Основы_вектан. Учебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ
 Скачать 1.02 Mb.
|
|
§ 2. Вектор как направленный отрезок. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Рассмотрим далее множество геометрических векторов в трёхмерном пространстве. Как уже говорилось, базисом в таком случае могут служить любые три некомпланарных вектора, однако чаще используется ортонормированный базис, образованный векторами i r , j r и Рис. 1. Ранее уже отмечалось, что скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их модулей на косинус угла между ними ( ) ∧ ⋅ ⋅ = b a b a b a r r r r r r , cos , . (2) Векторным произведением векторов ar и cr называется вектор, обозначаемый, или c a r r × , длина которого определяется соотношением [ ] ∧ ⋅ ⋅ = c a c a c a r r r r r r , sin , , (3) а направление – по правилу правого винта оно совпадает с направлением движения правого винта, вращаемого от первого вектора ar ко второму cr по кратчайшему пути. Векторное произведение удобно представлять в виде определителя) Среди полезных свойств векторного произведения следует отметить следующие модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на двух векторах-сомножителях; необходимыми достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения если рассматривать векторные произведения различных пар базисных векторов, то нельзя не отметить определённую симметрию [ ] k j i r r r = , , [ ] i k j r r r = , , [ ] j i k r Наряду с определениями скалярного и векторного произведений пар векторов можно определить и произведения троек векторов – смешанное произведение и двойное векторное произведение. Смешанным произведением трёх векторов ar , b r и cr называется скалярная величина ( ) c b a r r r , , , определяемая как Рис. 2. 16 ( ) [ ] ( ) , , , , c b a c b a r r r r r r = . (5) Смешанное произведение удобно изображать в виде определителя [ ] ( ) 3 2 1 3 2 1 3 2 1 , , c c c b b b a a a c b a = r r r . (6) Среди его свойств необходимо отметить следующие с точностью до знака смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного натр х векторах-сомножителях; необходимыми достаточным условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения при перестановке любой пары векторов в смешанном произведении оно меняет знак, при циклической перестановке сомножителей знак не меняется. Также необходимо отметить важный факт ( ) 1 , , = k j i r r r , (7) поэтому говорят, что векторы i r , j r и k r образуют правую тройку векторов. В случае левой тройки подобное смешанное произведение равно –1. Под двойным векторным произведением трёх векторов принято понимать вектор, определяемый как [ ] [ ] c b a r r r , , . Для него справедливо следующее соотношение) Это соотношение известно также под названием бац минус цаб». Его можно доказать, расписав покомпонентно обе части равенства, а также используя выражения для скалярного и векторного произведений векторов через их координаты. Иное доказательство данного соотношения будет дано в следующей главе. Преобразования компонент векторов при повороте декартовой системы координат Пусть в исходном ортонормированном базисе 1 er , 2 er , 3 er координаты вектора ar равны соответственно и a 3 , те. верно равенство n n e a a r r = . Осуществим поворот системы координат вокруг некоторой оси, в результате получим новый базис, построенный на векторах 1 e′ r , 2 e′ r , 3 e′ r . В новой системе координат будет иметь место аналогичное разложение k k e a a ′ ′ = r r . Возникает вопрос о связи между координатами вектора в старом и новом базисах. Согласно (1) ( ) a e a i i r r ,′ = ′ . Подставляя в данное равенство разложение вектора ar по старому базису, получим ( ) ( ) ( ) j ij j j i j j i i i a a e e e a e a e a α = ′ = ′ = ′ = ′ r r r r r r , , , , те. j ij i a a α = ′ (9) Здесь введена матрица поворота ( ) j i ij e e r r ,′ = α . В силу того, что векторы старого и нового базисов единичные, компонентами матрицы поворота являются косинусы углов между ними ( ) ∧ ∧ ′ = ′ ⋅ ⋅ ′ = ′ = j i j i j i j i ij e e e e e e e e r r r r r r r r , cos , cos , α . (10) Сами векторы старого и нового базисов связаны между собой также посредством матрицы поворота j ij i e e r r α = ′ . (11) Для доказательства этого соотношения домножим обе его части скалярно на вектор k er , получим ( ) ( ) k j ij k i e e e e r r r r , , α = ′ fl ( ) ( ) k j ij k i e e e e r r r r , , α = ′ fl ( ) jk ij k i e e δ α = ′ r r , fl ( ) ik k i e e α = ′ r r , , а последнее равенство совпадает с определением матрицы поворота. Выясним теперь, как ортонормированность старого и нового базисов сказывается на свойствах матрицы поворота. Для этого с помощью (11) рассчитаем скалярное произведение двух векторов нового базиса Рис. 3. 