Основы_вектан. Учебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ
 Скачать 1.02 Mb.
|
|
§ 1. Определение тензора. Основы тензорной алгебры В предыдущей главе мы подробно рассмотрели свойства векторов и преобразование их координат при переходе от одного декартового базиса к другому. Вместе стем в различных областях математики, механики и физики встречаются более сложные объекты, компоненты которых при повороте базиса также преобразуются друг через друга определённым образом. Рассмотрим, к примеру, набор из девяти величин, образованных произведением компонент двух векторов j i B A . Используя закон преобразования компонент векторов (9), легко показать, что при повороте системы координат эти 9 величин преобразуются друг через друга так, что или, обозначая ij j i T B A = , получим nm jm in ij T T α α = ′ . Девять величин ij T , удовлетворяющих данному преобразованию, называются тензором второго ранга в трёхмерном пространстве. Аналогично можно определить набор из ми величин, которые будут преобразовываться следующим образом Величины ijk T в этом случае образуют тензор третьего ранга в трёхмерном пространстве. Заметим теперь, что для определения тензора вовсе необязательна привязка к каким-либо векторам тензорные величины могут определяться и сами по себе. Такого рода определение и приведено далее. Определение. Любая совокупность 3 R величин, заданных в каждом базисе и нумеруемых R индексами, изменяющимися от 1 до 3, образует тензор ранга R в трёхмерном пространстве, если при повороте ортогональной системы координат эти величины в исходном и конечном базисах связаны линейным законом Согласно определению, тензором нулевого ранга является скаляр – величина, не изменяющаяся при поворотах системы координат. Тензором первого ранга является вектор, преобразование компонент которого может быть выражено равенством (9) или (16): j ij i A A α = ′ или i T ki k A A ′ = α (19) Тензор второго ранга B ij в трёхмерном пространстве имеет 3 2 компонент, которые нумеруются двумя индексами. Законы его прямого и обратного преобразований при повороте системы координат имеют вид nm jm in ij B B α α = ′ nm T jm T in ij B B ′ = α α (20) В законе преобразования тензора третьего ранга будет уже три матрицы поворота и т.д. Приведённые выше определения нетрудно обобщить на пространства размерности N > 3. ☺ Пример 13. Пусть в исходной декартовой системе координат известны компоненты тензора второго ранга ij A , заданные матрицей ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 2 2 0 2 2 0 1 0 Требуется найти компоненты этого тензора в системе координат, повёрнутой вокруг осина. Для решения данной задачи удобно представить закон преобразования тензора второго ранга в матричной форме, как это делалось для преобразования вектора в примере 12. А для этого в свою очередь нужно поставить множители в законе преобразования в порядке, соответствующем произведению матриц, исходя из стоящих индексов суммирования. Итак, ( ) ij T T mj nm in jm nm in nm jm in ij A A A A A α α α α α α α α ⋅ ⋅ = = = = ′ fl T A A α α ⋅ ⋅ = ′ (21) Заметим здесь, что перестановка сомножителей в каждом слагаемом двойной суммы и транспонирование производилось затем, чтобы суммирование всякий раз происходило по второму индексу первого множителя и первому индексу множителя, следующего за ним. Например, выражение m n n i A α описывает перемножение компонент й строки матрицы поворота иго столбца матрицы А Нетрудно получить также и закон обратного преобразования тензора Действительно, домножая обе части равенства (21) на матрицу α (справа) и на матрицу α T (слева, а также учитывая свойство матрицы поворота (14), получим α α ⋅′ ⋅ = A A T (22) Вернёмся теперь к задаче. Воспользуемся соотношением (21): = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ′ 1 0 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 0 2 2 2 0 1 2 1 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 Определим теперь действия над тензорными величинами. 