Главная страница

Основы_вектан. Учебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ


Скачать 1.02 Mb.
НазваниеУчебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ
Дата25.04.2019
Размер1.02 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаОсновы_вектан.pdf
ТипУчебно-методический комплекс
#75269
страница7 из 9
1   2   3   4   5   6   7   8   9
§ 2. Интегральное представление дифференциальных операторов. Интегральные теоремы векторного анализа В предыдущем параграфе мы определили, что такое тензорное поле, а также определили дифференциальные операции – градиент, дивергенцию, ротор. Определим теперь применительно к скалярными векторным полям операцию интегрирования. Пусть наряду с векторным полем
( )
r
A r r
нам дана некоторая кривая
γ
, соединяющая в пространстве точки Аи В (см. рис. 10). Разобьём её на
N малых участков, которые можно заменить хордами
i
l
r
∆ , и составим затем скалярные Рис. 10
произведения
(
)
i
i
l
A
r r

,
, где
i
A
r
– вектор поля, отвечающий началу вектора
i
l
r
∆ . Рассмотрим сумму всех таких скалярных произведений
(
)

=

N
i
i
i
l
A
1
,
r r
. Переходя далее к пределу


N
и устремляя тем самым длины участков к нулю, получим линейный интеграл векторного поля
( )
r
A r r
вдоль кривой

γ
:
(
)
( )



⎯ →




=
γ
l
d
A
l
A
N
N
i
i
i
r r
r Этот интеграл иногда пишут ив другом виде, например,
( )
(
)


+
+
=
γ
γ
dz
A
dy
A
dx
A
l
d
A
z
y
x
r Для его вычисления обычно выражают координаты точек кривой
γ
через некоторый параметр, в результате чего задача сводится к нахождению простого интеграла. Если кривая
γ
замкнута, соответствующий интеграл называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру
( )

γ
l
d
A
r Если, например, в качестве вектора A
r взять вектор силы F
r
, действующей на тело (материальную точку, а в качестве кривой
γ
– траекторию его движения, тогда интеграл вдоль кривой будет иметь смысл работы этой силы по перемещению тела из точки А в точку В. В связи с этим в физике различают силы консервативные и неконсервативные. Работа консервативных сил (например, силы тяжести) не зависит от формы траектории и определяется лишь начальной и конечной её точками, поэтому на любом замкнутом контуре работа таких сил равна нулю. В тоже время работа неконсервативных сил (например, сил трения) определяется не только конечной и начальной точками траектории, но и её формой.
Подобно тому, как выше мы определили линейный интеграл векторного поля вдоль кривой, можно определить и поток векторного поля через поверхность. Итак, рассмотрим векторное поле
( )
r
A r r
и поверхность S (см. рис. 11).
Разобьём её на N малых участков, которые можно заменить параллелограммами с площадями
i
S

, чью ориентацию в пространстве определяют единичные векторы нормали
i
nr . Составим скалярные произведения
( )
i
i
i
S
n
A

r r
,
, где
i
A
r
– вектор поля, отвечающий для определённости середине участка, и рассмотрим их сумму
( )

=

N
i
i
i
i
S
n
A
1
, r r
. Переходя далее к пределу


N
и устремляя тем самым размеры параллелограммов к нулю, определим поверхностный интеграл векторного поля

( )
r
A r r
по поверхности S или же поток векторного поля через поверхность
( )
( )
(
)



=

⎯ →




=
S
S
N
N
i
i
i
i
S
d
A
dS
n
A
S
n
A
r r
r r
r r
,
,
,
1
, где ввели вектор
dS
n
S
d

= r r
. Этот интеграл иногда пишут ив другом виде, например Если поверхность S замкнута, то соответствующий интеграл даст поток векторного поля
( )
r
A r r
через замкнутую поверхность
(
)

S
S
d
A
r Рассмотрим теперь следующий интеграл
( )

S
S
d
r
r r
ϕ
, где
( )
rr
ϕ
– некоторая скалярная функция. Для его вычисления рассечём поверхность S плоскостями, перпендикулярными осям системы координат и расположенными бесконечно близко друг к другу, так, чтобы заключённый внутри поверхности объём рас-
Рис. 11.

