Главная страница
Навигация по странице:

  • IV-8.

  • IV-14.

  • II-26.

  • IV-1.

  • Основы_вектан. Учебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ


    Скачать 1.02 Mb.
    НазваниеУчебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ
    Дата25.04.2019
    Размер1.02 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаОсновы_вектан.pdf
    ТипУчебно-методический комплекс
    #75269
    страница8 из 9
    1   2   3   4   5   6   7   8   9

    IV-1. Вычислить а.
    ( )
    r
    1
    grad
    ; б.
    ( )
    r
    rr div
    ; в.
    ( )
    r
    rr rot
    IV-2. Найти напряженность электрического поля E
    r
    , если распределение скалярного потенциала
    ϕ
    в пространстве имеет вида б.
    x
    Ae
    α
    ϕ

    =
    ; в.
    2
    Az

    =
    ϕ
    ; г.
    kr
    ln
    α
    ϕ
    =
    ; д.
    a
    r
    e
    r
    q

    =
    ϕ
    (потенциал Юкавы).
    IV-3. Найти градиент скалярной функции
    ϕ
    а.
    ( )
    r
    e
    r
    a r r

    =
    ϕ
    ; б.
    (
    )
    r
    c
    r
    r r,
    3
    =
    ϕ
    ; в.
    (
    )
    2 3
    ,
    r
    r
    a r r
    =
    ϕ
    ; где. Найти дивергенцию и ротор векторного поля A
    r а.
    [ ]
    r
    a
    A
    r r
    r
    ,
    =
    ; б.
    ( )
    r
    k
    c
    A
    r r
    r r
    ,
    sin
    =
    ; в.
    (
    )
    n
    r
    a
    r
    A
    r r
    r r
    ,
    =
    ; где ж.
    [ ]
    (
    )
    r
    a
    r
    a
    A
    r r
    r r
    r
    ,
    ,
    =
    ; з.
    ( )
    ⎥⎦

    ⎢⎣

    =
    c
    b
    r
    r
    a
    A
    r r
    r r
    r
    ,
    ,
    IV-5. Доказать тождества а.
    (
    )
    ϕ
    ψ
    ψ
    ϕ
    ψ
    ϕ
    grad grad
    ,
    grad
    +
    =
    ; б.
    [ ]
    (
    ) (
    )
    B
    A
    A
    B
    B
    A
    r r
    r r
    r r
    rot
    ,
    rot
    ,
    ,
    div

    =
    ; в.
    [ ]
    ( )
    ( )
    A
    B
    B
    A
    B
    A
    A
    B
    B
    A
    r r
    r r
    r r
    r r
    r r
    div div
    ,
    ,
    ,
    rot

    +



    =
    ; где
    ,
    rot
    ,
    ,
    div
    ,
    ,




    =

    ; ж.
    (
    )
    (
    )
    ϕ
    ψ
    ψ
    ϕ
    ψ
    ϕ
    ψ
    ϕ


    +
    +


    =

    grad
    ,
    grad
    2
    ,
    IV-6. Доказать, что величина
    i
    ik
    k
    x
    T
    B


    =
    есть тензор го ранга, и найти его компоненты, если а.
    k
    i
    ik
    C
    x
    T
    =
    ; б.
    k
    i
    ik
    C
    x
    r
    T
    2
    =
    IV-7. Доказать, что величина
    k
    k
    x
    B
    C


    =
    есть тензор нулевого ранга, и найти его компоненты, если
    (
    )
    r
    a
    r
    B
    r r
    r r
    ,
    =
    , а
    }
    0
    ,
    0
    ,
    {
    0
    a
    a
    =
    r
    IV-8. Доказать, что
    (
    )
    A
    A
    A
    A
    r r
    r r
    rot

    =


    , если const
    2
    =
    A
    r
    IV-9. Вычислить а.
    (
    )
    ϕ
    grad
    ,
    grad
    ar
    ; б.
    [
    ]
    ϕ
    grad
    ,
    rot
    ar
    ; в.
    (
    )
    ϕ
    grad
    ,
    grad
    rr
    ; г.
    [
    ]
    ϕ
    grad
    ,
    rot
    rr

    87
    IV-10. Вычислить при
    ( )
    3
    ,
    r
    r
    d r r
    =
    ϕ
    : а.
    (
    )
    rr

    ϕ
    div grad
    ; б.
    (
    )
    rr

    ϕ
    rot rot ; в.
    ϕ
    grad div
    IV-11. Вычислить а.






