математика. Учебник для сопровождения лекций и практических занятий

• Название: Учебник для сопровождения лекций и практических занятий
• Анкор: математика
• Дата: 13.04.2023
• Размер: 0.78 Mb.
• Имя файла: 00AlgPropos.pdf
• Тип: Учебник; #1059125
• страница: 4 из 5

Истинно или ложно?
139

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0
Если высказывания 𝑋 и 𝑌 ложны, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼ 4 > 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 5,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 > 5 или 2 2
= 5
» ложно.

Истинно или ложно?
140

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0
Если высказывания 𝑋 и 𝑌 ложны, то высказывание «𝑋 или 𝑌 » ложно.
Например, если 𝑋 ∼ 4 > 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 5,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 > 5 или 2 2
= 5
» ложно.
141

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
Если высказывания 𝑋 и 𝑌 ложны, то высказывание «𝑋 или 𝑌 » ложно.
Например, если 𝑋 ∼ 4 > 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 5,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 > 5 или 2 2
= 5
» ложно.
142

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 143

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1
Если высказывание 𝑋 ложно, а 𝑌 истинно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
144

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1
Если высказывание 𝑋 ложно, а 𝑌 истинно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼
,
и 𝑌 ∼
,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «
или
»
145

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1
Если высказывание 𝑋 ложно, а 𝑌 истинно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼
,
и 𝑌 ∼
,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «
или
»
Надо какое-нибудь неверное утверждение...
146

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1
Если высказывание 𝑋 ложно, а 𝑌 истинно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼ 4 > 5, и 𝑌 ∼
,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 > 5 или
»
Надо какое-нибудь неверное утверждение...
147

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1
Если высказывание 𝑋 ложно, а 𝑌 истинно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼ 4 > 5, и 𝑌 ∼
,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 > 5 или
»
Теперь надо какое-нибудь верное утверждение...
148

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1
Если высказывание 𝑋 ложно, а 𝑌 истинно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼ 4 > 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 4,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 > 5 или 2 2
= 4
»
Теперь надо какое-нибудь верное утверждение...
149

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1
Если высказывание 𝑋 ложно, а 𝑌 истинно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼ 4 > 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 4,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 > 5 или 2 2
= 4
»

Истинно или ложно?
150

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1
Если высказывание 𝑋 ложно, а 𝑌 истинно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼ 4 > 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 4,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 > 5 или 2 2
= 4
» истинно.

Истинно или ложно?
151

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1
Если высказывание 𝑋 ложно, а 𝑌 истинно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 » истинно.
Например, если 𝑋 ∼ 4 > 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 4,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 > 5 или 2 2
= 4
» истинно.
152

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
Если высказывание 𝑋 ложно, а 𝑌 истинно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 » истинно.
Например, если 𝑋 ∼ 4 > 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 4,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 > 5 или 2 2
= 4
» истинно.
153

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0 154

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0
Если высказывание 𝑋 истинно, а 𝑌 ложно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
155

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0
Если высказывание 𝑋 истинно, а 𝑌 ложно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼
,
и 𝑌 ∼
,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «
или
»
156

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0
Если высказывание 𝑋 истинно, а 𝑌 ложно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼
,
и 𝑌 ∼
,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «
или
»
Надо какое-нибудь истинное утверждение...
157

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0
Если высказывание 𝑋 истинно, а 𝑌 ложно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼ 4 < 5, и 𝑌 ∼
,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 < 5 или
»
Надо какое-нибудь истинное утверждение...
158

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0
Если высказывание 𝑋 истинно, а 𝑌 ложно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼ 4 < 5, и 𝑌 ∼
,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 < 5 или
»
Теперь надо какое-нибудь ложное утверждение...
159

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0
Если высказывание 𝑋 истинно, а 𝑌 ложно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼ 4 < 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 5,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 < 5 или 2 2
= 5
»
Теперь надо какое-нибудь ложное утверждение...
160

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0
Если высказывание 𝑋 истинно, а 𝑌 ложно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼ 4 < 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 5,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 < 5 или 2 2
= 5
»

Истинно или ложно?
161

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0
Если высказывание 𝑋 истинно, а 𝑌 ложно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 »
Например, если 𝑋 ∼ 4 < 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 5,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 < 5 или 2 2
= 5
» истинно.

