-mail] сайты:
http://melnikov.k66.ru
,
http://melnikov.web.ur.ru

Вернуться к списку презентаций?
281