Основы_вектан. Учебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ
 Скачать 1.02 Mb.
|
|
§ 3. Изотропные тензоры Определение Тензор называется изотропным, если при повороте системы координат его компоненты не изменяются. Казалось бы, это определение противоречит понятию тензора как объекта, преобразующегося определённым образом при повороте системы координат. Однако, оказывается, можно удовлетворить обоим этим определениям. Так, например, изотропным является нулевой тензор произвольного ранга, поскольку нулевой тензор в любой системе координат имеет нулевые компоненты. Существуют примеры и ненулевых изотропных тензоров. Символ Кронекера ij δ является изотропным тензором второго ранга. Для того, чтобы доказать это, необходимо доказать выполнение следующего соотношения Но его выполнение очевидно в силу определения символа Кронекера и свойств матрицы поворота ij jn in nm jm in δ α α δ α α = = Изотропным тензором третьего ранга является абсолютно антисимметричный единичный тензор ijk ε , который также называют тензором Леви- Чивита в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивита (1873-1941). Понятие абсолютно антисимметричный подразумевает антисимметрию по отношению к перестановкам любой пары индексов. Это отражается на числе независимых компонент тензора Леви-Чивита: из ми его компонент в трёх- мерном пространстве неравны нулю только шесть ⎩ ⎨ ⎧ − = = = = = = 1 , 1 132 321 213 231 312 123 ε ε ε ε ε ε (24) Для обоснования изотропии данного тензора докажем выполнение соотношения Распишем в явном виде сумму, стоящую в правой части ( ) k j i k k k j j j i i i k j i k j i k j i k j i k j i k j i nml kl jm in e e e ′ ′ ′ = = − − − − + + = r r r , , 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 1 1 2 3 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 Для записи последнего равенства было использовано соотношение (11). Заметим, что смешанное произведение любых трёх векторов обладает рядом свойств при перестановке двух векторов оно меняет знак если любые два вектора в смешанном произведении совпадают, оно равно нулю. Поскольку векторы нового базиса ортонормированны и по умолчанию образуют правую тройку векторов, то ( ) 1 , , 3 2 1 = ′ ′ ′ e e e r r r . С учётом всего вышесказанного остаётся заключить, что ( ) ijk k j i e e e ε = ′ ′ ′ r r r , , . В итоге, получаем Таким образом, мы доказали, что тензор Леви-Чивита является изотропным. С помощью тензора Леви-Чивита упрощается и формализуется запись многих соотношений. Так, например, векторное произведение векторов ar и b r можно представить так [ ] k j i ijk b a e b a r r r ε = , fl [ ] k j ijk i b a b a ε = , r r (25) Соответственно смешанное произведение, выраженное через компоненты век- торов-сомножителей, имеет вид ( ) k j i ijk c b a c b a ε = r r r , , . (26) Произведение lmn ijk ε ε образует тензор шестого ранга, свёрткой которого можно получить тензоры четвёртого и второго рангов. Эти тензоры по определению изотропны, поэтому должны выражаться через различные комбинации символов Кронекера: kn km kl jn jm jl in im il lmn ijk δ δ δ δ δ δ δ δ δ ε ε = . (27) Отсюда нетрудно получить 6 , 2 , = = − = lmn lmn il lmn imn jl im jm il lmn ijn ε ε δ ε ε δ δ δ δ ε ε (28) Рассмотрим теперь с учётом выражения (25) двойное векторное произведение. Поскольку это вектор, рассчитаем отдельную его компоненту [ ] [ ] i c b a r r r , , . По определению [ ] [ ] [ ] K r r r У второго тензора Леви-Чивита в данном произведении совершим циклическую перестановку индексов, поставив индекс k на последнее место, тогда сможем воспользоваться первым из трёх соотношений (30): ( ) = − = − = = m n j jn im m n j jm in m n j jn im jm in m n j nmk ijk c b a c b a c b a c b a δ δ δ δ δ δ δ δ ε ε K ( ) ( ) b a c c a b b a c c a b c b a c b a i i j j i j j i i j j j i j r r r В итоге получаем [ ] [ ] ( ) ( ) b a c c a b c b a i i i r r r r r r r , , , , − = Чтобы получить соотношение в векторном виде, умножим обе части полученного равенства на базисный вектор i er и просуммируем по i: [ ] [ ] ( ) ( ) b a e c c a e b e c b a i i i i i i r r r r r r r r r r , , , , − = fl [ ] [ ] ( ) ( ) b a c c a b c b a r r r r r r r В результате мы вывели уже упоминавшееся ранее соотношение (8). ☺ Пример 17. Из компонент векторов A r и B r построены следующие тензоры i k k i ik ik B A B A T + + = δ 2 1 ) 1 ( , ( ) i k k i ik B A B A T − = 2 1 ) 2 ( , Требуется найти следующие свёртки: ) 2 ( ) 1 ( ki ik T T , ) 3 ( ) 2 ( ki ik T T и Посчитаем первую свёртку: ( ) = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = k i i k i k k i ik ki ik B A B A B A B A T T 2 1 2 1 ) 2 ( ) 1 ( δ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + − = k i i k i k i k k i k i i k k i k i ik i k ik B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A δ δ 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , 2 1 , 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + − = B A B A B A B A B A B A r r r r r r r r r r r Итак, получили 0 ) 2 ( ) 1 ( = ki ik T T . Если обратить внимание на структуру обоих тензоров, станет понятно, что такой результат свёртки был предсказуем. Дело в том, что тензор ) 1 ( ik T симметричен, а ) 2 ( ik T – антисимметричен. А как было показано в примере 16 свёртка симметричного и антисимметричного тензоров всегда равна нулю. Тензор ) 3 ( ik T также является антисимметричным, т.