77
пался на множество параллелепипедов размером
dz
dy
dx
×
×
. Рассмотрим теперь такой параллелепипед, расположенный в точке
(
)
z
y
x ,
,
, и рассчитаем исходный интеграл применительно к его поверхности
S
:
( )


S
S
d
r
r Очевидно, он распадается на сумму шести слагаемых, отвечающих вкладу каждой грани параллелепипеда
( )
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
dxdydz
z
k
y
j
x
i
dxdy
k
z
y
x
dz
z
y
x
dxdz
j
z
y
x
z
dy
y
x
dydz
i
z
y
x
z
y
dx
x
S
d
r
S
⎟⎟


⎜⎜




+


+


=
=

+
+
+

+
+
+

+
=


ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r r
r r
r r
r При суммировании между собой таких интегралов вклады от смежных граней соседних параллелепипедов компенсируют друг друга, отчего в результате останется интеграл по поверхности S. Таким образом,
( )


=
V
S
dV
S
d
r
ϕ
ϕ
grad r
r
. (40) Далее, в соответствии с теоремой о среднем заменим интеграл по объёму на произведение
V
dV
M
V

=

ϕ
ϕ
grad grad
, где
M
ϕ
grad
– значение градиента, вычисленное в некоторой точке М, y, z) внутри объёма, а V – полный объём, заключенный внутри поверхности S. Сжимая далее рассматриваемую поверхность в точку и, соответственно, устремляя её объём к нулю, получим следующий предел Рис. 12.

78
( )
V
S
d
r
S
V


=
r r
ϕ
ϕ
0
lim grad
(41) Равенство (41) выражает собой интегральное представление градиента скалярной функции. Сам оператор набла можно выразить из (41), очевидно, следующим образом) Пользуясь этим, нетрудно получить интегральные представления для дивергенции и ротора векторного поля
(
)
V
S
d
A
A
S
V


=
r r
r
,
lim div
0
и
[ ]
V
S
d
A
A
S
V


=
r r
r
,
lim rot
0
(43)
Вернёмся вновь к процедуре, использованной при выводе формулы (40). Для бесконечно малого параллелепипеда с учётом (43) не вызывает сомнений равенство
(
)
dV
A
S
d
A
S
r r
r При дальнейшем суммировании вкладов от всех таких параллелепипедов в итоге получим
(
)


=
V
S
dV
A
S
d
A
r r
r div
,
(44) те. поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу от его дивергенции по объёму, заключённому внутри этой поверхности. Это соотношение составляет суть теоремы Остроградского-Гаусса. Без вывода напомним также и ещё одну известную теорему векторного анализа – теорему Стокса
( ) (
)


=
S
l
S
d
A
l
d
A
r r
r r
,
rot
,
(45)
которая устанавливает, что циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора этого поля через произвольную поверхность, натянутую на этот контур.
Пример 29. В качестве примера преобразуем интеграл по замкнутому контуру от скалярной функции

C
l
d
r
ϕ
в интеграл по поверхности, натянутой на данный контур. Для этого умножим его скалярно на произвольный постоянный вектор
A
r
, тогда
(
)
( )
(
)
[
]
⎟⎟


⎜⎜


=


=
=
=
⎟⎟


⎜⎜







S
S
i
k
j
ijk
S
C
C
dS
n
A
dS
n
A
x
S
d
A
l
d
A
l
d
A
ϕ
ϕ
ε
ϕ
ϕ
ϕ
grad
,
,
,
rot
,
,
r r
r r
r r
r Таким образом,
[
]


=
S
C
dS
n
l
d
ϕ
ϕ
grad
,
r r
, где nr – единичный вектор нормали к поверхности.
§ 3. Криволинейные системы координат Как известно, при решении некоторых задач более удобным оказывается определение положения точки в трёхмерном пространстве не декартовыми координатами, а тремя другими числами – q
i
(i = 1, 2, 3), более отвечающими симметрии рассматриваемой задачи. В качестве этих чисел можно выбрать криволинейные координаты. В итоге каждой точке пространства с декартовыми координатами x
1
, x
2
, x
3
ставится в соответствие упорядоченная тройка действительных чисел q
1
, q
2
, q
3
. Таким образом, каждая координата q
i
является некоторой функцией декартовых координат и наоборот
(
)
3 2
1
,
,
x
x
x
q
q
i
i
=

(
)
3 2
1
,
Будем предполагать, что эти функции однозначны и непрерывно дифференцируемы, а производимое преобразование координат является невырожденным, те.

