Основы_вектан. Учебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ
 Скачать 1.02 Mb.
|
|
Нижегородский государственный университет им. НИ. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии» Основная образовательная программа 011200 Физика, общий профиль, квалификация (степень) бакалавр Учебно-методический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ Малышев АИ, Максимова ГМ. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ФИЗИКОВ Электронное учебно-методическое пособие Мероприятие 1.2. Совершенствование образовательных технологий, укрепление материаль- но-технической базы учебного процесса Нижний Новгород 2012 ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ФИЗИКОВ. Малышев АИ, Максимова ГМ. Электронное учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород Нижегородский госуниверситет, 2012. – 101 с. Настоящее учебно-методическое пособие посвящено изложению основ векторного и тензорного анализа для физиков в объёме, необходимом для решения задач классической механики, электродинамики, кристаллографии. Изложение теории всюду проиллюстрировано примерами. Пособие содержит также задачи для самостоятельного решения. Электронное учебно-методическое пособие предназначено для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 011200 Физика, изучающих курс Векторный и тензорный анализа также для студентов, обучающихся по направлениям 210100 Электроника и наноэлектроника», 230400 Информационные системы и технологии и 222900 «Нанотехнологии и микросистемная техника, изучающих курс Линейная алгебра, векторный и тензорный анализ. Предисловие В настоящий момент было бы крайне трудно представить себе многие разделы современной физики – электродинамику, гидродинамику, теорию относительности, теорию упругости и т.д. – без тензорного исчисления. Причиной тому является, безусловно, стремление более рационально организовать соответствующую область науки. В свою очередь это приводит к необходимости глубокого изучения тензорного анализа, как специфического и при этом универсального языка математики. Отдельная учебная дисциплина Векторный и тензорный анализ была введена в программу в 1971 году. В настоящее время, как и ранее, целью курса остается вовсе не стремление к строгости формулировок, определений и доказательства овладение навыками практической работы с тензорными величинами до степени, достаточной для того, чтобы относиться к ним как к обычному рабочему инструменту современного исследователя. Первая глава настоящего пособия служит в основном для повторения операций над векторами. Глава вторая полностью посвящена тензорной алгебре. Вопросы, связанные с практическими приложениями тензорного исчисления кряду задач механики и электродинамики, изложены в третьей главе. И, наконец, завершается пособие изложением вопросов, связанных с тензорными полями, действующими на них дифференциальными операторами, интегральными теоремами векторного анализа, а также работой в криволинейных ортогональных системах координат. Список литературы, приведённый в конце, содержит основные книги, в которых в той или иной форме содержится изложение основ тензорного исчисления с соответствующими иллюстрациями. Следует отметить, что, несмотря на то, что издана эта литература около 30-50 лет назад, она не потеряла своей актуальности и на настоящий момент. 4 I. Векторная алгебра § 1. Векторное пространство, его размерность и базис Понятие вектора как направленного отрезка знакомо многим ещё со школьной скамьи. С другой стороны, следует иметь ввиду, что сточки зрения математики векторами могут быть названы самые разные объекты, весьма дал кие от отрезка со стрелочкой. Рассмотрим множество V элементов a, b, c... и определим на нём две операции сложения и умножения на число. Что касается сложения, то будем требовать, чтобы для каждой пары элементов a и b множество V содержало бы и их сумму a + b, причем 1). a + b = b + a, 3). a + (b + c) = (a + b) + c, 2). a + 0 = a, 4). a + (– a) = где 0 – так называемый нулевой элемент множества. Что касается операции умножения на число, то будем требовать, чтобы для любого элемента а множества V и любого числа α множество V содержало бы и элемент αa, причем 5).