Основы_вектан. Учебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ
 Скачать 1.02 Mb.
|
|
§ 2. Интегральное представление дифференциальных операторов. Интегральные теоремы векторного анализа В предыдущем параграфе мы определили, что такое тензорное поле, а также определили дифференциальные операции – градиент, дивергенцию, ротор. Определим теперь применительно к скалярными векторным полям операцию интегрирования. Пусть наряду с векторным полем ( ) r A r r нам дана некоторая кривая γ , соединяющая в пространстве точки Аи В (см. рис. 10). Разобьём её на N малых участков, которые можно заменить хордами i l r ∆ , и составим затем скалярные Рис. 10 произведения ( ) i i l A r r ∆ , , где i A r – вектор поля, отвечающий началу вектора i l r ∆ . Рассмотрим сумму всех таких скалярных произведений ( ) ∑ = ∆ N i i i l A 1 , r r . Переходя далее к пределу ∞ → N и устремляя тем самым длины участков к нулю, получим линейный интеграл векторного поля ( ) r A r r вдоль кривой γ : ( ) ( ) ∫ ∑ ⎯ ⎯ → ⎯ ∆ ∞ → = γ l d A l A N N i i i r r r Этот интеграл иногда пишут ив другом виде, например, ( ) ( ) ∫ ∫ + + = γ γ dz A dy A dx A l d A z y x r Для его вычисления обычно выражают координаты точек кривой γ через некоторый параметр, в результате чего задача сводится к нахождению простого интеграла. Если кривая γ замкнута, соответствующий интеграл называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру ( ) ∫ γ l d A r Если, например, в качестве вектора A r взять вектор силы F r , действующей на тело (материальную точку, а в качестве кривой γ – траекторию его движения, тогда интеграл вдоль кривой будет иметь смысл работы этой силы по перемещению тела из точки А в точку В. В связи с этим в физике различают силы консервативные и неконсервативные. Работа консервативных сил (например, силы тяжести) не зависит от формы траектории и определяется лишь начальной и конечной её точками, поэтому на любом замкнутом контуре работа таких сил равна нулю. В тоже время работа неконсервативных сил (например, сил трения) определяется не только конечной и начальной точками траектории, но и её формой. Подобно тому, как выше мы определили линейный интеграл векторного поля вдоль кривой, можно определить и поток векторного поля через поверхность. Итак, рассмотрим векторное поле ( ) r A r r и поверхность S (см. рис. 11). Разобьём её на N малых участков, которые можно заменить параллелограммами с площадями i S ∆ , чью ориентацию в пространстве определяют единичные векторы нормали i nr . Составим скалярные произведения ( ) i i i S n A ∆ r r , , где i A r – вектор поля, отвечающий для определённости середине участка, и рассмотрим их сумму ( ) ∑ = ∆ N i i i i S n A 1 , r r . Переходя далее к пределу ∞ → N и устремляя тем самым размеры параллелограммов к нулю, определим поверхностный интеграл векторного поля ( ) r A r r по поверхности S или же поток векторного поля через поверхность ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∑ = ⎯ ⎯ → ⎯ ∆ ∞ → = S S N N i i i i S d A dS n A S n A r r r r r r , , , 1 , где ввели вектор dS n S d ⋅ = r r . Этот интеграл иногда пишут ив другом виде, например Если поверхность S замкнута, то соответствующий интеграл даст поток векторного поля ( ) r A r r через замкнутую поверхность ( ) ∫ S S d A r Рассмотрим теперь следующий интеграл ( ) ∫ S S d r r r ϕ , где ( ) rr ϕ – некоторая скалярная функция. Для его вычисления рассечём поверхность S плоскостями, перпендикулярными осям системы координат и расположенными бесконечно близко друг к другу, так, чтобы заключённый внутри поверхности объём рас- Рис. 11. 77 пался на множество параллелепипедов размером dz dy dx × × . Рассмотрим теперь такой параллелепипед, расположенный в точке ( ) z y x , , , и рассчитаем исходный интеграл применительно к его поверхности S′ : ( ) ∫ ′ S S d r r Очевидно, он распадается на сумму шести слагаемых, отвечающих вкладу каждой грани параллелепипеда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , dxdydz z k y j x i dxdy k z y x dz z y x dxdz j z y x z dy y x dydz i z y x z y dx x S d r S ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = − + + + − + + + − + = ∫ ′ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ r r r r r r r При суммировании между собой таких интегралов вклады от смежных граней соседних параллелепипедов компенсируют друг друга, отчего в результате останется интеграл по поверхности S. Таким образом, ( ) ∫ ∫ = V S dV S d r ϕ ϕ grad r r . (40) Далее, в соответствии с теоремой о среднем заменим интеграл по объёму на произведение V dV M V ⋅ = ∫ ϕ ϕ grad grad , где M ϕ grad – значение градиента, вычисленное в некоторой точке М, y, z) внутри объёма, а V – полный объём, заключенный внутри поверхности S. Сжимая далее рассматриваемую поверхность в точку и, соответственно, устремляя её объём к нулю, получим следующий предел Рис. 12. 