18 ( ) ( ) ( ) jk ik km jm ik m k jm ik m jm k ik j i e e e e e e α α δ α α α α α α = = = = ′ ′ r r r r r С другой стороны, известно, что ( ) ij j i e e δ = ′ ′ r r , . Тогда получаем равенство ij jk ik δ α α = . (12) Последнее соотношение удобно представить также в матричной форме. Преобразуем для этого левую часть равенства В результате можем записать ( ) ij ij T δ α α = ⋅ fl I T = ⋅ α α (13) Отсюда следует, что матрицей, обратной матрице поворота, является транспонированная матрица T α α = − 1 (14) Умножая (13) слева на матрицу T α , можем получить равенство I T = ⋅ α α , расписывая которое по компонентам, получим ( ) ij ij T δ α α = ⋅ fl ij kj T ik δ α α = ⋅ fl ij kj ki δ α α = ⋅ . (15) Последнее соотношение аналогично (12) и отличается лишь порядком индексов оно бывает удобно при решении задач. Полученное ранее соотношение (9) выражает собой закон прямого преобразования координат вектора – от старого базиса к новому. В заключение раздела выведем закон обратного преобразования, для чего обе части равенства (9) умножим на ik α : j ij ik i ik a a α α α = ′ fl j kj i ik a a δ α = ′ fl k i ik a a = ′ α fl i T ki k a a ′ = α (16) Как и следовало ожидать, обратное преобразование осуществляется посредством обратной матрицы – транспонированной матрицы поворота. ☺ Пример 10. Докажем, что при произвольном повороте декартовой системы координат скалярное произведение векторов не изменяется. Для этого придётся воспользоваться законом прямого преобразования (9), а также свойством матрицы поворота (15): 19 ( ) ( ) b a b a b a b a b a b a b a k k k j jk k j ik ij k ik j ij i i r r r Поскольку ( ) a a a r r r , = , то отсюда, в частности, следует, что модуль вектора также является инвариантом по отношению к поворотам системы координат. ☺ Пример 11. Построим матрицу поворота системы координат вокруг осина угол φ. По определению ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 , cos , cos , cos , cos , cos , cos , cos , cos , cos e e e e e e e e e e e e e e e e e e r r r r r r r r r r r r r r r r r При повороте вокруг осина угол φ (см. рис. 4) будет ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ α z ☺ Пример 12. Решим теперь следующую задачу. Пусть в некоторой системе координат K известны компоненты вектора { } 2 , 2 , 0 = ar . В системе K′, полученной из K поворотом на 45 ° вокруг оси z, известны компоненты вектора { } 1 , 2 1 , 2 1 + − = ′ cr . Найти скалярное произведение этих векторов. Как было показано в примере 10, скалярное произведение не зависит от системы координат, поэтому в данной задаче возможны два пути решения можно посредством обратного преобразования найти компоненты вектора cr в системе координат K и вычислить скалярное произведение ( ) c a r r, или же найти, сделав прямое преобразование, компоненты вектора a′ r в системе K′ и вычислить скалярное произведение ( ) c a ′ ′ r r , . Решим задачу первым способом, предоставив читателю возможность решить задачу другим путём самостоятельно. Итак, найдём компоненты вектора cr в системе K согласно закону обратного преобразования i T ki k c c ′ = α , где матрица поворота уже известна – она была рассчитана в примере 11. Сам закон преобразования гораздо удобнее записать в матричной форме, изображая векторы столбцами Рис. 4. 20 i T ki k c c ′ = α fl ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ ′ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 3 2 Таким образом, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 2 1 2 1 2 1 1 0 0 0 2 2 2 2 0 2 2 В итоге, искомое скалярное произведение ( ) ( ) 4 1 2 2 2 2 0 , = ⋅ + + − ⋅ = c a r r § 4. Преобразования компонент векторов при инверсии декартовой системы координат Инверсия системы координат означает, что все три её оси меняют своё направление на противоположное. Базисные векторы i r , j r , k r также меняют своё направление, порождая новый базис – набор векторов i r , j r , k r : i i r r − = , j j r r − = , k k r r − = . (17) Примечательно, что при таком преобразовании изначально правая тройка базисных векторов i r , j r , k r сменяется левой тройкой векторов i r , j r , k r : ( ) 1 , , = k j i r r r fl ( ) 1 , , − = k j i r Казалось бы, всё уже сказано, и всё это достаточно просто. Что же может быть особенного и интересного в связи с такого рода преобразованием координат Обозначим эту особенность наследующем примере. Рассмотрим три вектора и { } 3 , 0 , 3 − = cr . Найдём векторное произведение [ ] b a r r, : Рис. 5. 