Основы_вектан. Учебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ
 Скачать 1.02 Mb.
|
( ) r 1 grad ; б. ( ) r rr div ; в. ( ) r rr rot IV-2. Найти напряженность электрического поля E r , если распределение скалярного потенциала ϕ в пространстве имеет вида б. x Ae α ϕ − = ; в. 2 Az − = ϕ ; г. kr ln α ϕ = ; д. a r e r q − = ϕ (потенциал Юкавы). IV-3. Найти градиент скалярной функции ϕ а. ( ) r e r a r r ⋅ = ϕ ; б. ( ) r c r r r, 3 = ϕ ; в. ( ) 2 3 , r r a r r = ϕ ; где. Найти дивергенцию и ротор векторного поля A r а. [ ] r a A r r r , = ; б. ( ) r k c A r r r r , sin = ; в. ( ) n r a r A r r r r , = ; где ж. [ ] ( ) r a r a A r r r r r , , = ; з. ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = c b r r a A r r r r r , , IV-5. Доказать тождества а. ( ) ϕ ψ ψ ϕ ψ ϕ grad grad , grad + = ; б. [ ] ( ) ( ) B A A B B A r r r r r r rot , rot , , div − = ; в. [ ] ( ) ( ) A B B A B A A B B A r r r r r r r r r r div div , , , rot − + ∇ − ∇ = ; где , rot , , div , , − − ∇ − = ∇ ; ж. ( ) ( ) ϕ ψ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ∆ ⋅ + + ∆ ⋅ = ∆ grad , grad 2 , IV-6. Доказать, что величина i ik k x T B ∂ ∂ = есть тензор го ранга, и найти его компоненты, если а. k i ik C x T = ; б. k i ik C x r T 2 = IV-7. Доказать, что величина k k x B C ∂ ∂ = есть тензор нулевого ранга, и найти его компоненты, если ( ) r a r B r r r r , = , а } 0 , 0 , { 0 a a = r IV-8. Доказать, что ( ) A A A A r r r r rot − = ∇ ⋅ , если const 2 = A r IV-9. Вычислить а. ( ) ϕ grad , grad ar ; б. [ ] ϕ grad , rot ar ; в. ( ) ϕ grad , grad rr ; г. [ ] ϕ grad , rot rr 87 IV-10. Вычислить при ( ) 3 , r r d r r = ϕ : а. ( ) rr ⋅ ϕ div grad ; б. ( ) rr ⋅ ϕ rot rot ; в. ϕ grad div IV-11. Вычислить а. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ r a a r r rot , ; б. [ ] ( ) ( ) 2 , , , div r k r a r r r r r ∆ + ; в. [ ] r b a r r, rot ; где Вычислить а. r r r ) ( div ϕ ; г. ( ) ) ( rot r A r r ⋅ ; б. r r r ) ( rot ϕ ; две Найти функцию ) ( r ϕ , удовлетворяющую уравнению 0 ) ( div = r r r ϕ IV-14. Найти поток радиус-вектора через замкнутую поверхность цилиндра радиуса аи высотой h. IV-15. Найти поток радиус-вектора через замкнутую поверхность конуса с радиусом основания аи высотой h. IV-16. Интеграл по объёму ( ) ∫ V dV A rot , grad r ϕ преобразовать в интеграл по поверхности Вычислить интегралы а. ( ) ∫ S S d a r r r r , , б. ( ) ∫ S S d r a r r r, , если ar – постоянный вектор. IV-18. Интегралы по замкнутой поверхности а. ∫ S S d r ϕ , б. [ ] ∫ S S d a r r, , в. ( ) ∫ S S d a b r r r , , где ar , b r – постоянные векторы, преобразовать в интегралы по объёму, за- ключённому внутри поверхности. 88 IV-19. Доказать тождество ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ∫ ∫ − = − S V dS B A A B dV A B B A rot , rot , rot rot , rot rot , r r r r r r r r IV-20. Внутри объёма V векторное поле A r удовлетворяет условию 0 div = A r и на границе объёма – поверхности S – условию 0 = n A . Доказать, что 0 = ∫ V dV A r IV-21. Для тензора го ранга в трёхмерном пространстве доказать теорему Остроградского-Гаусса: Указание исходить из теоремы Остроградского-Гаусса для вектора k ik i d T A = , где d r – постоянный вектор) IV-22. Пользуясь интегральным представлением оператора ∇, доказать равенство, где ar , b r – постоянные векторы, nr – орт нормали к поверхности. IV-23. Вычисляя для поля ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −∇ = r q B r а. поток вектора B r через поверхность сферы единичного радиуса б. интеграл по объему сферы от B r div произвести прямое доказательство теоремы Остроградского-Гаусса. IV-24. Вычисляя для поля [ ] r r J A r r r × = ( const = J r ) а. циркуляцию вектора A r по окружности единичного радиуса б. поток A r rot через площадь круга единичного радиуса произвести прямое доказательство теоремы Стокса. IV-25. Найти значения интегралов, не прибегая к их прямому вычислению а. ∫ Ω = d n n i i π 4 1 , г. ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ Ω = d n b n a n b n a r r r r r r r r , , 4 1 , , π , б. ∫ Ω = d n n n n j i j i π 4 1 , д. ∫ Ω = d n n n n n n n n l k j i l k j i π 4 1 , где r r n r r = , ar и b r – постоянные векторы, ϕ θ θ d d d sin = Ω – элемент телесного угла, π 4 = Ω ∫ d . Интегрирование ведётся по всем направлениям в пространстве. IV-26. Найти значения коэффициентов Ламэ для сферической системы координат Найти вектор напряженности электрического поля при заданном распределении скалярного потенциала ( ) rr φ : а. ρ φ ln a = ; б. ( ) ϕ ϕ ρ φ cos sin − = c ; в. 2 kr = φ ; г. θ φ sin 2 br = IV-28. Найти плотность распределения заряда ρ при известном распределении электрического поля { } z E E E E , , ϕ ρ = r а. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 0 , 0 , ρ a E r ; б. { } 0 , 0 , ρ b E = r ; в. { } 0 , sin , cos ϕ ϕ − = k E r IV-29. Найти плотность распределения заряда ρ при известном распределении электрического поля при, при 3 R r r r aR R r r a E r r r IV-30. Найти вектор напряженности магнитного поля при заданном векторном потенциале { } z A A A A , , ϕ ρ = r . Найти A r div а. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 0 , 2 1 , 0 0 ρ H A r ; г. { } 2 2 0 , 0 , z z A A ρ ρ − = r ; б. { } ρ ln , 0 , 0 B A = r ; две Найти вектор напряженности магнитного поля при заданном векторном потенциале { } ϕ θ A A A A r , , = r . Найти A r div а. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 0 , 2 sin , cos 2 2 2 0 r r A A θ θ r ; г. { } θ sin , 0 , 0 r a r A A + = r ; б. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = ϕ ϕ , 2 , cos 0 r r A A r ; две Найти функцию ρ , удовлетворяющую уравнению πρ ϕ 4 = ∆ , если а. 2 Bz − = ϕ ; б. z Be α ϕ − − = ; в. z y x γ β α γ β α ρ π ϕ cos cos cos 4 2 2 2 0 + + = IV-33. Найти ( ) z , , ϕ ρ φ ∆ , если а. ρ φ a = ; г. ρ φ ln k − = ; б. 2 ρ φ c = ; две Найти ( ) ϕ θ φ , , r ∆ , если а. r a = φ ; г. ϕ φ cos cr = ; б. 2 cr = φ ; две Ответы I-4. а. t = 10, б. t = 2. I-6. a = 1. I-12 и I-13. Указание воспользоваться формулой (8). I-14. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ϕ ϕ ϕ ϕ α cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 x , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ϕ ϕ ϕ ϕ α cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos y II-3. k π ϕ + ± = 2 5 1 arctg , где 0 = k или 1 = k . При этом матрица тензора приобретает диагональный вид ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ± = ′ 1 0 0 0 2 5 3 0 0 0 2 5 3 Решение может быть также найдено в виде n 2 2 arctg 2 1 π ϕ + − = , где При этом следует различать повороты системы координат на углы сч тными и нечётными значениями n. II-25. Закон преобразования тензора в матричной форме имеет вид (21): T A A α α ⋅ ⋅ = ′ , откуда следует, что ( ) T T A A A α α α α det det det det det ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ′ . Поскольку в силу свойств матрицы поворота I T = ⋅ α α , то A A det det = ′ , что и требовалось доказать. Заметим, что симметрия тензора при этом роли не играет. II-26. а. 25, б. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 8 20 15 0 3 5 5 0 8 , в. 21. II-35. а. 1, б. 0. II-37. {2, 4, 6} (см. (28)). 