Истинно или ложно?
162

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0
Если высказывание 𝑋 истинно, а 𝑌 ложно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 » истинно.
Например, если 𝑋 ∼ 4 < 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 5,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 < 5 или 2 2
= 5
» истинно.
163

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0 1
Если высказывание 𝑋 истинно, а 𝑌 ложно, то высказывание «𝑋 или 𝑌 » истинно.
Например, если 𝑋 ∼ 4 < 5, и 𝑌 ∼ 2 2
= 5,
то высказывание
𝑋 ∨ 𝑌
, т.е. высказывание «4 < 5 или 2 2
= 5
» истинно.
164

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1
Например, высказывание «
или
»
165

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1
Например, высказывание «4 < 5 или
»
166

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1
Например, высказывание «4 < 5 или 2 2
= 4
»
167

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1
Например, высказывание «4 < 5 или 2 2
= 4
» истинно.
168

III.3. Дизъюнкция
Логическая функция дизъюнкция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ∨ 𝑌 ,
логически эквивалентное высказыванию «𝑋 или 𝑌 ».
Логической операции «дизъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция дизъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Например, высказывание «4 < 5 или 2 2
= 4
» истинно.
169

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
170

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Отметим, что высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌
логически экви- валентно высказываниям
«из 𝑋 следует 𝑌 », «𝑋 влечет 𝑌 »,
«из 𝑋 вытекает 𝑌 ».
171

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
172

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
173

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
Если высказывание 𝑋 истинно, то, очевидно, истинность имплика- ции 𝑋 ⇒ 𝑌 определяется истинностью 𝑌 .
174

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
1 1
Если высказывание 𝑋 истинно, то, очевидно, истинность имплика- ции 𝑋 ⇒ 𝑌 определяется истинностью 𝑌 .
175

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
1 0 1
Если высказывание 𝑋 истинно, то, очевидно, истинность имплика- ции 𝑋 ⇒ 𝑌 определяется истинностью 𝑌 .
176

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
1 0 1
Если высказывание 𝑋 истинно, то, очевидно, истинность имплика- ции 𝑋 ⇒ 𝑌 определяется истинностью 𝑌 .
Если посылка 𝑋 истинна, но заключение 𝑌 ложно, то имплика- ция 𝑋 ⇒ 𝑌
177

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
1 0 1
Если высказывание 𝑋 истинно, то, очевидно, истинность имплика- ции 𝑋 ⇒ 𝑌 определяется истинностью 𝑌 .
Если посылка 𝑋 истинна, но заключение 𝑌 ложно, то имплика- ция 𝑋 ⇒ 𝑌 ложна.
178

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
1 0 0
1
Если высказывание 𝑋 истинно, то, очевидно, истинность имплика- ции 𝑋 ⇒ 𝑌 определяется истинностью 𝑌 .
Если посылка 𝑋 истинна, но заключение 𝑌 ложно, то имплика- ция 𝑋 ⇒ 𝑌 ложна.
179

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
1 0 0
1 1
Если высказывание 𝑋 истинно, то, очевидно, истинность имплика- ции 𝑋 ⇒ 𝑌 определяется истинностью 𝑌 .
180

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
1 0 0
1 1
Если высказывание 𝑋 истинно, то, очевидно, истинность имплика- ции 𝑋 ⇒ 𝑌 определяется истинностью 𝑌 .
Если и посылка 𝑋, и заключение 𝑌 истинны, то имплика- ция 𝑋 ⇒ 𝑌
181

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
1 0 0
1 1
Если высказывание 𝑋 истинно, то, очевидно, истинность имплика- ции 𝑋 ⇒ 𝑌 определяется истинностью 𝑌 .
Если и посылка 𝑋, и заключение 𝑌 истинны, то имплика- ция 𝑋 ⇒ 𝑌 истинна.
182

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
1 0 0
1 1 1
Если высказывание 𝑋 истинно, то, очевидно, истинность имплика- ции 𝑋 ⇒ 𝑌 определяется истинностью 𝑌 .
Если и посылка 𝑋, и заключение 𝑌 истинны, то имплика- ция 𝑋 ⇒ 𝑌 истинна.
183

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
1 0 0
1 1 1
Теперь рассмотрим случай, когда посылка 𝑋 ложна.
184

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0
1 0 0
1 1 1
Теперь рассмотрим случай, когда посылка 𝑋 ложна.
185

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0
1 0 0
1 1 1
Теперь рассмотрим случай, когда посылка 𝑋 ложна.
Если заключение 𝑌 тем не менее верно, то импликация 𝑋 ⇒ 𝑌
186

