Основы_вектан. Учебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ
 Скачать 1.02 Mb.
|
|
§ 5. Инварианты тензоров второго ранга Подобно тому, как при повороте декартовой системы координат и изменении компонент векторов их длины остаются неизменными, для тензоров второго ранга также существуют свои инварианты. Для получения явного вида этих выражений распишем характеристическое уравнение (30) в явном виде, приведя подобные с одинаковыми степенями λ: ( ) 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 22 21 12 11 33 31 13 11 33 32 23 22 33 22 11 Тензор T ij может быть записан в разных системах координатно при этом корни характеристического уравнения – его собственные значения – от системы координат не зависят, т.к. являются скалярами. Это означает, что коэффициенты характеристического уравнения не меняются при повороте системы координат, те. являются инвариантами. Выпишем эти инварианты. ( ) ij T T T T I Sp 33 22 11 1 ≡ + + = , 22 21 12 11 33 31 13 11 33 32 23 22 2 T T T T T T T T T T T T I + + = , 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 T T T T T T T T T I = . (33) Заметим, что ранее уже было доказано, что шпур тензора второго ранга инвариантен по отношению к поворотам системы координат. Сейчас мы пришли к этому факту совсем с другой позиции. Инварианты можно выразить также через собственные значения тензора, для этого достаточно расписать их в его собственной системе координат 3 2 1 1 λ λ λ + + = I , 1 3 3 2 2 1 2 λ λ λ λ λ λ + + = I , 3 2 1 Используя эти инварианты, можно составлять другие инварианты, представляющие собой различные комбинации 1 I , 2 I и 3 I . Например, инвариантом является комбинация ji ij T T T T T T T T T T T I I = + + + + + = − 32 23 31 13 21 12 2 33 2 22 2 11 2 2 1 2 2 2 2 Задания для самостоятельного решения II-1. В исходной декартовой системе координат известны компоненты тензора ij A . Найти его компоненты в системе координат, повёрнутой относительно исходной на некоторый угол вокруг одной из осей а. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 2 0 1 0 2 0 1 ij A , вокруг осина б. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ij A , вокруг осина в. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 2 2 0 2 2 0 1 0 1 0 ij A , вокруг осина В системе координат, полученной из исходной декартовой системы путём её поворота на некоторый угол вокруг одной из осей, известны компоненты тензора ij A′ . Найти его компоненты в исходной системе координат (до поворота а. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ′ 1 0 3 0 1 3 1 3 1 ij A , вокруг осина б. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ′ 3 0 3 0 0 4 3 0 3 ij A , вокруг оси у на 120 °; в. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ′ 0 4 0 4 0 0 0 3 2 2 ij A , вокруг осина В некоторой декартовой системе координат даны компоненты тензора 49 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 0 0 0 1 1 0 На какой угол ϕ вокруг оси Oz нужно повернуть систему координат, чтобы в новой системе координат компонента 12 T стала равной нулю Чему равны остальные компоненты ik T ′ в новой системе координат II-4. Доказать, что сумма ij ij B A ⋅ + ⋅ β α представляет собой компоненты тензора второго ранга, если известно, что ij A и ij B – тензоры второго ранга, аи скаляры. II-5. Доказать, что произведение n n j ij C B A δ является вектором, если A r , B r и C r – векторы. II-6. В некоторой декартовой системе координат известно соотношение jk i ijk B A M = . Известно, что i A и jk B составляют компоненты тензоров го иго рангов соответственно. Доказать, что ijk M – тензор го ранга. II-7. nkml R – тензор го ранга. Доказать, что nkkl nl R D = – тензор го ранга. II-8. В некоторой декартовой системе координат известно соотношение kn n k T H F = , где kn T – тензор го ранга, F r – вектор. Доказать, что n H образует вектор. II-9. В некоторой декартовой системе координат известно соотношение k ik i C B A = . Доказать, что а. ik B – тензор го ранга, если A r и C r – векторы б. i A – вектор, если ik B – тензор го ранга, C r – вектор. II-19. В некоторой декартовой системе координат известно соотношение ki jk ij C B A F = . Доказать, что а. F – скаляр, если ij A , jk B , ki C – тензоры второго ранга б. jk B – тензор второго ранга, если F – скаляра тензоры второго ранга. 