1. Сложение тензоров Складывать можно лишь тензоры одинаковых рангов, причём суммироваться должны их соответственные компоненты. В результате сложения получается тензор того же ранга. Например, так строится сумма двух тензоров третьего ранга Докажем на этом примере, что в результате суммирования двух тензоров третьего ранга ijk A и ijk B получился действительно тензор, обозначенный в равенстве как ijk C . Для того, чтобы доказать, что величины ijk C составляют тензор третьего ранга, необходимо доказать, что их совокупность удовлетворяет определению тензора третьего ранга. Так, очевидно, что число компонент ijk C соответствует числу компонент тензоров ijk A и ijk B и составляет 3 3 , и занумерованы они тремя индексами, что необходимо для тензора третьего ранга. Осталось проверить самое главное – выполнение закона преобразования. Для этого запишем исходное равенство в некоторой штрихованной системе координат и попробуем получить закон прямого тензорного преобразования для величин ijk C . Воспользуемся далее законами преобразования для тензоров ijk A и ijk B . Индексы суммирования n, m и l специально были выбраны совпадающими в суммах для обоих тензоров – это позволяет теперь вынести матрицы поворота за скобки В результате получаем равенство nml kl jm in ijk C C α α α = ′ , совпадающее с законом преобразования тензора третьего ранга. Таким образом, мы доказали, что сумма двух тензоров третьего ранга также является тензором третьего ранга. Очевидно, что аналогичное доказательство может быть проведено ив случае сложения тензоров произвольного ранга. Пример 14. Обсудим теперь пример того, как нельзя складывать тензоры и – главное – почему. Рассмотрим, например, сумму двух тензоров первого ранга ij j i C B A = + . ( ) Составляют ли величины ij C тензор второго ранга Очевидно, что если у каждого из двух тензоров первого ранга имеется потри компоненты, то при их сложении каждой с каждой будут получаться девять разных сумм. Таким образом, величин ij C всего девять и занумерованы они как раз двумя индексами. Пока всё как у тензора второго ранга. А вот с законом преобразования возникают проблемы. Очевидно, что при повороте системы координат левая часть равенства ( ) будет линейна по компонентам матрицы поворота, в то время как для тензора второго ранга зависимость должна быть квадратичной. Таким образом, величина ij C , определённая неправильной суммой двух тензоров первого ранга, сама тензором не является. 2. Умножение тензоров Результатом перемножения двух тензоров рангов и R 2 является тензор суммарного ранга R 1 + R 2 Например, произведение тензора первого ранга и тензора второго ранга даёт тензор третьего ранга Докажем в порядке упражнения, что величины ijk C действительно составляют тензор третьего ранга. Легко убедиться, что их количество и число индексов соответствуют определению тензора третьего ранга, поэтому остаётся проверить, как и ранее, лишь закон преобразования. Запишем исходное соотношение в некоторой штрихованной системе координат и воспользуемся тем, что i A и jk B являются тензорами и, следовательно, преобразуются известным образом Вынесем в данном произведении компоненты матриц поворота вперёд, а произведение обозначим как nml C : В итоге получается равенство – закон преобразования тензора третьего ранга nml kl jm in ijk C C α α α = ′ . Таким образом, в частном случае было доказано, что произведение тензоров является тензором суммарного ранга. 3. Свёртка тензора Свёрткой тензора называется операция умножения его на символ Кронекера с последующим суммированием по обоим его индексам. При свёртке ранг тензора уменьшается на два, поэтому сворачивать можно лишь тензоры, ранг которых не меньше двух. Например, возьмём тензор четвёртого ранга ijkl A и свернём его по второй паре индексов Обозначим теперь результат как ij B и докажем, что эта величина является тензором второго ранга. Итак, по определению Воспользуемся законом обратного преобразования для компонент тензора чет- вёртого ранга ijkl A и просуммируем выражение по k согласно свойству матриц поворота (12): nm T jm T in nmhh T jm T in nmlh lh T jm T in B A A ′ = ′ = ′ = α α α α δ α α K , где свёртка nmhh A′ была обозначена как nm B′ . В результате получаем закон обратного преобразования тензора второго ранга nm T jm T in ij B B ′ = α α . Таким образом, мы доказали, что величины ij B , являющиеся результатом свёртки тензора четвёрто- го ранга, действительно образуют тензор второго ранга. В рассмотренном примере тензор ijkl A можно было свернуть и по любой другой паре индексов, например, как kjkl A или ijjl A : результатом всё равно оказался бы тензор второго ранга (отличающийся, конечно, от ij B ). А вообще, тензор четвёртого ранга может быть свёрнут дважды, например, kjkj A , в результате чего получится тензор нулевого ранга, те. скаляр. Скаляр, образующийся в результате свёртки тензора второго ранга, называется следом тензора или его шпуром и обозначается значками Sp или Tr: ( ) ( ) ii ij ij A A A ≡ ≡ Tr Sp (23) Обозначения связаны с немецкими английским «trace», соответственно, которые и переводятся как след. Пользуясь законом преобразования тензора и свойством матриц поворота (15), нетрудно показать, что след тензора второго ранга инвариантен по отношению к произвольным поворотам системы координат ( ) ( ) ij kk jk jk jk ik ij ii ij A A A A A A Sp Sp = = = = ′ = ′ δ α α fl ( ) ( ) ij ij A A Sp Sp = ′ Операции перемножения тензоров и свёртки могут комбинироваться между собой, как, например, в выражении В порядке упражнения докажем на этом примере, что умножение тензоров третьего и второго рангов, ijk A и nm B , с последующей свёрткой является тензором третьего ранга. Действительно, при переходе в штрихованную систему координат будем иметь = ′ ′ = ′ ⋅ ′ = = st pqr T mt sk rk T jq T ip st T mt T ks pqr T kr T jq T ip km ijk ijm B A B A B A C α α α α α α α α α α pqt T mt T jq T ip rt pqr T mt T jq T ip st pqr T mt rs T jq T ip C B A B A ′ = ′ ′ = ′ ′ = α α α α α α α δ α α , те. pqt T mt T jq T ip ijm C C ′ = α α α , что и является законом обратного преобразования для тензора третьего ранга. При доказательстве, как и ранее, мы воспользовались, во-первых, тем, что перемножаемые величины являются тензорами и, следовательно, преобразуются известным образом, и, во-вторых, мы в очередной раз воспользовались свойством матрицы поворота. Теорема деления Если в каждой системе координат заданы N R величин R i i i T , , , 2 1 K и для любого тензора ранга r ( R r ≤ ) r i i i A , , , 2 1 K выражение r R i i i i i i A T , , , , , , 2 1 2 является тензором ранга R – r, то величины R i i i T , , , 2 1 K составляют тензор ранга R. Докажем эту теорему в частном случае. Пусть дано, что в каждой системе координат выполняется соотношение ik j ijk C B A = ⋅ , причем A ijk и C ik – тензоры третьего и второго рангов соответственно. Докажем, что B j является тензором первого ранга. Доказательство. Поскольку является тензором, для него верен закон преобразования jn kn ij ik C C α α = ′ . Продолжаем эту запись с учетом условий теоремы Теперь используем то, что A ijk – тензор, получим K K = ′ = ′ = m pqr rn qm pj kn ij m pqr T nr T mq T jp kn ij B A B A α α α α α α α α α α Используя свойство матрицы поворота, получим С другой стороны, в силу условий теоремы должно быть q iqk ik B A C ′ ′ = ′ . Следовательно Поскольку тензор iqk A′ , вообще говоря, ненулевой, получаем m qm q B B α = ′ , теза- кон преобразования тензора первого ранга для величин B i § 2. Симметрия тензоров Рассмотрим тензор второго ранга ij T . Он называется симметричным антисимметричным, если при перестановке двух индексов его компоненты не меняются (меняют знак на противоположный, те. ji ij T T = fl ij T – симметричный тензор ji ij T T − = fl ij T – антисимметричный тензор Тензор более высокого ранга может быть симметричен по одной паре индексов и наряду с этим антисимметричен подругой паре. Так, например, если jikn ijkn F F = и kjin ijkn F F − = , то говорят, что тензор четвёртого ранга ijkn F симметричен по первой паре индексов и антисимметричен по перестановке первого и третьего индексов. Условие симметрии приводит к сокращению числа независимых компонент тензора. Так, рассмотрим для простоты тензор второго ранга. В трёхмер- ном пространстве он имеет всего девять компонент, которые легко представить себе в виде квадратной матрицы 3 × 3. Если тензор является симметричным, то равны его компоненты, симметрично расположенные