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1 1 0 0
1 1 1
Теперь рассмотрим случай, когда посылка 𝑋 ложна.
Если заключение 𝑌 тем не менее верно, то импликация 𝑋 ⇒ 𝑌
187

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1 1 0 0
1 1 1
Теперь рассмотрим случай, когда посылка 𝑋 ложна.
Если заключение 𝑌 тем не менее верно, то импликация 𝑋 ⇒ 𝑌 истинна.
188

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1 1
1 0 0
1 1 1
Теперь рассмотрим случай, когда посылка 𝑋 ложна.
Если заключение 𝑌 тем не менее верно, то импликация 𝑋 ⇒ 𝑌 истинна.
189

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1 1
1 0 0
1 1 1
Теперь рассмотрим случай, когда посылка 𝑋 ложна.
Осталось понять, верна ли импликация 𝑋 ⇒ 𝑌 , если и посылка 𝑋,
и заключение 𝑌 ложны.
190

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 0 1 1
1 0 0
1 1 1
Верна ли теорема Пифагора «в прямоугольном треугольнике квад- рат длины наибольшей стороны равен сумме квадратов длин других сторон» для равностороннего треугольника?
191

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 0 1 1
1 0 0
1 1 1
Верна ли теорема Пифагора «в прямоугольном треугольнике квад- рат длины наибольшей стороны равен сумме квадратов длин других сторон» для равностороннего треугольника?
Если неверна, то получается, что равносторонний треугольник опровергает теорему Пифагора!
192

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 0 1 1
1 0 0
1 1 1
Верна ли теорема Пифагора «в прямоугольном треугольнике квад- рат длины наибольшей стороны равен сумме квадратов длин других сторон» для равностороннего треугольника?
Если неверна, то получается, что равносторонний треугольник опровергает теорему Пифагора! Нонсенс!
193

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 0 1 1
1 0 0
1 1 1
Верна ли теорема Пифагора «в прямоугольном треугольнике квад- рат длины наибольшей стороны равен сумме квадратов длин других сторон» для равностороннего треугольника?
Значит, надо считать, что для равностороннего треугольника тео- рему Пифагора (теорема «в целом»!) верна!
194

III.4. Импликация
Логическая функция импликация паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇒ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «если 𝑋, то 𝑌 ».
Высказывание 𝑋 называется посылкой, а 𝑌 — заключением.
Логической операции «импликация» соответ- ствует одноименная булева функция импли- кация (но обозначаемая 𝑥 → 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇒ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Утверждение об истинности импликации с ложной посылкой на сленге звучит так: «из лжи следует вс¨е, что угодно».
195

III.5. Эквиваленция
Логическая функция эквиваленция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «𝑋 тогда и только тогда, когда 𝑌 ».
196

III.5. Эквиваленция
Логическая функция эквиваленция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «𝑋 тогда и только тогда, когда 𝑌 ».
Отметим, что высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌
логически эквивалент- но высказываниям «для 𝑋 необходимо и достаточно, чтобы 𝑌 »,
«𝑋 равносильно 𝑌 », «𝑋, если и только если 𝑌 ».
197

III.5. Эквиваленция
Логическая функция эквиваленция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «𝑋 тогда и только тогда, когда 𝑌 ».
Логической операции «эквиваленция» соответ- ствует одноименная булева функция эквива- ленция (но обозначаемая 𝑥 ↔ 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇔ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
198

III.5. Эквиваленция
Логическая функция эквиваленция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «𝑋 тогда и только тогда, когда 𝑌 ».
Логической операции «эквиваленция» соответ- ствует одноименная булева функция эквива- ленция (но обозначаемая 𝑥 ↔ 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇔ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
Если оба высказывания 𝑋 и 𝑌 истинны или оба высказывания 𝑋
и 𝑌 ложны, то очевидно, эквиваленция 𝑋 ⇒ 𝑌 является
199

III.5. Эквиваленция
Логическая функция эквиваленция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «𝑋 тогда и только тогда, когда 𝑌 ».
Логической операции «эквиваленция» соответ- ствует одноименная булева функция эквива- ленция (но обозначаемая 𝑥 ↔ 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇔ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1 1
Если оба высказывания 𝑋 и 𝑌 истинны или оба высказывания 𝑋
и 𝑌 ложны, то очевидно, эквиваленция 𝑋 ⇒ 𝑌 является
200