21 [ ] k i k j i b a r r r r r r r 3 3 2 1 2 1 2 1 , − = = , те. [ ] { } 3 , 0 , 3 , − = b a r r , значит, [ ] c b a r r r = , . Произведём теперь инверсию системы координат, в результате чего компоненты нашей тройки векторов сменят знаки { } 1 , 2 , 1 − − − = a r , { } 2 , 1 , 2 − − − = b r , { } 3 , 0 , 3 − = c r Найдём теперь векторное произведение [ ] b a r r , : [ ] k i k j i b a r r r r r r r 3 3 2 1 2 1 2 1 , − = − − − − − − = , те. [ ] { } 3 , 0 , 3 , − = b a r r , значит, [ ] c b a r r r ≠ , . Получили следующую ситуацию вис- ходной системе координат два вектора равны друг другу, а в инвертированной – это равенство нарушается Вывод может быть только один векторы [ ] b a r r, и cr по-разному ведут себя по отношению к инверсии системы координат. Действительно, векторы ar , b r и cr изначально указывают на некоторые направления в пространстве. После инверсии системы координат они по-прежнему указывают туда же, но поскольку базисные векторы поменяли свои направления, то поменяли знаки и компоненты этих векторов. А вот вектор [ ] b a r r, , будучи ориентирован в исходной системе координат в некотором направлении, при её инверсии поменял направление на противоположное вместе с векторами базиса, отчего его компоненты и не изменились. Теперь мы готовы сформулировать определение. Определение Если при инверсии системы координат вектор не меняет своего направления (его компоненты меняют знак, то он называется полярным. Если же при инверсии системы координат вектор меняет своё направление на противоположное (его компоненты не меняются, то он называется аксиальным осевым вектором или псевдовектором. В нашем примере векторы ar , b r и cr – полярные, а вот [ ] b a r r, – вектор аксиальный. Физическими примерами полярных векторов являются векторы перемещения, скорости vr , ускорения ar и силы F r , вектор напряжённости электрического поля E r и т.д. Как было показано выше, векторное произведение двух полярных векторов есть вектор аксиальный, поэтому из примеров аксиальных векторов в физике можно сразу назвать векторы момента импульса [ ] vr r r m r l , = и момента силы [ ] F r K r r r , = . Также аксиальными являются, например, векторы угловой скорости ω r и углового ускорения ε r , вектор напряжённости магнитного поля Существенное последствие разделения векторов на два вида состоит в том, что, подобно тому как складывать, вычитать и сравнивать между собой можно лишь физические величины одинаковой размерности, точно также векторы разного типа нельзя складывать и сравнивать между собой. Скажем, сумма полярного и аксиального векторов не является ни полярным вектором ни аксиальным. В результате, при инверсии системы координат этот вектор не преобразуется ни по какому закону. Сравнение векторов разного типа также некорректно в нашем примере исходно было [ ] c b a r r r = , , а после инверсии равенство нарушилось. Сточки зрения физики, заведомо некорректной будет являться, например, сумма ω α r r ⋅ + v , даже при условии, что подбором множителя будут согласованы размерности двух слагаемых. И подобных примеров можно привести ещё очень много. В соответствии с разделением векторов на полярные и аксиальные скалярные величины также можно разделить на скаляры первого рода (истинные скаляры) и скаляры второго рода (псевдоскаляры. В физике все величины, получающиеся в результате измерений какой-либо характеристики объекта, например, массы, давления, температуры, силы тока и т.