50 II-20. В некоторой декартовой системе координат имеет место соотношение ink mi nkm R A T = . Доказать, что а. mi A – тензор го ранга, если nkm T и ink R – тензоры го ранга б. ink R – тензор го ранга, если nkm T и mi A – тензоры го иго рангов соответственно. II-21. В некоторой декартовой системе координат имеет место соотношение nl mknl m k R T A S = . Доказать, что а. m A – вектор, если k S – вектора и nl R – тензоры го иго рангов соответственно б. mknl T – тензор го ранга, если k S и m A – векторы, а nl R – тензор го ранга в. nl R – тензор го ранга, если k S и m A – векторы, а mknl T – тензор го ранга. II-22. Даны два тензора го иго рангов соответственно – ik P и nml R . Получить из них путём перемножения и свёртывания тензоры го, го иго рангов. II-23. Записать в развёрнутой форме и по возможности упростить выражение j i ij x x D , если а. ji ij D D = ; б. ji ij D D − = II-24. Даны три вектора – i A , j B , k C . Построить зависящие от них а. инварианты б. тензоры го ранга в. симметричный тензор го ранга. II-25. Используя свойства матрицы поворота, доказать, что определитель тензора второго ранга является инвариантом. II-26. В некотором базисе задан тензор го ранга 51 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 4 3 0 1 1 1 Известны также два вектора } 3 , 1 , 2 { = A r и } 3 , 1 , 1 { − = B r . Найти а. j i ij B A T ; б. nn ij ij T T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − δ 5 2 ; в. j i ij ij B A T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − δ 5 2 II-27. Доказать, что произведение компонент двух векторов A r и B r образует тензор второго ранга. Найти матрицу этого тензора в системе K, если известны компоненты } 2 , 1 , 1 { − = A r в системе K ив системе K', получаемой из K поворотом вокруг осина Доказать, что произведение компонент векторов i A и j B образуют тензор второго ранга. Найти компоненты этого тензора в системе координат K', если известны компоненты } 2 , 0 , 1 { = A r ив системе K и матрица, связывающая систему K с системой K': ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ik α II-29. В некоторой системе координат известны компоненты двух векторов – } 1 , 2 , 1 { − = A r и } 4 , 3 , 2 { − = B r . Найти матрицу тензора k ijk j i ij A B A T ε − = и вычислить его след. II-30. Из тензора второго ранга ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 4 0 0 2 1 1 2 и векторов } 1 , 1 , 1 { = A r и } 1 , 2 , 0 { = B r построить величины а. j i ll ij ij B A T T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − δ 4 1 ; б. n ij ij A T δ 52 II-31. В некотором базисе известны два вектора – } 1 , 2 , 1 { − = A r и } 4 , 2 Из компонент этих векторов построить симметричный и антисимметричный тензоры второго ранга. II-32. В некоторой системе координат известны компоненты тензора го ранга. Разложить его на симметричную ij S и антисимметричную ij A составляющие. Найти ( ) nj in A S Sp . II-33. Разложить тензор ij F , матрица которого имеет следующий видна симметричную ij S и антисимметричную ij A составляющие. Найти матрицу тензора nn ij ij ij F S G δ 3 1 − = . Чему равен его след II-34. Разложить тензор ij H , матрица которого имеет следующий видна симметричную ij S и антисимметричную ij A составляющие. Найти свёртку ij ij A S II-35. В некоторой системе координат задан тензор второго ранга ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 3 0 2 1 3 Чему равны следующие свёртки: а. ik ik C δ ; б. jk ijk C ε ? 53 II-36. Даны векторы } 2 , 1 , 1 { − = B r и } 1 , 2 , 0 { = C r . Чему равны следующие свёрт- ки: а. k i ik C B δ ; б. k j ijk C B ε ? II-37. Пусть вектор A r имеет компоненты {1, 2, 3}. Найти свёртку: m klm ikl A ε ε II-38. Определить компоненты антисимметричного тензора ik T в системе координат, если компоненты вектора, дуального ik T , в системе K' есть {1, 2, 1}, а матрица преобразования к системе K' имеет вид ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ik α II-39. Найти собственные значения и собственные векторы приведённых ниже тензоров. Проверить свойство ортогональности собственных векторов. а. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 3 0 3 4 1 0 1 1 ij A ; г. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 1 1 1 1 1 1 1 0 ij D ; б. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 0 2 0 0 1 2 1 4 ij B ; две. Приложения теории тензоров § 1. Тензорная форма физических законов Понятие тензора и математический аппарат тензорного анализа широко и плодотворно используются в самых различных областях физики. Например, спектр электромагнитных волн, которые могут распространяться в плазме, определяет тензор диэлектрической проницаемости. При этом само понятие плазма охватывает широкий круг объектов и явлений, включающий в себя ионосферную плазму, плазму газового разряда, твердотельную плазму и т.