(αβ) a = α (βa) , 7).(α + β) a = αa + βa , 6).α (a + b) = αa + αb , 8).1 ⋅ a = a . Определение Любое множество элементов, на котором введены операции сложения и умножения на число, обладающие восемью перечисленными выше свойствами, образует линейное векторное пространство. При этом сами элементы множества называют векторами. Заметим, что говоря о сложении элементов множества и умножении их на число, следует помнить, что эти действия требуют своего определения в каждом конкретном случае. Так для векторов как направленных отрезков (их мы также будем иногда называть геометрическими векторами) операция сложения определяется правилом параллелограмма, а умножение на действительное число сказывается на длине вектора и, возможно, направлении (в случае отрицательного множителя. Остановимся также ещё на двух примерах векторных пространств, к которым будем обращаться впоследствии. ☺ Пример 1. Согласно определению, векторное пространство образует множество полиномов степени не выше n ( ) n n x c x c x c c x P + + + + = K 2 2 1 0 , заданных на отрезке x ∈[a, b]. Действительно, результатом сложения двух таких полиномов является также полином степени, не превышающей n. Роль нулевого элемента множества играет полином, все коэффициенты которого равны нулю. Приумножении на произвольный коэффициент элементы множества остаются, по-прежнему, полиномами со степенью не выше n, причём свойства 5-8, очевидно, также выполняются. ☺ Пример 2. Множество действительных матриц 2 ×2 также образует векторное пространство, т.к. алгебраическая сумма двух таких матриц – тоже матрица 2 ×2, те. элемент того же множества, причём свойства 1 и 3, очевидно, выполняются для любого элемента множества вида существует элемент ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − d c b a , сумма с которым даёт нулевой элемент – матрицу с нулевыми компонентами легко убедиться, что выполняются также и свойства 5-8, касающиеся операции умножения на число. Определение N векторов a 1 , a 2 , ..., a N называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору α 1 a 1 + α 2 a 2 + … + α N a N = 0. Если же из равенства линейной комбинации векторов нулевому вектору следует, что она тривиальна, векторы называются линейно независимыми. Напомним, что линейная комбинация называется тривиальной, если все её коэффициенты α i равны нулю α 1 = α 2 = ... = α N = 0. Если же хотя бы один коэффициент ненулевой, линейная комбинация нетривиальна. Из определения есть несколько следствий. Следствие Если N векторов линейно зависимы, то один из них может быть представлен в виде линейной комбинации всех остальных векторов. Доказательство. Пусть векторы a 1 , a 2 , ..., a N линейно зависимы, те. α 1 a 1 + α 2 a 2 + … + α N a N = 0, причём пусть здесь α 1 ≠ 0. Тогда, разделив обе части равенства на α 1 , получим N a a a 1 1 2 α α α α N − − − = 2 1 , что и требовалось доказать. Следствие 2. Если из N векторов часть линейно зависимы, то все векторы линейно зависимы. Доказательство. Пусть из N векторов a 1 , a 2 , ..., линейно зависимыми являются и a 2 : α 1 a 1 + α 2 a 2 = 0, где 2 2 Рассмотрим следующую линейную комбинацию + α 2 a 2 + 0a 3 + ... + 0a N Очевидно, она равна нулевому вектору и при этом является нетривиальной, следовательно, векторы a 1 , a 2 , ..., a N линейно зависимы. Следствие 3. Если среди N векторов есть хотя бы один нулевой, то все векторы линейно зависимы. Доказательство Пусть из N векторов a 1 , a 2 , ..., a N один является нулевым, например. Рассмотрим следующую линейную комбинацию +0a 2 + 0a 3 + ... + 0a N , где α 1 ≠ 0. Очевидно, она равна нулевому вектору и при этом является нетривиальной, следовательно, векторы a 1 , a 2 , ..., a N линейно зависимы. Проиллюстрируем понятие линейной зависимости/независимости векторов на примерах векторов различного типа. ☺ Пример 3. Два коллинеарных вектора линейно зависимы. Действительно, если векторы ar и b r коллинеарны, то b k a r r = , те. 0 r r r = − b k a . Получили нетривиальную линейную комбинацию, равную нулевому вектору. Очевидно, верно и обратное утверждение два линейно зависимых вектора коллинеарны. Три коллинеарных вектора линейно зависимы, т.