    r
    a
    a
    r r rot
    ,
    ; б.
    [ ]
    (
    )
    ( )
    2
    ,
    ,
    ,
    div
    r
    k
    r
    a
    r
    r r
    r r

    +
    ; в.
    [ ]
    r
    b
    a
    r r,
    rot
    ; где Вычислить а.
    r
    r r
    )
    (
    div
    ϕ
    ; г.
    (
    )
    )
    (
    rot
    r
    A
    r
    r

    ; б.
    r
    r r
    )
    (
    rot
    ϕ
    ; две Найти функцию
    )
    (
    r
    ϕ
    , удовлетворяющую уравнению
    0
    )
    (
    div
    =
    r
    r r
    ϕ
    IV-14. Найти поток радиус-вектора через замкнутую поверхность цилиндра радиуса аи высотой h.
    IV-15. Найти поток радиус-вектора через замкнутую поверхность конуса с радиусом основания аи высотой h.
    IV-16. Интеграл по объёму
    (
    )

    V
    dV
    A rot
    ,
    grad r
    ϕ
    преобразовать в интеграл по поверхности Вычислить интегралы а.
    ( )

    S
    S
    d
    a
    r
    r r
    r , , б.
    ( )

    S
    S
    d
    r
    a
    r r
    r,
    , если
    ar – постоянный вектор.
    IV-18. Интегралы по замкнутой поверхности а.

    S
    S
    d
    r
    ϕ
    , б.
    [ ]

    S
    S
    d
    a
    r r, , в.
    ( )

    S
    S
    d
    a
    b
    r r
    r
    ,
    , где
    ar , b
    r
    – постоянные векторы, преобразовать в интегралы по объёму, за- ключённому внутри поверхности.

    88
    IV-19. Доказать тождество
    (
    ) (
    )
    (
    )
    [
    ] [
    ]
    (
    )



    =

    S
    V
    dS
    B
    A
    A
    B
    dV
    A
    B
    B
    A
    rot
    ,
    rot
    ,
    rot rot
    ,
    rot rot
    , r
    r r
    r r
    r r
    r
    IV-20. Внутри объёма V векторное поле A
    r удовлетворяет условию
    0
    div
    =
    A
    r и на границе объёма – поверхности
    S – условию
    0
    =
    n
    A
    . Доказать, что
    0
    =

    V
    dV
    A
    r
    IV-21. Для тензора го ранга в трёхмерном пространстве доказать теорему
    Остроградского-Гаусса: Указание исходить из теоремы Остроградского-Гаусса для вектора
    k
    ik
    i
    d
    T
    A
    =
    , где
    d
    r
    – постоянный вектор)
    IV-22. Пользуясь интегральным представлением оператора
    ∇, доказать равенство, где
    ar , b
    r
    – постоянные векторы,
    nr – орт нормали к поверхности.
    IV-23. Вычисляя для поля






    −∇
    =
    r
    q
    B
    r а. поток вектора
    B
    r через поверхность сферы единичного радиуса б. интеграл по объему сферы от
    B
    r div произвести прямое доказательство теоремы Остроградского-Гаусса.
    IV-24. Вычисляя для поля
    [ ]
    r
    r
    J
    A
    r r
    r
    ×
    =
    (
    const
    =
    J
    r
    ) а. циркуляцию вектора
    A
    r по окружности единичного радиуса б. поток
    A
    r rot через площадь круга единичного радиуса произвести прямое доказательство теоремы Стокса.
    IV-25. Найти значения интегралов, не прибегая к их прямому вычислению
    а.


    =
    d
    n
    n
    i
    i
    π
    4 1
    , г.
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )


    =
    d
    n
    b
    n
    a
    n
    b
    n
    a
    r r
    r r
    r r
    r r
    ,
    ,
    4 1
    ,
    ,
    π
    , б.


    =
    d
    n
    n
    n
    n
    j
    i
    j
    i
    π
    4 1
    , д.


    =
    d
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    l
    k
    j
    i
    l
    k
    j
    i
    π
    4 1
    , где
    r
    r
    n r r =
    ,
    ar и b
    r
    – постоянные векторы,
    ϕ
    θ
    θ
    d
    d
    d
    sin
    =

    – элемент телесного угла,
    π
    4
    =


    d
    . Интегрирование ведётся по всем направлениям в пространстве.
    IV-26. Найти значения коэффициентов Ламэ для сферической системы координат Найти вектор напряженности электрического поля при заданном распределении скалярного потенциала
    ( )
    rr
    φ
    : а.
    ρ
    φ
    ln
    a
    =
    ; б.
    (
    )
    ϕ
    ϕ
    ρ
    φ
    cos sin

    = c
    ; в.
    2
    kr
    =
    φ
    ; г.
    θ
    φ
    sin
    2
    br
    =
    IV-28. Найти плотность распределения заряда
    ρ
    при известном распределении электрического поля
    {
    }
    z
    E
    E
    E
    E
    ,
    ,
    ϕ
    ρ
    =
    r а.