80
(
)
(
)
0
,
,
,
,
3 2
2 3
1 3
3 2
2 2
1 2
3 1
2 1
1 1
3 2
1 3
2 1






















x
q
x
q
x
q
x
q
x
q
x
q
x
q
x
q
x
q
x
x
x
q
q
q
. (46) Поверхности const
=
i
q
(i = 1, 2, 3) называются координатными поверхностями, а линии их пересечения – координатными линиями. Касательные к координатным линиям векторы
i
i
q
r
e


=
r r
(47) образуют базис криволинейной системы координат в данной точке пространства. При этом очевидно, каждый из этих векторов можно разложить по исходному базису декартовой системы координат
k
q
x
j
q
x
i
q
x
e
i
i
i
i
r r
r r


+


+


=
3 В соответствие с этим определяются так называемые коэффициенты Ламэ

2 3
2 2
2 1
|
|
⎟⎟


⎜⎜




+
⎟⎟


⎜⎜




+
⎟⎟


⎜⎜




=

i
i
i
i
i
q
x
q
x
q
x
e
H
r
, (48) введённые в обращение французским математиком и инженером Габриэлем
Ламэ (1795–1870). С помощью коэффициентов Ламэ можно естественным образом ввести нормированный на единицу базис векторов
i
nr :
i
i
i
H
e
n
r r =

1
|
|
=
i
nr
. (49) Если векторы
i
er образуют ортогональную тройку векторов, те.
(
)
ij
i
j
i
H
e
e
δ
2
,
=
r r
, то криволинейная система координат называется ортогональной. Таковыми являются, например, цилиндрическая и сферическая системы координат.
Квадрат расстояния
2
ds между двумя бесконечно близкими точками, раздел нными радиус-вектором r
dr , равен
(
) (
)
j
i
ij
j
i
j
i
j
j
i
i
dq
dq
g
dq
dq
e
e
dq
e
dq
e
r
d
ds

=
=
=
,
,
2 2
r r
r r
r
, (50) где величина
(
)
j
i
ij
e
e
g
r r ,
=
называется метрическим тензором. Очевидно, в ортогональных системах координат метрический тензор диагонален










=
2 3
2 2
2 1
0 0
0 0
0 0
H
H
H
g
ij
. (51) Метрический тензор составляет основу метрики и полностью определяет все геометрические свойства криволинейного пространства. Так элементы площади координатных поверхностей выражаются через его компоненты следующим образом
,
,
2 1
2 12 22 11 3
3 1
2 13 33 11 2
3 2
2 23 33 22 1
dq
dq
g
g
g
d
dq
dq
g
g
g
d
dq
dq
g
g
g
d

=

=

=
σ
σ
σ
(52) Элемент объёма определяется соотношением
3 2
1
dq
dq
dq
J
dV

=
, (53) где величина
(
)
3 2
1
,
,
e
e
e
J
r r
r
=
называется якобианом (в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби (1804–1851)). Якобиан может быть рассчитан и через компоненты метрического тензора
ij
g
J
det
=
. Очевидно, для ортогональных систем координат якобиан равен произведению коэффициентов Ламэ.
Пример 30.
В качестве примера рассмотрим цилиндрическую систему координат, в которой положение точки пространства задаётся координатами
ρ
,
ϕ
и z см. рис. 13). Связь между этими переменными и декартовыми координатами выглядит следующим образом

82





=
=
=
z
z
y
x
ϕ
ρ
ϕ
ρ
sin Рассчитаем квадрат элемента длины
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2
cos sin sin После тривиальных преобразований получим, откуда коэффициенты Ламэ
1 1
=
H
,
ρ
=
2
H
и
1 3
=
H
. Таким образом, метрический тензор в цилиндрической системе координат имеет вида элемент объёма
dz
d
d
dV
ϕ
ρ
ρ
=
§ 4. Дифференциальные операторы в криволинейных координатах В первом параграфе настоящей главы, действуя в декартовых координатах, мы определили оператор набла, ас помощью него – градиент скалярной функции, дивергенцию и ротор векторного поля. Обобщим теперь эти результаты на случай криволинейных ортогональных систем координат. Для начала договоримся, что для обозначения базисных векторов i
r
, j
r ив суммах будем использовать
1
E
r
,
2
E
r и
3
E
r
, например,
i
i
E
x
r
r r =
. Наряду с этим будут использоваться и базисные векторы криволинейной системы координат
i
er , определённые в (47). Рис. 13.
Итак, рассчитаем градиент скалярного поля
( )
rr
ϕ
. По определению
j
j
i
i
j
j
i
i
q
q
E
x
q
q
E
x
grad grad