к. линейно зависимы уже два из них. Два неколлинеарных вектора линейно независимы. Для доказательства предположим обратное пусть два вектора неколлинеарны и при этом линейно зависимы. Однако, как уже отмечалось, линейная зависимость двух векторов означает их коллинеарность, что и приводит к противоречию. Таким образом, два неколлинеарных вектора линейно независимы. ☺ Пример 4. Три компланарных вектора линейно зависимы. Действительно, если векторы ar , b r и cr компланарны, то b a c r r r β α + = , те. 0 r r r r = − − b a c β α . Получили нетривиальную линейную комбинацию, равную нулевому вектору. Очевидно, верно и обратное утверждение три линейно зависимых вектора компланарны. Также, подобно обсуждавшемуся в предыдущем примере, методом от противного можно доказать, что три некомпланарных вектора линейно независимы. ☺ Пример 5. Среди множества действительных квадратных матриц 2 ×2 четыре элемента ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 1 , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 0 , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1 0 0 , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 являются линейно независимыми. Действительно, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ δ γ β α δ γ β α 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , а последняя матрица может быть нулевой только лишь при условии, что α = β = = γ = δ = 0. Те. из равенства данной линейной комбинации нулевому элементу множества следуете тривиальность. 8 ☺ Пример 6. Рассматривая уже знакомое множество полиномов степени не выше n, в нём также можно выделить линейно независимые элементы. Так, возьмём для начала набор из трёх полиномов вида ( ) 1 0 = x E , ( ) x x E = 1 , ( ) 2 и докажем их линейную независимость. Сделаем это методом от противного предположим существование их нетривиальной линейной комбинации, тождественно равной нулю 0 ) ( ) ( ) ( 2 или в явном виде 0 Поскольку тождество выполняется при любом значении аргумента x, равенство не должно нарушиться, если обе его части дважды продифференцировать. В результате получим следующую систему равенств ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = + + , 0 2 , 0 2 , 0 которую можно понимать как однородную систему линейных уравнений относительно параметров α, β и γ. Нетрудно заметить, что решение такой системы тривиально 0 = = = γ β α , что противоречит сделанному изначально предположению. Таким образом, выбранные нами полиномы линейно независимы. Обобщая полученный результат, можно доказать, что все полиномы вида ( ) i i x x E = (где i = 0, …, n) из этого множества являются линейно независимыми. Определение Размерностью векторного пространства называется максимальное число линейно независимых векторов. Определение Базисом векторного пространства размерности N называется любая совокупность N линейно независимых векторов. Пусть векторы a 1 , a 2 , ..., a N образуют базис векторного пространства V. Его размерность равна N. Тогда при добавлении к данной совокупности N векторов произвольного вектора b из множества V векторы (в количестве N + 1) становятся линейно зависимыми. Отсюда следует, что вектор b может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Докажем это. Итак, набор векторов a 1 , a 2 , ..., a N – базис векторного пространства V, и b – произвольный вектор из этого пространства. Уравнение α 0 b + α 1 a 1 + … + α N a N = 0 должно иметь нетривиальное решение, т.