92 III-1. а. } 12 , 12 , 8 { 0 − = E D r , } 10 , 11 , 6 { 4 0 − = π E P r , 22 3 13 cos = ∧ E D r r , = ∧ E P r r cos 257 3 43 = , б. E D r r = , 0 r r = P . Вектор D r коллинеарен вектору напряжённости электрического поля, если E r ориентирован вдоль одного из главных векторов тензора ij ε : } 1 , 2 , 2 { − A , } 2 , 2 , 1 { − − B или } 2 , 1 , 2 { C . Соответствующие собственные значения тензора 1 1 = ε , 7 2 = ε и 4 3 = ε . Коэффициенты A, B и C – произвольны Задача решается аналогично предыдущей. В пункте б. H B r r = , 0 r r = I . Вектор коллинеарен вектору напряжённости магнитного поля, если H r ориентирован вдоль одного из главных векторов тензора ij µ : } 1 , 1 , 2 { − A , } 2 , 0 или } 1 , 3 , 2 { C . Соответствующие собственные значения тензора 1 1 = µ , 2 и 5 3 = µ . Коэффициенты A, B и C – произвольны. III-4. Для каждой из систем материальных точек выберем систему координат с началом в центре масс, например, как показано на рисунке а. Тензор инерции в выбранной системе координат имеет вид ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 4 0 0 0 1 1 0 1 3 Его собственные значения ( ) 2 2 4 2 2 , 1 ± = ma I , 2 3 16ma I = , а также нормированные собственные векторы соответственно 93 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ± ± = 0 1 2 1 2 2 4 1 2 , 1 er и ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 3 er б. Тензор инерции в выбранной системе координат имеет вид ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 12 0 0 0 9 3 0 3 3 Его собственные значения ( ) 3 3 4 2 2 , 1 m ma I = , 2 3 24ma I = , а также нормированные собственные векторы соответственно ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ± ± = 0 1 3 2 3 2 2 1 2 , 1 m re и ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 3 er III-5. Уравнения движения для отдельного электрона при конфигурации полей { } H H , 0 , 0 = r и { } 0 , , y x E E E = r имеют вид Решение этой системы складывается из решения однородной системы уравнений и частного решения неоднородной ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + − = + + = − − 2 0 1 Постоянные 1 v и 2 v определяются электрическим полем ( ) ( ) 2 1 1 γ ω γ + + = m E E e y x v и ( ) ( ) 2 Здесь введены обозначения ω γ γ m = , mc eH = ω Очевидно, среднюю плотность тока определяют именно скорости 1 v и 2 v : слагаемые, пропорциональные 0 v , со временем стремятся к нулю. В связи с этим i T i T i n dt t n T j v v ) ( 1 lim 0 = = ∫ ∞ → , откуда, используя связь j ij i E j σ = , имеем ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = γ γ γ ω σ 1 1 1 Заметим, что в магнитном поле условие симметричности для тензора проводимости заменяется условием ( ) ( ) H H ji ij r r − = σ σ IV-1. а. 3 r rr − , б. r 2 , в. 0. IV-3. а. ( ) ( ) r a r r e r a r r r r − ⋅ 2 3 , , б. ( ) c r r r c r r r r r 3 , 3 + , в. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 2 3 , r r r a a r r a r r r r r r − ⋅ , где а. [ ] 0 , div = = ∂ ∂ = ik j ijk k j ijk i a x a x r a δ ε ε r r , [ ] i n in n njk ijk jm n knm ijk m n knm j ijk i a a a a x a x r a 2 2 , rot = = = = ∂ ∂ = δ ε ε δ ε ε ε ε r r , те. [ ] a r a r r r 2 , rot = . б. ( ) ( ) r k c k r r r r , cos , , [ ] ( ) r k c k r r r r , cos , , в. ( ) ( ) n r a n + 3 , r r , ( ) [ ] r a r a n n r r r Задания г, д и е однотипны векторное поле A r может быть представлено как [ ] ( ) r f r a r r, , а расчёт произведён в общем виде [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , div = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + = ∂ ∂ = r x r f x r f a r f x a x r f r a i k ik j ijk k j ijk i δ ε ε r r [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + = ∂ ∂ = r x r f x r f a r f x a x r f r a j m jm n knm ijk m n knm j ijk i δ ε ε ε ε r r, rot ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r f r a r x r a r f a r x r f x r f a i i i j m jm n jn im jm in ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + − = r Соответственно, [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r f r r a r r a r f a r f r a ′ − + = r r r r r r r , 2 , rot |