78 ( ) V S d r S V ∫ → = r r ϕ ϕ 0 lim grad (41) Равенство (41) выражает собой интегральное представление градиента скалярной функции. Сам оператор набла можно выразить из (41), очевидно, следующим образом) Пользуясь этим, нетрудно получить интегральные представления для дивергенции и ротора векторного поля ( ) V S d A A S V ∫ → = r r r , lim div 0 и [ ] V S d A A S V ∫ → = r r r , lim rot 0 (43) Вернёмся вновь к процедуре, использованной при выводе формулы (40). Для бесконечно малого параллелепипеда с учётом (43) не вызывает сомнений равенство ( ) dV A S d A S r r r При дальнейшем суммировании вкладов от всех таких параллелепипедов в итоге получим ( ) ∫ ∫ = V S dV A S d A r r r div , (44) те. поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу от его дивергенции по объёму, заключённому внутри этой поверхности. Это соотношение составляет суть теоремы Остроградского-Гаусса. Без вывода напомним также и ещё одну известную теорему векторного анализа – теорему Стокса ( ) ( ) ∫ ∫ = S l S d A l d A r r r r , rot , (45) которая устанавливает, что циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора этого поля через произвольную поверхность, натянутую на этот контур. ☺ Пример 29. В качестве примера преобразуем интеграл по замкнутому контуру от скалярной функции ∫ C l d r ϕ в интеграл по поверхности, натянутой на данный контур. Для этого умножим его скалярно на произвольный постоянный вектор A r , тогда ( ) ( ) ( ) [ ] ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ S S i k j ijk S C C dS n A dS n A x S d A l d A l d A ϕ ϕ ε ϕ ϕ ϕ grad , , , rot , , r r r r r r r Таким образом, [ ] ∫ ∫ = S C dS n l d ϕ ϕ grad , r r , где nr – единичный вектор нормали к поверхности. § 3. Криволинейные системы координат Как известно, при решении некоторых задач более удобным оказывается определение положения точки в трёхмерном пространстве не декартовыми координатами, а тремя другими числами – q i (i = 1, 2, 3), более отвечающими симметрии рассматриваемой задачи. В качестве этих чисел можно выбрать криволинейные координаты. В итоге каждой точке пространства с декартовыми координатами x 1 , x 2 , x 3 ставится в соответствие упорядоченная тройка действительных чисел q 1 , q 2 , q 3 . Таким образом, каждая координата q i является некоторой функцией декартовых координат и наоборот ( ) 3 2 1 , , x x x q q i i = ⇔ ( ) 3 2 1 , Будем предполагать, что эти функции однозначны и непрерывно дифференцируемы, а производимое преобразование координат является невырожденным, те. 80 ( ) ( ) 0 , , , , 3 2 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 2 1 3 2 1 ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ ∂ ∂ x q x q x q x q x q x q x q x q x q x x x q q q . (46) Поверхности const = i q (i = 1, 2, 3) называются координатными поверхностями, а линии их пересечения – координатными линиями. Касательные к координатным линиям векторы i i q r e ∂ ∂ = r r (47) образуют базис криволинейной системы координат в данной точке пространства. При этом очевидно, каждый из этих векторов можно разложить по исходному базису декартовой системы координат k q x j q x i q x e i i i i r r r r ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 3 В соответствие с этим определяются так называемые коэффициенты Ламэ 2 3 2 2 2 1 | | ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ≡ i i i i i q x q x q x e H r , (48) введённые в обращение французским математиком и инженером Габриэлем Ламэ (1795–1870). С помощью коэффициентов Ламэ можно естественным образом ввести нормированный на единицу базис векторов i nr : i i i H e n r r = ⇒ 1 | | = i nr . (49) Если векторы i er образуют ортогональную тройку векторов, те. ( ) ij i j i H e e δ 2 , = r r , то криволинейная система координат называется ортогональной. Таковыми являются, например, цилиндрическая и сферическая системы координат. Квадрат расстояния 2 ds между двумя бесконечно близкими точками, раздел нными радиус-вектором r dr , равен ( ) ( ) j i ij j i j i j j i i dq dq g dq dq e e dq e dq e r d ds ≡ = = = , , 2 2 r r r r r , (50) где величина ( ) j i ij e e g r r , = называется метрическим тензором. Очевидно, в ортогональных системах координат метрический тензор диагонален ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 3 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 H H H g ij . (51) Метрический тензор составляет основу метрики и полностью определяет все геометрические свойства криволинейного пространства. Так элементы площади координатных поверхностей выражаются через его компоненты следующим