к. рассматривается совокупность из N + 1 вектора в мерном пространстве. Важно то, что здесь α 0 ≠ 0, в противном случае все остальные коэффициенты также должны были бы равняться нулю, поскольку векторы a 1 , a 2 , ..., a N линейно независимы. Разделим равенство на и получим искомое разложение вектора b в данном базисе N a a b N β β + + = 1 1 , где коэффициенты 0 1 α α β − = i называются координатами (или компонентами) вектора b в данном базисе. Докажем далее, что найденное разложение определяется единственным образом. Доказательство произведём методом от противного, предположив, что в том же базисе существует ещё одно разложение вектора b: N a a b N β β ′ + + ′ = 1 Вычитая из первого разложения второе, приходим к следующему равенству ( ) ( ) N a a N N β β β β ′ − + + ′ − = 1 Поскольку векторы a 1 , a 2 , ..., a N линейно независимы, а эта их линейная комбинация равна нулевому вектору, она тривиальна. Таким образом, i i β β = ′ , те. оба разложения вектора b в данном базисе совпадают. Следовательно, произвольный вектор множества раскладывается по базису единственным образом. Ограничимся далее рассмотрением пространства действительных векторов и определим их скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением действительных векторов a и b называется число, ставящееся в соответствие данной паре векторов, обозначаемое ( a, b) или a ⋅b, которое удовлетворяет следующим условиям 10 1). ( ) ( ) a b b a , , = , 3). ( ) ( ) b a b a , , α α = , где R ∈ α , 2). ( ) ( ) ( ) c b c a c b a , , , + = + , 4). ( ) 0 , > a a при 0 ≠ a , ( при Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Определение. Длиной (или модулем) вектора a называется положительное значение квадратного корня из скалярного произведения вектора a самогона себя Если модуль вектора равен единице, то сам вектор называется единичным. Как отмечалось выше, базисом векторного пространства размерности N может служить любая совокупность из N линейно независимых векторов. Однако из всех возможных базисных систем наиболее удобной является так называемая ортонормированная базисная система – та, в которой векторы базиса e i (i = 1, …, N) являются единичными и ортогональными друг другу. Коротко это записывается так ( ) ij j i δ = e e , , где ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = j i j i ij если , 1 если , 0 δ Здесь δ ij – символ Кронекера, названный так в честь немецкого математика Леопольда Крóнекера (1823-1891). На возможность построения такого базиса указывает следующая теорема. Теорема. Из всякой совокупности m линейно независимых векторов a 1 , a 2 , ..., a m можно построить совокупность m линейно независимых единичных ортогональных друг другу векторов e 1 , e 2 , ..., Доказательство. Возьмём в качестве вектора e 1 следующее выражение 1 Очевидно, вектор e 1 – единичный. Рассмотрим теперь вектор ( ) 1 1 2 2 2 , e e a a e ⋅ − = ′ Нетрудно убедиться, что ( ) 0 , 1 2 = ′ e e , те. новый вектор ортогонален e 1 . Тогда построим из него единичный вектор 2 2 2 e e e ′ ′ = . Вектор, ортогональный e 1 и e 2 , определим следующим выражением ( ) ( ) 2 2 3 1 1 3 3 3 , , e e a e e a a e ⋅ − ⋅ − = ′ Отнормировав его, получим третий искомый вектор 3 Повторное выполнение аналогичной процедуры позволит найти ортонормированную совокупность векторов e 1 , e 2 , ..., e m , каждый из которых выражается через a 1 , a 2 , ..., a m . Теорема доказана. Координаты вектора в произвольном базисе найти, вообще говоря, не очень просто необходимо решить систему из N линейных уравнений. В случае ортонормированного базиса эта задача заметно проще. Действительно, возьмём разложение произвольного вектора а в ортонормированном базисе и умножим обе части равенства скалярно на базисный вектор e j : Скалярное произведение в правой части может быть преобразовано к виду ( ) j N i ji i N i i j i N i i i j a a a a = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∑ ∑ = = = 1 Таким образом, координаты вектора а в ортонормированном базисе e i находятся согласно соотношению ( ) a e , i i a = . (1) Нетрудно также выразить скалярное произведение двух векторов через их компоненты в ортонормированном базисе. Действительно, ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = N i i i N i N j ij j i N j i ij j i N j i j i j i N j j j N i i i b a b a b a b a b a 1 1 1 1 , 1 , 1 Следует заметить, что в этой цепочке преобразований значки суммирова- ний привели лишь загромождению записи. Дело в том, что они не несли на себе 12 какой-либо полезной информации, поскольку изначально было известно, что размерность пространства равна N и, соответственно, суммирование пои