    =
    0
    ,
    0
    ,
    ρ
    a
    E
    r
    ; б.
    {
    }
    0
    ,
    0
    ,
    ρ
    b
    E
    =
    r
    ; в.
    {
    }
    0
    ,
    sin
    ,
    cos
    ϕ
    ϕ

    = k
    E
    r
    IV-29. Найти плотность распределения заряда
    ρ
    при известном распределении электрического поля при, при 3
    R
    r
    r
    r
    aR
    R
    r
    r
    a
    E
    r r
    r
    IV-30. Найти вектор напряженности магнитного поля при заданном векторном потенциале
    {
    }
    z
    A
    A
    A
    A
    ,
    ,
    ϕ
    ρ
    =
    r
    . Найти
    A
    r div а.






    =
    0
    ,
    2 1
    ,
    0 0
    ρ
    H
    A
    r
    ; г.
    {
    }
    2 2
    0
    ,
    0
    ,
    z
    z
    A
    A
    ρ
    ρ

    =
    r
    ; б.
    {
    }
    ρ
    ln
    ,
    0
    ,
    0
    B
    A
    =
    r
    ; две Найти вектор напряженности магнитного поля при заданном векторном потенциале
    {
    }
    ϕ
    θ
    A
    A
    A
    A
    r
    ,
    ,
    =
    r
    . Найти
    A
    r div а.






    =
    0
    ,
    2
    sin
    ,
    cos
    2 2
    2 0
    r
    r
    A
    A
    θ
    θ
    r
    ; г.
    {
    }
    θ
    sin
    ,
    0
    ,
    0
    r
    a
    r
    A
    A
    +
    =
    r
    ; б.







    =
    ϕ
    ϕ
    ,
    2
    ,
    cos
    0
    r
    r
    A
    A
    r
    ; две Найти функцию
    ρ
    , удовлетворяющую уравнению
    πρ
    ϕ
    4
    =

    , если а.
    2
    Bz

    =
    ϕ
    ; б.
    z
    Be
    α
    ϕ


    =
    ; в.
    z
    y
    x
    γ
    β
    α
    γ
    β
    α
    ρ
    π
    ϕ
    cos cos cos
    4 2
    2 2
    0
    +
    +
    =
    IV-33. Найти
    (
    )
    z
    ,
    ,
    ϕ
    ρ
    φ

    , если а.
    ρ
    φ
    a
    = ; г.
    ρ
    φ
    ln
    k

    =
    ; б.
    2
    ρ
    φ
    c
    =
    ; две Найти
    (
    )
    ϕ
    θ
    φ
    ,
    ,
    r

    , если а.
    r
    a
    =
    φ
    ; г.
    ϕ
    φ
    cos
    cr
    =
    ; б.
    2
    cr
    =
    φ
    ; две Ответы

    I-4. а. t = 10, б. t = 2.
    I-6. a = 1.
    I-12 и I-13. Указание воспользоваться формулой (8).
    I-14.











    =
    ϕ
    ϕ
    ϕ
    ϕ
    α
    cos sin
    0
    sin cos
    0 0
    0 1
    x
    ,











    =
    ϕ
    ϕ
    ϕ
    ϕ
    α
    cos
    0
    sin
    0 1
    0
    sin
    0
    cos
    y
    II-3.
    k
    π
    ϕ
    +
    ±
    =
    2 5
    1
    arctg
    , где
    0
    =
    k
    или
    1
    =
    k
    . При этом матрица тензора приобретает диагональный вид


















    ±
    =

    1 0
    0 0
    2 5
    3 0
    0 0
    2 5
    3 Решение может быть также найдено в виде
    n
    2 2
    arctg
    2 1
    π
    ϕ
    +

    =
    , где При этом следует различать повороты системы координат на углы сч тными и нечётными значениями n.
    II-25. Закон преобразования тензора в матричной форме имеет вид (21):
    T
    A
    A
    α
    α


    =

    , откуда следует, что
    (
    )
    T
    T
    A
    A
    A
    α
    α
    α
    α
    det det det det det


    =


    =

    . Поскольку в силу свойств матрицы поворота
    I
    T
    =

    α
    α
    , то
    A
    A
    det det
    =

    , что и требовалось доказать. Заметим, что симметрия тензора при этом роли не играет.
    II-26. а. 25, б.