III.5. Эквиваленция
Логическая функция эквиваленция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «𝑋 тогда и только тогда, когда 𝑌 ».
Логической операции «эквиваленция» соответ- ствует одноименная булева функция эквива- ленция (но обозначаемая 𝑥 ↔ 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇔ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1 1
Если оба высказывания 𝑋 и 𝑌 истинны или оба высказывания 𝑋
и 𝑌 ложны, то очевидно, эквиваленция 𝑋 ⇒ 𝑌 является истинной.
201

III.5. Эквиваленция
Логическая функция эквиваленция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «𝑋 тогда и только тогда, когда 𝑌 ».
Логической операции «эквиваленция» соответ- ствует одноименная булева функция эквива- ленция (но обозначаемая 𝑥 ↔ 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇔ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1
1 1 1
Если оба высказывания 𝑋 и 𝑌 истинны или оба высказывания 𝑋
и 𝑌 ложны, то очевидно, эквиваленция 𝑋 ⇒ 𝑌 является истинной.
202

III.5. Эквиваленция
Логическая функция эквиваленция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «𝑋 тогда и только тогда, когда 𝑌 ».
Логической операции «эквиваленция» соответ- ствует одноименная булева функция эквива- ленция (но обозначаемая 𝑥 ↔ 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇔ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1
1 1 1
Если одно из высказываний 𝑋, 𝑌 истинно, а другое ложно, то оче- видно, эквиваленция 𝑋 ⇒ 𝑌 является
203

III.5. Эквиваленция
Логическая функция эквиваленция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «𝑋 тогда и только тогда, когда 𝑌 ».
Логической операции «эквиваленция» соответ- ствует одноименная булева функция эквива- ленция (но обозначаемая 𝑥 ↔ 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇔ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1
0 1 1 0 1 1 1
Если одно из высказываний 𝑋, 𝑌 истинно, а другое ложно, то оче- видно, эквиваленция 𝑋 ⇒ 𝑌 является
204

III.5. Эквиваленция
Логическая функция эквиваленция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «𝑋 тогда и только тогда, когда 𝑌 ».
Логической операции «эквиваленция» соответ- ствует одноименная булева функция эквива- ленция (но обозначаемая 𝑥 ↔ 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇔ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1
0 1 1 0 1 1 1
Если одно из высказываний 𝑋, 𝑌 истинно, а другое ложно, то оче- видно, эквиваленция 𝑋 ⇒ 𝑌 является ложной.
205

III.5. Эквиваленция
Логическая функция эквиваленция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «𝑋 тогда и только тогда, когда 𝑌 ».
Логической операции «эквиваленция» соответ- ствует одноименная булева функция эквива- ленция (но обозначаемая 𝑥 ↔ 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇔ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Если одно из высказываний 𝑋, 𝑌 истинно, а другое ложно, то оче- видно, эквиваленция 𝑋 ⇒ 𝑌 является ложной.
206

III.5. Эквиваленция
Логическая функция эквиваленция паре высказываний 𝑋 и 𝑌
сопоставляет высказывание 𝑋 ⇔ 𝑌 ,
логически эквивалент- ное высказыванию «𝑋 тогда и только тогда, когда 𝑌 ».
Логической операции «эквиваленция» соответ- ствует одноименная булева функция эквива- ленция (но обозначаемая 𝑥 ↔ 𝑦 по сравнению с логической функцией 𝑋 ⇔ 𝑌 ), которую можно задать таблицей истинности:
𝑥 𝑦 𝑥 → 𝑦
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Очевидно, что эквиваленция является отрицанием «исключающего
ИЛИ», т.е. отрицанием к высказыванию «либо 𝑋, либо 𝑌 ».
207

III.6. Элементарные булевы и логические функции
𝑥 𝑦 ¬𝑥 = 𝑥 𝑥&𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦 𝑥 → 𝑦 𝑥 ↔ 𝑦
0 0 1
0 0
1 1
0 1 1
0 1
1 0
1 0 0
0 1
0 0
1 1 0
1 1
1 1
¬𝑋
∼
𝑋
∼
«НЕ 𝑋»;
𝑋&𝑌
∼
𝑋 ∧ 𝑌
∼
«𝑋 И 𝑌 »;
𝑋 ∨ 𝑌
∼
«𝑋 ИЛИ 𝑌 »;
𝑋 ⇒ 𝑌
∼
«ЕСЛИ 𝑋, ТО 𝑌 »;
𝑋 ⇔ 𝑌
∼
«𝑋 ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА 𝑌 ».
Восстановление высказывания 𝑋 по его логическому значению 𝑥:
𝑋
∼
𝑥 = 1.
(1)
208