д., являются скалярами первого рода и не меняются при инверсии системы координат. Напротив, некоторые скалярные величины, получающиеся, как правило, в результате математических операций над векторами, могут менять знак при инверсии системы координат они и называются скалярами второго рода или псевдоскалярами. Так, псевдоскалярами являются, например, скалярные произведения ( ) ω r r,v или ( ) H E r Задания для самостоятельного решения I-1. Определить, образует ли векторное пространство а. множество комплексных матриц 2 × 2; б. множество непрерывных на промежутке x ∈ [0, 1] функций в. множество упорядоченных пар действительных чисел ( x , y ); г. множество комплексных чисел Если ответ положительный, то определить размерность пространства, дать возможное определение скалярного произведения его элементов, предложить (ортонормированный) базис. I-2. Даны векторы k j i a r r r r − + = 2 2 и k j i b r r r r 3 2 + − = . Найти длины проекций этих векторов друг на друга. I-3. Дан вектор c b a p r r r r 5 3 2 − + = , где ar , b r и cr – взаимно перпендикулярные векторы, причем | ar | = 1, | b r | = 2 и | cr | = 3. Найти углы между вектором pr и а. векторами ar , b r , cr ; б. векторами b a r r + , ) ( c b a r r r + + − I-4. При каком значении t данные векторы компланарны а. } 9 , 6 , 3 { = ar , } 8 , 5 , 2 { = b r , } , 7 , 4 { t c = r ; б. } 11 , 8 , 5 { = ar , } 7 , 5 , 3 { = b r , } 3 , , 1 { t c = r ; I-5. Даны три вектора } 1 , 1 , 1 { = ar , } 3 , 3 , 5 { − − = b r , } 1 , 1 , 3 { − = cr . Найти координаты векторов, коллинеарных вектору cr , длины которых равны длине вектора. При каких значениях а вектор } 5 , 6 , 11 { − − = mr можно разложить по векторами. При каком значении а вектор { } 1 , 9 = mr нельзя разложить по векторами Выполнить разложение при а = 1. I-8. Параллелепипед построен натр х некомпланарных векторах ar , b r , cr . Найти площади его диагональных сечений и объем. I-9. В кубической элементарной ячейке за базисные вектора выбираются } 0 , 0 , 1 { = x ar , } 0 , 1 , 0 { = y ar , } 1 , 0 , 0 { = z ar . Найти а. площади диагональных сечений куба б. углы между базисными векторами и нормалями к диагональным поверхностям. Показать, что ( ) ( ) ( ) 0 = + ⋅ − a r a r r r r r – уравнение сферы. Здесь rr – радиус- вектора постоянный вектор. I-11. Доказать тождество Лагранжа [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n c n m a c a m c n a r r r r r r r r r r r r ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = × ⋅ × I-12. Доказать, что из равенства [ ] [ ] r p a r p a r r r r r r × × = × × ] [ ] [ при ( ) 0 ≠ ⋅ p a r r и ( ) 0 ≠ ⋅ r p r r следует коллинеарность векторов ar и rr I-13. Доказать тождество Якоби [ ] [ ] [ ] 0 ] [ ] [ ] [ r r r r r r r r r r = × × + × × + × × a c b b a c c b a I-14. Найти компоненты матриц поворота системы координат на угол ϕ вокруг оси x и вокруг оси y . Записать матрицу обратного преобразования. I-15. Доказать, что определитель матрицы поворота равен единице. I-16. Показать, что единственным изотропным вектором (компоненты которого одинаковы во всех системах координат) является нулевой вектор. I-17. В исходной декартовой системе координат известны компоненты вектора ar . Найти его компоненты в системе координат, повёрнутой относительно исходной на некоторый угол вокруг одной из осей а. } 3 , 1 , 1 { = ar , вокруг осина б. } 3 , 3 , 0 { = ar , вокруг осина в. } 2 2 , 2 2 , 2 2 { = ar , вокруг оси у наг, вокруг оси у над, вокруг осина е. } 0 , 3 , 1 { − = ar , вокруг осина В системе координат, полученной из исходной декартовой системы путем её поворота на некоторый угол вокруг одной из осей, известны компоненты вектора a ′ r . Найти его компоненты в исходной системе координат (до поворота а. } 2 , 0 , 2 { − = ′ ar , вокруг осина б. } 0 , 1 , 2 { − = ′ ar , вокруг осина в. } 2 , 1 , 0 { = ′ ar , вокруг оси у наг, вокруг оси у над, вокруг осина е. } 3 , 2 1 , 2 1 { + − − − = ′ ar , вокруг осина В некоторой системе координат K известны компоненты вектора } 1 , 1 , 1 { − = ar . В системе K′ , получающейся из K поворотом на угол 30 ° вокруг оси x , известны компоненты вектора } 2 , 2 , 1 { − = ′ cr . Найти скалярное произведение этих векторов. I-20. Компоненты двух векторов заданы в различных системах координат следующим образом при повороте системы координат K вокруг осина, а при повороте K вокруг осина. Найти скалярное произведение этих векторов. I-21. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах mr и nr , если в системе K вектора второй вектор задан своими компонентами в системе координат, повернутой относительно K на 60 ° вокруг оси x : { } 3 , 1 , 1 − = ′ nr 26 I-22. Компоненты двух векторов заданы в различных системах координат следующим образом при повороте системы координат K вокруг осина система K′ ) { } 3 0, 1, = ′ ar , а при повороте K вокруг осина (система K′′ ) { } 1 , 2 , 0 − = ′′ b r . Найти векторное произведение этих векторов. Будет ли его величина и направление зависеть от выбранной системы отсчета |