    8 20 15 0
    3 5
    5 0
    8
    , в. 21.
    II-35. а. 1, б. 0.
    II-37. {2, 4, 6} (см. (28)).

    92
    III-1. а. }
    12
    ,
    12
    ,
    8
    {
    0

    = E
    D
    r
    ,
    }
    10
    ,
    11
    ,
    6
    {
    4 0

    =
    π
    E
    P
    r
    ,
    22 3
    13
    cos
    =

    E
    D
    r r
    ,
    =

    E
    P
    r r
    cos
    257 3
    43
    =
    , б.
    E
    D
    r r
    = , 0
    r r
    =
    P
    . Вектор D
    r коллинеарен вектору напряжённости электрического поля, если E
    r ориентирован вдоль одного из главных векторов тензора
    ij
    ε
    : }
    1
    ,
    2
    ,
    2
    {

    A
    , }
    2
    ,
    2
    ,
    1
    {


    B
    или
    }
    2
    ,
    1
    ,
    2
    {
    C
    . Соответствующие собственные значения тензора
    1 1
    =
    ε
    ,
    7 2
    =
    ε
    и
    4 3
    =
    ε
    . Коэффициенты A, B и C – произвольны Задача решается аналогично предыдущей. В пункте б.
    H
    B
    r r
    =
    ,
    0
    r r
    =
    I
    . Вектор коллинеарен вектору напряжённости магнитного поля, если H
    r ориентирован вдоль одного из главных векторов тензора
    ij
    µ
    :
    }
    1
    ,
    1
    ,
    2
    {

    A
    ,
    }
    2
    ,
    0
    или
    }
    1
    ,
    3
    ,
    2
    {
    C
    . Соответствующие собственные значения тензора
    1 1
    =
    µ
    , 2 и
    5 3
    =
    µ
    . Коэффициенты A, B и C – произвольны.
    III-4. Для каждой из систем материальных точек выберем систему координат с началом в центре масс, например, как показано на рисунке а. Тензор инерции в выбранной системе координат имеет вид










    =
    4 0
    0 0
    1 1
    0 1
    3 Его собственные значения
    (
    )
    2 2
    4 2
    2
    ,
    1
    ±
    = ma
    I
    ,
    2 3
    16ma
    I
    =
    , а также нормированные собственные векторы соответственно

    93









    ⎛ ±
    ±
    =
    0 1
    2 1
    2 2
    4 1
    2
    ,
    1
    er и










    =
    1 0
    0 3
    er б. Тензор инерции в выбранной системе координат имеет вид










    =
    12 0
    0 0
    9 3
    0 3
    3 Его собственные значения
    (
    )
    3 3
    4 2
    2
    ,
    1
    m
    ma
    I
    =
    ,
    2 3
    24ma
    I
    =
    , а также нормированные собственные векторы соответственно









    ⎛ ±
    ±
    =
    0 1
    3 2
    3 2
    2 1
    2
    ,
    1
    m re
    и










    =
    1 0
    0 3
    er
    III-5. Уравнения движения для отдельного электрона при конфигурации полей
    {
    }
    H
    H
    ,
    0
    ,
    0
    =
    r и
    {
    }
    0
    ,
    ,
    y
    x
    E
    E
    E
    =
    r имеют вид Решение этой системы складывается из решения однородной системы уравнений и частного решения неоднородной
    ( )
    (
    )
    ( )
    (
    )
    ⎪⎩



    +
    +

    =
    +
    +
    =


    2 0
    1 Постоянные
    1

    v и
    2
    v определяются электрическим полем
    (
    )
    (
    )
    2 1

    1


    γ
    ω
    γ
    +
    +
    =
    m
    E
    E
    e
    y
    x
    v
    и
    (
    )
    (
    )
    2 Здесь введены обозначения
    ω
    γ
    γ
    m
    =

    ,
    mc
    eH
    =
    ω
    Очевидно, среднюю плотность тока определяют именно скорости
    1
    v и
    2
    v : слагаемые, пропорциональные
    0
    v
    , со временем стремятся к нулю. В связи с этим
    i
    T
    i
    T
    i
    n
    dt
    t
    n
    T
    j
    v
    v

    )
    (
    1
    lim
    0
    =
    =



    , откуда, используя связь
    j
    ij
    i
    E
    j
    σ
    =
    , имеем
    (
    )
    ⎟⎟