IV. Отрицания к базовым логическим функциям
1) ¬ (¬𝑥) = 𝑥;
2) ¬ (𝑥&𝑦) = ¬ (𝑥 ∧ 𝑦) = (¬𝑥) ∨ (¬𝑦) :
}︂
законы
3) ¬ (𝑥 ∨ 𝑦) = (¬𝑥)&(¬𝑦) = (¬𝑥) ∧ (¬𝑦) : де-Моргана;
4) ¬ (𝑥 → 𝑦) = (¬𝑥) ∨ 𝑦;
5) ¬ (𝑥 ↔ 𝑦) = ((¬𝑥) ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ (¬𝑦)) .
209

V. Предикаты и кванторы
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
210

V. Предикаты и кванторы
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Например, значение высказывания 𝑥 < 0 определяется значением переменной 𝑥:
при 𝑥 = 3 высказывание 𝑥 < 0 является
211

V. Предикаты и кванторы
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Например, значение высказывания 𝑥 < 0 определяется значением переменной 𝑥:
при 𝑥 = 3 высказывание 𝑥 < 0 является ложным;
212

V. Предикаты и кванторы
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Например, значение высказывания 𝑥 < 0 определяется значением переменной 𝑥:
при 𝑥 = 3 высказывание 𝑥 < 0 является ложным;
при 𝑥 = −5 высказывание 𝑥 < 0 является истинным;
213

V. Предикаты и кванторы
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Например, значение высказывания 𝑥 < 0 определяется значением переменной 𝑥:
при 𝑥 = 3 высказывание 𝑥 < 0 является ложным;
при 𝑥 = −5 высказывание 𝑥 < 0 является истинным;
при 𝑥 = 0 высказывание 𝑥 < 0 является ложным.
214

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
215

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Есть и принципиально другая трактовка понятия «предикат»: по- скольку в логике важна только истинность или ложность высказы- вания 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
(
остальными характеристиками мы пре- небрегаем), то предикатом («предикатом-функцией») на множестве
Ω
1
× Ω
2
× . . . Ω
n называют ещ¨е и функцию 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
216

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Есть и принципиально другая трактовка понятия «предикат»: по- скольку в логике важна только истинность или ложность высказы- вания 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
(
остальными характеристиками мы пре- небрегаем), то предикатом («предикатом-функцией») на множестве
Ω
1
× Ω
2
× . . . Ω
n называют ещ¨е и функцию 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
217

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Здесь 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
) = 1
означает истинность высказыва- ния 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, а 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
) = 0
мы трактуем как лож- ность высказывания 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
218

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Например, для 𝒫(𝑥) ∼ «𝑥 < 0» имеем:
𝑝(𝑥) =
219

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Например, для 𝒫(𝑥) ∼ «𝑥 < 0» имеем:
𝑝(𝑥) =
{︂ 0,
если 𝑥 > 0,
1,
если 𝑥 < 0.
220

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Например, для 𝒫(𝑥) ∼ «𝑥 < 0» имеем:
𝑝(𝑥) =
{︂ 0,
если 𝑥 > 0,
1,
если 𝑥 < 0.
-
𝑥
6
𝑝
1 1
221

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Например, для 𝒫(𝑥) ∼ «𝑥 < 0» имеем:
𝑝(𝑥) =
{︂ 0,
если 𝑥 > 0,
1,
если 𝑥 < 0.
-
𝑥
6
𝑝
1 1
b
222

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Например, для 𝒫(𝑥) ∼ «𝑥 < 𝑦» имеем:
𝑝(𝑥, 𝑦) =
223

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Например, для 𝒫(𝑥) ∼ «𝑥 < 𝑦» имеем:
𝑝(𝑥, 𝑦) =
{︂ 0,
если 𝑥 > 𝑦,
1,
если 𝑥 < 𝑦.
224

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Например, для 𝒫(𝑥) ∼ «𝑥 < 𝑦» имеем:
𝑝(𝑥, 𝑦) =
{︂ 0,
если 𝑥 > 𝑦,
1,
если 𝑥 < 𝑦.
𝑥
-
𝑦
6
𝑝
1 225

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Например, для 𝒫(𝑥) ∼ «𝑥 < 𝑦» имеем:
𝑝(𝑥, 𝑦) =
{︂ 0,
если 𝑥 > 𝑦,
1,
если 𝑥 < 𝑦.
𝑥
-
𝑦
6
𝑝
1
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
𝑦 = 𝑥
226