относительно главной диагонали. Очевидно, независимыми тогда можно назвать лишь те компоненты, что расположены над главной диагональю, а также элементы, стоящие непосредственно на ней. Тогда число независимых компонент симметричного тензора второго ранга в трёхмерном пространстве окажется равным шести. Что касается антисимметричного тензора второго ранга, то можно заметить, что его компоненты, расположенные выше главной диагонали матрицы тензора, отличаются знаком от соответственных компонент, расположенных ниже не. Компоненты, стоящие на главной диагонали, равны нулю. Это нетрудно показать. Пусть ij A – антисимметричный тензор, тогда ji ij A A − = . Если же выбрать в этом равенстве i = j, то получим jj jj A A − = (здесь нет суммы по j). Последнее условие выполняется лишь в случае, когда 0 = jj A . Таким образом, число независимых компонент антисимметричного тензора второго ранга в трёхмерном пространстве будет равно трём. Можно показать также, что свойство симметрии (антисимметрии) тензора – инвариантно, те. не зависит от системы координат. Рассмотрим симметричный (антисимметричный) тензор второго ранга, те. ji ij T T ± = . Докажем, что в системе координат, произвольно повёрнутой относительно исходной, это равенство также будет иметь место, те. будет ji ij T T ′ ± = ′ . В самом деле, ( ) ji mn in jm mn jm in nm jm in ij T T T T T ′ ± = ± = ± = = ′ α α α α α α , те. ji ij T T ′ ± = ′ , что и требовалось доказать. Иллюстрацией инвариантности свойства симметрии тензора является примерна стр. 28. Заметим также, что из доказанного следует ещё один практический вывод если изначально тензор не обладал ка- кой-либо симметрией, то ив любой другой системе координат никакой симметрией обладать не будет. Теорема Произвольный тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Доказательство. Рассмотрим произвольный тензор второго ранга ij T . Очевидно, что для любой из его компонент справедливы равенства ij ij ji ij ji ij ji ji ij ij ij ij ij A S T T T T T T T T T T T + = − + + = − + + = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 , где введены обозначения ( ) 2 ji ij ij T T S + = и ( ) 2 ji ij ij T T A − = . Заметим далее, что • ji ij ji ji ij ij S T T T T S = + = + = 2 2 , те. ij S – симметричный тензор, 36 • ji ij ji ji ij ij A T T T T A − = − − = − = 2 2 , те. ij A – антисимметричный тензор. Таким образом, мы показали, что произвольный тензор ij T может быть представлен в виде суммы симметричной ij S и антисимметричной ij A составляющих. Теорема доказана. ☺ Пример 15. Пусть в некоторой декартовой системе координат известны компоненты тензора ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 6 1 4 1 1 3 2 Задача состоит в том, чтобы найти его симметричную ij S и антисимметричную ij A составляющие, а также найти По формулам, выведенным при доказательстве теоремы, нетрудно найти ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + = 6 0 3 0 1 3 3 3 1 6 1 2 1 1 3 4 3 1 6 1 4 1 1 3 2 3 1 2 1 2 ji ij ij P P S ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − = 0 1 1 1 0 0 1 0 0 6 1 2 1 1 3 4 3 1 6 1 4 1 1 3 2 3 1 2 1 2 ji ij ij P P A Введём далее обозначение ik jk ij D A S = . Исходя из расположения индекса суммирования в левой части этого равенства, в матричной форме оно примет вид A S D ⋅ = . Найдём тогда компоненты D ik : ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 3 6 6 4 0 0 4 3 3 0 1 1 1 0 0 1 0 0 6 0 3 0 1 3 3 3 1 ik D ( ) kk jk kj jk ij D A S A S Sp = ≡ , те. необходимо найти сумму диагональных элементов матрицы тензора D ik . Она равна нулю. Таким образом, ( ) 0 Sp = jk ij A S 37 ☺ Пример 16. В предыдущем примере мы получили, что двойная свёртка оказалась равной нулю. Покажем теперь в общем виде, что свёртка симметричного и антисимметричного ij A тензоров равна нулю всегда. Мы воспользовались свойствами симметрии этих тензоров, а теперь совершим ещё переименование индексов суммирования вместо j будем писать k, а вместо k будем писать j эта операция обозначается также j ¨ k), тогда В итоге, пришли к равенству jk kj jk kj A S A S − = , откуда следует, что такая сумма равна нулю, те. 0 = jk kj A S |