=




=


=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r Для нахождения
j
q
grad запишем В тоже время согласно (47)
k
k
dq
e
r
d
r r =
, тогда получим Последнее равенство может выполняться, очевидно, лишь в случае, если Сопоставляя этот результат с условием ортогональности системы координат
(
)
ik
i
k
i
H
e
e
δ
2
,
=
r r
, немедленно находим
i
i
i
i
i
H
n
H
e
q
r Тогда для градиента скалярной функции в ортогональной криволинейной системе координат получим следующее выражение

=


=
3 1
1
grad
j
j
j
j
n
q
H
r
ϕ
ϕ
(54) В частности, для цилиндрической системы координат будем иметь
z
e
z
f
e
f
e
f
f
r Для получения выражения дивергенции векторного поля придётся воспользоваться её интегральным представлением (43). Так, рассмотрим бесконечно малый параллелепипед, отступив от точки пространства
(
)
3 2
1
,
,
q
q
q
в направлении координатных линий на
1
dq ,
2
dq и
3
dq соответственно (см. рис. 14).
В этом случае гранями параллелепипеда являются участки координатных поверхностей. Рассчитаем теперь поток векторного поля A
r через поверхность такого параллелепипеда. Очевидно, он складывается из шести слагаемых – потоков через каждую его грань. Например, с учётом структуры метрического тензора (51) и выражений (52) вклад от передней (закрашенной) грани имеет вида от противоположной ей
(
)
3 2
3 2
1 3
2 1
,
,
dq
dq
q
q
q
H
H
A

. Объединяя вклады в поток от этих граней, получим
(
)
3 2
1 3
2 Действуя аналогично по отношению к двум оставшимся парам противоположных граней, для потока через поверхность параллелепипеда в итоге получим следующее
(
)
(
)
(
)
3 2
1 2
1 3
3 3
1 2
2 3
2 Разделив это выражение на объём
3 2
1 3
2 1
dq
dq
dq
H
H
H
dV
=
, получим искомый результат
(
)
(
)
(
)
⎟⎟


⎜⎜




+


+


=
2 1
3 3
3 1
2 2
3 2
1 1
3 2
1 1
div
H
H
A
q
H
H
A
q
H
H
A
q
H
H
H
A
r
(55) Без вывода приведём также и выражение для ротора векторного поля в ортогональной криволинейной системе координат Рис. 14.

85 3
3 2
2 1
1 3
2 1
3 3
2 2
1 1
3 2
1 1
rot
A
H
A
H
A
H
q
q
q
n
H
n
H
n
H
H
H
H
A






=
r r
r r
(56) В частности, в цилиндрической системе координат дивергенция и ротор имеют следующий вид
( )
z
A
A
A
A
z


+


+


=
ϕ
ρ
ρ
ρ
ρ
ϕ
ρ
1 1
div r
ρ
,
( )
z
z
z
n
A
A
n
A
z
A
n
z
A
A
A
r r
r r
⎟⎟


⎜⎜







+
⎟⎟


⎜⎜







+
⎟⎟


⎜⎜







=
ϕ
ρ
ρ
ρ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ϕ
ϕ
ρ
ρ
ϕ
1 Выпишем в заключение также выражение для оператора Лапласа. На основе определения
ψ
ψ
grad div
=

с учётом (54) и (55) имеем
⎟⎟


⎜⎜


⎟⎟


⎜⎜






+
⎟⎟


⎜⎜






+
⎟⎟


⎜⎜






=

3 3
2 1
3 2
2 3
1 2
1 1
3 2
1 3
2 1
1
q
H
H
H
q
q
H
H
H
q
q
H
H
H
q
H
H
H
ψ
ψ
ψ
ψ
(57) Задания для самостоятельного решения

1   2   3   4   5   6   7   8   9


написать администратору сайта