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Например, для 𝒫(𝑥) ∼ «𝑥 < 𝑦» имеем:
𝑝(𝑥, 𝑦) =
{︂ 0,
если 𝑥 > 𝑦,
1,
если 𝑥 < 𝑦.
𝑥
-
𝑦
6
𝑝
1
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
𝑦 = 𝑥
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
𝑥 > 𝑦 ⇒ 𝑝 = 0 227

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Например, для 𝒫(𝑥) ∼ «𝑥 < 𝑦» имеем:
𝑝(𝑥, 𝑦) =
{︂ 0,
если 𝑥 > 𝑦,
1,
если 𝑥 < 𝑦.
𝑥
-
𝑦
6
𝑝
1
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
𝑦 = 𝑥
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
𝑥 > 𝑦 ⇒ 𝑝 = 0
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑝 = 1 228

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Например, для 𝒫(𝑥) ∼ «𝑥 < 𝑦» имеем:
𝑝(𝑥, 𝑦) =
{︂ 0,
если 𝑥 > 𝑦,
1,
если 𝑥 < 𝑦.
𝑥
-
𝑦
6
𝑝
1
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
𝑦 = 𝑥
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
𝑥 > 𝑦 ⇒ 𝑝 = 0
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑝 = 1
pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp
229

V.1. Предикат-высказывание и предикат-функция
Если истинность (и ложность) высказывания 𝒫 определяется значениям и некоторых параметров 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
, говорят, что за- дан предикат 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
Высказыванию 𝒫 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, где 𝑥
𝑖
∈ Ω
𝑖
соответствует предикат («предикат-функция») 𝑝 (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)
, область значений которой включается во множество {0; 1}.
Например, для 𝒫(𝑥) ∼ «𝑥 < 𝑦» имеем:
𝑝(𝑥, 𝑦) =
{︂ 0,
если 𝑥 > 𝑦,
1,
если 𝑥 < 𝑦.
𝑥
-
𝑦
6
𝑝
1
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
𝑦 = 𝑥
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
𝑥 > 𝑦 ⇒ 𝑝 = 0
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑝 = 1
pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp pppp pppp pp
230

V.2. Кванторы
Для того, чтобы в формуле, использующей кванторы, зафиксиро- вать некоторую информацию о переменных, применяются специаль- ные символы, называемые кванторы.
231

V.2. Кванторы
Для того, чтобы в формуле, использующей кванторы, зафиксиро- вать некоторую информацию о переменных, применяются специаль- ные символы, называемые кванторы.
В математике чаще всего используется два квантора.
232

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
Для того, чтобы в формуле, использующей кванторы, зафиксиро- вать некоторую информацию о переменных, применяются специаль- ные символы, называемые кванторы.
В математике чаще всего используется два квантора.
233

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
Для того, чтобы в формуле, использующей кванторы, зафиксиро- вать некоторую информацию о переменных, применяются специаль- ные символы, называемые кванторы.
В математике чаще всего используется два квантора.
Символ ∀ обычно воспринимается как перевернутая латинская бук- ва «A» из слова «All» (все).
234

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Для того, чтобы в формуле, использующей кванторы, зафиксиро- вать некоторую информацию о переменных, применяются специаль- ные символы, называемые кванторы.
В математике чаще всего используется два квантора.
Символ ∀ обычно воспринимается как перевернутая латинская бук- ва «A» из слова «All» (все).
235

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Для того, чтобы в формуле, использующей кванторы, зафиксиро- вать некоторую информацию о переменных, применяются специаль- ные символы, называемые кванторы.
В математике чаще всего используется два квантора.
Символ ∀ обычно воспринимается как перевернутая латинская бук- ва «A» из слова «All» (все).
Символ ∃ обычно воспринимается как перевернутая латинская бук- ва «E» из слова «to exist» (существовать).
236

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Таким образом, формула ∀𝑥 𝑥
2
> 0
читается так:
237

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Таким образом, формула ∀𝑥 𝑥
2
> 0
читается так:
для любого 𝑥
238

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Таким образом, формула ∀𝑥 𝑥
2
> 0
читается так:
для любого 𝑥 𝑥
2
> 0 239

V.2. Кванторы
∀
называется квантором всеобщности,
и читается как «для любого...»;
∃
называется квантором существования,
и читается как «существует...», «найд¨ется».
Таким образом, формула ∀𝑥 𝑥
2
> 0
читается так:
для любого 𝑥 𝑥
2
> 0