идёт по всему базису – от 1 до N. Так нельзя ли совсем не писать значки суммирования, подразумевая их присутствие, где это необходимо Оказывается, можно Именно для таких целей и было сформулировано следующее правило. Правило Эйнштейна По всякому индексу, повторяющемуся в выражении дважды, подразумевается суммирование, а знак суммы опускается. С помощью этого правила удается сократить запись многих формул и соотношений. Так, например, последняя цепочка преобразований с учётом данного правила приобретает следующий вид ( Она не потеряла своей информативности и стала гораздо компактнее. При использовании правила Эйнштейна следует иметь ввиду, что от наименования индекса суммирования результат суммы не зависит, те. индекс суммирования можно обозначить любой буквой, за исключением тех, что уже используются в выражении, поэтому ( ) ( ) j j i i b a e e b a , , = – правильно, ( ) ( ) i i i i b a e e b a , , = – неправильно. В абсолютном большинстве случаев в выражениях не может встретиться бόльшего числа индексов суммирования, чем два. В тех редких ситуациях, когда это не так, значок суммирования используется явно. Таким образом, при аккуратном использовании сформулированное правило не может привести к недоразумениям. В заключение раздела приведём несколько примеров, касающихся базисов векторных пространств различных типов. ☺ Пример 7. Множество геометрических векторов на плоскости двумерно, а базисом может служить любая пара неколлинеарных векторов. Трёхмерное векторное пространство образует множество геометрических векторов в объё- ме; базис при этом – произвольная тройка некомпланарных векторов. Скалярное произведение геометрических векторов определяется, как известно, через произведение их модулей на косинус угла между ними. Нетрудно убедиться, что при этом выполняются все требования, предъявляемые к операции скалярного произведения. В смысле такого определения базис векторов i r , j r , k r является ортонормированным, поскольку 1 = = = k j i r r r и ( ) ( ) = = k j j i r r r r , , ( ) 0 , = = i k r r ☺ Пример 8. Множество действительных квадратных матриц 2 ×2 четырёхмерно, а базисом могут служить четыре элемента этого множества ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 1 , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 0 , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1 0 0 , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 Скалярное произведение таких векторов – матриц 2 ×2 – можно определить так 4 4 3 3 2 2 1 1 4 3 2 1 4 3 2 В этом смысле предложенный базис является ортонормированным. ☺ Пример 9. Уже знакомое множество действительных полиномов степени не выше n, заданных на отрезке x ∈[a, b], ( ) n n x c x c x c c x P + + + + = K 2 2 1 имеет размерность n + 1. В качестве базиса можно выбрать следующий набор линейно независимых полиномов ( ) 1 0 = x E , ( ) x x E = 1 , ( ) 2 2 x x E = , ..., ( Скалярное произведение векторов-полиномов обычно определяют через интеграл от их произведения ( ) ∫ = b a dx x P x P x P x P ) ( ) ( ) ( ), ( 2 1 2 Нетрудно убедиться тогда, что предложенный базис ( ) i i x x E = не является ни нормированным, ни ортогональным. Построение ортонормированного базиса на основе набора линейно независимых векторов ( ) x E i возможно с использованием алгоритма, сформулированного при доказательстве приведённой выше теоремы. Так, возьмём в качестве первого базисного вектора единичный вектор ( ) x e 0 : ( ) ( ) ( ) ( ) a b x e x E x E x e − = ⇒ = 1 0 0 Второй вектор будем искать в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a x x e x e x e x E x E x e − − = ′ ⇒ ⋅ − = ′ 2 2 1 , 1 0 0 1 1 1 , что после нормировки примет вид ( ) ( ) ( ) x b a a b x e 2 3 2 Действуя согласно алгоритму, третий вектор ищем в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ ⋅ − ⋅ − = ′ x e x e x E x e x e x E x E x e 1 1 2 0 0 2 2 2 , , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 6 6 После нормировки найдём: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 2 6 6 4 Аналогично можно получить и все остальные (до e n (x)) ортонормированные векторы-полиномы. |