    ⎜⎜



    +
    =
    γ
    γ
    γ
    ω
    σ

    1 1


    1 Заметим, что в магнитном поле условие симметричности для тензора проводимости заменяется условием
    ( )
    ( )
    H
    H
    ji
    ij
    r r

    =
    σ
    σ
    IV-1. а.
    3
    r
    rr

    , б. r
    2 , в. 0.
    IV-3. а.
    ( )
    (
    )
    r
    a
    r
    r
    e
    r
    a
    r r
    r r


    2 3
    ,
    , б.
    ( )
    c
    r
    r
    r
    c
    r
    r r
    r r
    3
    ,
    3
    +
    , в.
    ( )
    ( )
    (
    )
    2 2
    2
    ,
    2 3
    ,
    r
    r
    r
    a
    a
    r
    r
    a
    r r
    r r
    r r


    , где а.
    [ ]
    0
    ,
    div
    =
    =


    =
    ik
    j
    ijk
    k
    j
    ijk
    i
    a
    x
    a
    x
    r
    a
    δ
    ε
    ε
    r r
    ,
    [ ]
    i
    n
    in
    n
    njk
    ijk
    jm
    n
    knm
    ijk
    m
    n
    knm
    j
    ijk
    i
    a
    a
    a
    a
    x
    a
    x
    r
    a
    2 2
    ,
    rot
    =
    =
    =
    =


    =
    δ
    ε
    ε
    δ
    ε
    ε
    ε
    ε
    r r
    , те.
    [ ]
    a
    r
    a
    r r
    r
    2
    ,
    rot
    =
    . б.
    ( ) ( )
    r
    k
    c
    k
    r r
    r r
    ,
    cos
    ,
    ,
    [ ]
    ( )
    r
    k
    c
    k
    r r
    r r
    ,
    cos
    ,
    , в.
    ( ) (
    )
    n
    r
    a
    n
    +
    3
    , r r
    ,
    ( )
    [ ]
    r
    a
    r
    a
    n
    n
    r r
    r Задания г, д и е однотипны векторное поле A
    r может быть представлено как
    [ ]
    ( )
    r
    f
    r
    a r r,
    , а расчёт произведён в общем виде
    [ ]
    ( )
    (
    )
    ( )
    ( )
    ( )
    0
    ,
    div
    =







    +
    =


    =
    r
    x
    r
    f
    x
    r
    f
    a
    r
    f
    x
    a
    x
    r
    f
    r
    a
    i
    k
    ik
    j
    ijk
    k
    j
    ijk
    i
    δ
    ε
    ε
    r r
    [ ]
    ( )
    (
    )
    ( )
    ( )
    ( )
    =







    +
    =


    =
    r
    x
    r
    f
    x
    r
    f
    a
    r
    f
    x
    a
    x
    r
    f
    r
    a
    j
    m
    jm
    n
    knm
    ijk
    m
    n
    knm
    j
    ijk
    i
    δ
    ε
    ε
    ε
    ε
    r r,
    rot
    (
    )
    ( )
    ( )
    ( )
    ( ) ( )
    r
    f
    r
    a
    r
    x
    r
    a
    r
    f
    a
    r
    x
    r
    f
    x
    r
    f
    a
    i
    i
    i
    j
    m
    jm
    n
    jn
    im
    jm
    in








    +
    =







    +

    =
    r Соответственно,
    [ ]
    ( )
    (
    )
    ( )
    ( )
    (
    ) ( )
    r
    f
    r
    r
    a
    r
    r
    a
    r
    f
    a
    r
    f
    r
    a


    +
    =
    r r
    r r
    r r
    r
    ,
    2
    ,
    rot

    95
    ё).
    ( )
    ( )
    (
    )
    r
    r
    c
    r
    e
    r
    c
    r r
    r r
    ,
    2
    ,
    +
    ,
    ( )
    [ ]
    r
    c
    r
    e
    r
    c
    r r
    r r
    ,
    ,

    , ж. 0,
    ( )
    ( )
    2 2
    ,
    ,
    r
    a
    a
    r
    r
    a
    a
    r r
    r r
    r r
    +
    , з.
    (
    )
    (
    )
    ( )
    3
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    r
    b
    r
    c
    a
    r
    r
    c
    a
    b
    r r
    r r
    r r
    r r

    ,
    [ ]
    [
    ]
    [ ]
    [
    ]
    ( )
    3
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    r
    b
    r
    c
    a
    r
    r
    c
    a
    b
    r r
    r r
    r r
    r r

    1   2   3   4   5   6   7   8   9


    написать администратору сайта