к. тензор Леви-Чивита антисимметричен по первой паре индексов. По этой причине будет равна нулю свёртка Выражение ) 3 ( ) 2 ( ki ik T T , очевидно, является скаляром, представляющем собой сумму выражений вида l k i kil A B A ε (или l k i kil B B A ε ), каждое из которых равно нулю, поскольку представляет собой смешанное произведение векторов, два из которых совпадают. Следовательно, свёртка ) 3 ( ) 2 ( ki ik T T также равна нулю. Как уже отмечалось выше, антисимметричный тензор го ранга имеет три независимые компоненты, преобразующиеся друг через друга при повороте системы координат. С другой стороны, вектор также имеет три компоненты, преобразующиеся известным образом. Это позволяет установить соответствие между независимыми компонентами антисимметричного тензора го ранга и компонентами некоторого вектора. Так, дуальным антисимметричному тензору второго ранга nm A называется вектор k D , компоненты которого определяются свёрткой: nm knm k A D ε 2 1 = ☺ Пример 18. Построим вектор, дуальный тензору nm A , если ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 0 1 2 1 0 1 2 Для этого просто рассчитаем отдельные компоненты дуального вектора ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 23 23 32 23 32 132 23 123 Аналогично, 2 31 2 − = = A D и 1 12 3 = = A D . Таким образом, { } 1 , 2 , 1 − − = D r § 4. Приведение симметричного тензора го ранга к диагональному виду Как известно, результатом свёртки тензора второго ранга с вектором является вектор i j ij B A T = . При этом, однако, может оказаться, что оба вектора ( A r и B r ) коллинеарны друг другу, те. верно соотношение i j ij A A T λ = . (29) Тогда A r называется собственным главным) вектором, соответствующим собственному главному значению λ . Уравнение (29) решается следующим образом Последнее равенство можно понимать как однородную систему линейных уравнений для компонент собственных векторов. Потребуем, чтобы она имела нетривиальное решение ( ) 0 det = − ij ij T λδ . (30) Это уравнение называется характеристическим уравнением. В трёхмерном пространстве характеристическое уравнение является уравнением третьей степени и имеет три корня – ) 1 ( λ , ) 2 ( λ , ) 3 ( λ – каждому из которых соответствует свой собственный вектор – ) 1 ( A r , ) 2 ( A r , До сих пор мы говорили о тензорах различных рангов в трёхмерном евклидовом пространстве, предполагая действительность их компонент. Однако стоит заметить, что в математике и физике рассматриваются векторные пространства и надмножеством комплексных чисел, когда компоненты тензоров могут быть комплексными. Далее мы, как и ранее, ограничимся рассмотрением случая, когда все компоненты симметричного тензора второго ранга действительны. При этом характеристическое уравнение, являясь кубическим уравнением с действительными коэффициентами, имеет либо три действительных корня, либо один действительный и два комплексно сопряжённых. Докажем теперь связанную с этим теорему. Теорема Собственные значения симметричного тензора второго ранга – вещественны, а его собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Доказательство Для доказательства теоремы рассмотрим симметричный тензор второго ранга ij T , имеющий собственные значения ) 1 ( λ , ) 2 ( λ , ) 3 ( λ и собственные векторы ) 1 ( A r , ) 2 ( A r , ) 3 ( A r , удовлетворяющие уравнению Предположим, что собственные значения тензора, вообще говоря, комплексны, тогда придётся допустить также то, что комплексными являются и компоненты собственных векторов. Наряду с исходным уравнением рассмотрим тогда его комплексно сопряжённый вариант Умножая первое уравнение на ∗ i A , второе – на i A и вычитая из первого второе, получим ( ) 2 0 i A ∗ − = λ λ , откуда немедленно следует действительность собственных значений ( λ λ = ∗ ). Здесь при выводе воспользовались также симметрией тензора ij T : Теперь рассмотрим два собственных вектора ) 1 ( A r , ) 2 ( A r , отвечающие собственным значениями, причём пусть ) 2 ( ) 1 ( λ λ ≠ . Эти величины удовлетворяют уравнениям Аналогично предыдущему доказательству, умножим первое уравнение на ) 2 ( i A , а второе – на ) 1 ( i A . Вычитая из первого второе, получим ( ) ( ) ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( , 0 A A r r λ λ − = , откуда при ) 2 ( ) 1 ( λ λ ≠ , очевидно, следует ортогональность собственных векторов В продолжение заметим, что в случае, когда два собственных значения тензора равны друг другу, или даже все три собственных значения одинаковы, то отвечающие им собственные векторы могут быть выбраны ортогональными друг другу. Натр х ортогональных собственных векторах может быть построена собственная система координат тензора, в которой он принимает наиболее простой вид – вид диагональной матрицы, на главной диагонали которой располагаются собственные значения. При этом необходимо проследить затем, чтобы собственные векторы образовывали правую тройку тогда переход в собственную систему координат из исходной системы будет формально возможен посредством её поворота Пример 19. В качестве упражнения найдём собственные значения и собственные векторы тензора, заданного матрицей ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 3 0 3 10 1 0 Пусть { } c b a A , , = r – собственный вектор тензора ij M , отвечающий собственному значению λ . Тогда его компоненты находятся из системы уравнений (29), которую удобно представить в матричной форме ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ c b a c b a λ 1 3 0 3 10 1 0 1 1 или ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 0 0 0 1 3 0 3 10 1 0 1 1 c b a λ λ λ . ( ) Собственные значения находятся из решения характеристического уравнения 0 1 3 0 3 10 1 0 1 1 = − − − λ λ λ fl ( ) ( ) ( ) 0 1 10 10 Легко показать, что его корни 0 1 = λ , 1 2 = λ и 11 Подставляя поочерёдно эти значения в систему уравнений ( ), найдём собственные векторы тензора ij M . Например, для 0 1 = λ имеем ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 1 3 0 3 10 1 0 1 1 c b a fl ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 0 3 0 c b b a fl Таким образом, первый собственный вектор приобретает следующую структуру { } 3 , 1 , 1 1 − − = b A r . Аналогично, с точностью до постоянных могут быть найдены векторы { } 1 , 0 , 3 2 − = c A r и { } 3 , 10 , 1 3 a A = r . В общем-то, на этом процедура отыскания собственных векторов завершается. Легко проверить ортогональность трёх найденных векторов i A r . Это свойство, как упоминалось выше, позволяет построить систему главных осей тензора сортами Здесь мы выбрали константы b ив определениях 1 A r и 2 A r положительными, а знак постоянной a в 3 A r оставили пока неопределённым: он должен быть найден из условия того, чтобы орты i e′ r образовывали правую тройку векторов, те. [ ] 2 1 3 ,e e e ′ ′ = ′ r r r . Вычисляя векторное произведение [ ] ( ) 3 2 1 3 2 1 2 1 3 10 110 1 1 0 3 3 1 1 110 1 , e e e e e e e e r r r r r r r r + + = − − − = ′ ′ , приходим к необходимости выбора знака плюс. Итак, { } 3 , 10 , 1 110 В системе координат, построенной на ортах i e′ r , исходный тензор ij M примет диагональный вид ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ 11 0 0 0 1 0 0 С вопросом о приведении симметричного тензора второго ранга к диагональному виду тесно связано понятие тензорной поверхности. Это поверхность второго порядка, определяемая уравнением 1 = j i ij x x T (31) Тензорная поверхность однозначно соответствует тензору лишь в том случае, если он симметричный. Если тензор не обладает симметрией, то, как известно, его можно представить в виде суммы симметричной ij S и антисимметричной ij A составляющих ( ) j i ij j i ij j i ij j i ij ij j i ij x x S x x A x x S x x A S x x T = + = + = = 3 2 1 Таким образом, тензорная поверхность однозначно определяется лишь симметричной составляющей тензора. Главные оси тензора являются главными осями тензорной поверхности, которая в системе главных осей 1 X , 2 X , 3 X имеет уравнение 1 2 3 3 2 2 2 2 1 1 = + + X X X λ λ λ fl 1 1 1 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1 = + + λ λ λ X X X (32) Сточки зрения приложений наиболее важен случай, когда все собственные значения положительны, тогда, легко видеть, тензорная поверхность является эллипсоидом с полуосями 1 1 λ , 2 1 λ , 3 1 λ . При 2 1 λ λ = тензорный эллипсоид является эллипсоидом вращения, а если 3 2 1 λ λ λ = = , тензорный эллипсоид – сфера. Например, для тензора M ij из примера 19 уравнение тензорной поверхности в исходной системе координат выглядит довольно сложно ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 3 0 3 10 1 0 1 1 ij M fl 1 6 10 2 2 В системе главных осей это же уравнение принимает совсем простой вид ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ 11 0 0 0 1 0 0 0 0 ij M fl 1 11 2 3 2 2 = + Оно описывает цилиндрическую поверхность, поперечным сечением которой является эллипс. |