образом , , 2 1 2 12 22 11 3 3 1 2 13 33 11 2 3 2 2 23 33 22 1 dq dq g g g d dq dq g g g d dq dq g g g d − = − = − = σ σ σ (52) Элемент объёма определяется соотношением 3 2 1 dq dq dq J dV ⋅ = , (53) где величина ( ) 3 2 1 , , e e e J r r r = называется якобианом (в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби (1804–1851)). Якобиан может быть рассчитан и через компоненты метрического тензора ij g J det = . Очевидно, для ортогональных систем координат якобиан равен произведению коэффициентов Ламэ. ☺ Пример 30. В качестве примера рассмотрим цилиндрическую систему координат, в которой положение точки пространства задаётся координатами ρ , ϕ и z см. рис. 13). Связь между этими переменными и декартовыми координатами выглядит следующим образом 82 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = z z y x ϕ ρ ϕ ρ sin Рассчитаем квадрат элемента длины ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin После тривиальных преобразований получим, откуда коэффициенты Ламэ 1 1 = H , ρ = 2 H и 1 3 = H . Таким образом, метрический тензор в цилиндрической системе координат имеет вида элемент объёма dz d d dV ϕ ρ ρ = § 4. Дифференциальные операторы в криволинейных координатах В первом параграфе настоящей главы, действуя в декартовых координатах, мы определили оператор набла, ас помощью него – градиент скалярной функции, дивергенцию и ротор векторного поля. Обобщим теперь эти результаты на случай криволинейных ортогональных систем координат. Для начала договоримся, что для обозначения базисных векторов i r , j r ив суммах будем использовать 1 E r , 2 E r и 3 E r , например, i i E x r r r = . Наряду с этим будут использоваться и базисные векторы криволинейной системы координат i er , определённые в (47). Рис. 13. Итак, рассчитаем градиент скалярного поля ( ) rr ϕ . По определению j j i i j j i i q q E x q q E x grad grad ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ϕ ϕ ϕ ϕ r Для нахождения j q grad запишем В тоже время согласно (47) k k dq e r d r r = , тогда получим Последнее равенство может выполняться, очевидно, лишь в случае, если Сопоставляя этот результат с условием ортогональности системы координат ( ) ik i k i H e e δ 2 , = r r , немедленно находим i i i i i H n H e q r Тогда для градиента скалярной функции в ортогональной криволинейной системе координат получим следующее выражение ∑ = ∂ ∂ = 3 1 1 grad j j j j n q H r ϕ ϕ (54) В частности, для цилиндрической системы координат будем иметь z e z f e f e f f r Для получения выражения дивергенции векторного поля придётся воспользоваться её интегральным представлением (43). Так, рассмотрим бесконечно малый параллелепипед, отступив от точки пространства ( ) 3 2 1 , , q q q в направлении координатных линий на 1 dq , 2 dq и 3 dq соответственно (см. рис. 14). В этом случае гранями параллелепипеда являются участки координатных поверхностей. Рассчитаем теперь поток векторного поля A r через поверхность такого параллелепипеда. Очевидно, он складывается из шести слагаемых – потоков через каждую его грань. Например, с учётом структуры метрического тензора (51) и выражений (52) вклад от передней (закрашенной) грани имеет вида от противоположной ей ( ) 3 2 3 2 1 3 2 1 , , dq dq q q q H H A − . Объединяя вклады в поток от этих граней, получим ( ) 3 2 1 3 2 Действуя аналогично по отношению к двум оставшимся парам противоположных граней, для потока через поверхность параллелепипеда в итоге получим следующее ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 1 3 3 3 1 2 2 3 2 Разделив это выражение на объём 3 2 1 3 2 1 dq dq dq H H H dV = , получим искомый результат ( ) ( ) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 1 3 3 3 1 2 2 3 2 1 1 3 2 1 1 div H H A q H H A q H H A q H H H A r (55) Без вывода приведём также и выражение для ротора векторного поля в ортогональной криволинейной системе координат Рис. 14. 85 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 1 rot A H A H A H q q q n H n H n H H H H A ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = r r r r (56) В частности, в цилиндрической системе координат дивергенция и ротор имеют следующий вид ( ) z A A A A z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ϕ ρ ρ ρ ρ ϕ ρ 1 1 div r ρ , ( ) z z z n A A n A z A n z A A A r r r r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ϕ ρ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ 1 Выпишем в заключение также выражение для оператора Лапласа. На основе определения ψ ψ grad div = ∆ с учётом (54) и (55) имеем ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∆ 3 3 2 1 3 2 2 3 1 2 1 1 3 2 1 3 2 1 1 q H H H q q H H H q q H H H q H H H ψ ψ ψ ψ (57) Задания для самостоятельного решения |