д. Ещё пример – эффект Холла, состоящий в том, что протекание тока в металле, помещённом в магнитное поле, сопровождается возникновением поперечного электрического поля. При этом связь между компонентами вектора плотности тока j r и напряжённости электрического поля E r определяется тензором удельного сопротивления ik ρ : Специальная (СТО) и общая (ОТО) теории относительности – это две области физики, само существование которых было бы невозможным без тензорного исчисления. В то время как математический аппарат СТО сводится к теории тензорных полей в четырёхмерном псевдоевклидовом пространстве, в ОТО пространство событий псевдориманово 1 . В квантовой теории поля, являющейся основой для описания взаимодействий элементарных частиц, также широко используются понятия и методы тензорного анализа. Наконец, физические свойства кристаллов, как анизотропных сред, наиболее естественно описываются именно тензорами, примеры которых мы рассмотрим ниже. Действительно, анизотропия (те. зависимость свойств от выбранного направления) предъявляет требования к форме записи физических соотношений. Так, например, для однородных изотропных сред закон Ома имеет вид E j r r σ = и определяет, таким образом, коллинеарность векторов плотности электрическо- 1 Рассмотрение тензоров в псевдоевклидовом и псевдоримановом пространствах выходит за рамки данного пособия. Желающие могут ознакомиться с этим материалом, например, по книге П.К. Рашевского Риманова геометрия и тензорный анализ (посл. издание в 2010 г. го тока j r и напряжённости электрического поля E r . В анизотропной среде закон Ома приобретает иной вид Здесь компоненты векторов j r и E r связаны через составляющие тензора проводимости nk σ . Это означает, что в общем случае направление протекания электрического тока отличается от направления приложенного электрического поля. Тензорное соотношение в общем случае связывает вектор поляризации диэлектрика P r с вектором E r : j ij i E P α = , где ij α – тензор поляризуемости. Наряду с ним вводится также симметричный тензор диэлектрической проницаемости ij ε : ij ij ij πα δ ε 4 + = , который в свою очередь позволяет найти компоненты вектора электрической индукции Аналогичным образом описываются и магнитные свойства кристаллов. Так компоненты вектора намагниченности I r связаны с компонентами вектора напряжённости магнитного поля H r посредством симметричного тензора магнитной восприимчивости ij χ : Вектор магнитной индукции B r в общем случае неколлинеарен вектору H r : Здесь ij ij ij πχ δ µ 4 + = – тензор магнитной проницаемости, также симметричный. Если какое-либо его собственное значение оказывается больше единицы, это означает, что кристалл в данном направлении (направлении соответствующей собственной оси) парамагнитен. Если собственное значение меньше единицы, тов соответствующем направлении кристалл проявляет диамагнитные свойства. Существуют также некоторые свойства кристаллов, которые связаны с тензорным откликом анизотропной среды на скалярные внешние воздействия. Одним из таких свойств является, например, тепловое расширение при изменении температуры кристалла на малую величину T ∆ происходит пропорциональная ей деформация, описываемая симметричным тензором деформации не путать с тензором диэлектрической проницаемости T ij ij ∆ = α ε , где ij α – тензор теплового расширения, также симметричный. Для некоторых кристаллов характерно проявление прямого пьезоэлектрического эффекта, когда под действием механических напряжений в объёме кристалла возникает электрическая поляризация. При этом компоненты вектора поляризации P r связаны с компонентами тензора напряжений ij σ через свёрт- ку последнего с тензором третьего ранга ijk d , составляющие которого называют пьезоэлектрическими модулями Тензор ijk d симметричен по второй паре индексов, отчего имеет 18 независимых компонент. Если пьезокристалл помещён во внешнее электрическое поле, в нём возникает деформация. Этот эффект называется обратным пьезоэлектрическим эффектом. При этом компоненты тензора деформации ij ε определяются соотношением Пример 20. Используя закон Кулона и принцип суперпозиции, можно показать, что потенциал системы из трёх зарядов (см. рис. 6) на расстояниях a R >> может быть представлен в виде 57 ( ) 5 2R R R D R j i ij = r ϕ , где i R – компоненты радиус-вектора R r , а ij D – тензор квадрупольного момента системы из N зарядов (в нашем случае N = 3): ( ) ∑ = − = N ij n n j i ij x x x x q D 1 3 α α α α α α δ , где α i x – i -ая компонента радиус-вектора заряда с номером. Задача состоит в том, чтобы выяснить свойства тензора квадрупольного момента найти матрицу этого тензора для системы зарядов, изображённой на рисунке найти потенциал ( ) R r ϕ и установить его зависимость от угла θ сферической системы координат. Итак, что касается свойств тензора ij D , то легко заметить, что это тензор симметричный. Кроме того, ( ) 0 3 3 Sp 1 = − = ∑ = N n n i i ij x x x x q D α α α α α α , откуда, в частности, следует, что 33 22 Обратимся к системе зарядов, изображённой на рис. 6. Очевидно, что выбранная там система координат, является системой главных осей тензора ij D , причём, в силу симметрии 22 11 D D = . Таким образом, необходимо определить только одну из диагональных компонент тензора, например, 11 D : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 1 1 1 11 2 0 Соответственно, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 2 2 4 0 0 0 2 0 0 0 Используя это выражение, получим Рис. 6. 58 ( ) ( ) 5 2 3 2 2 2 2 1 2 2 4 или, переходя к сферическим координатам, ( ) ( ) 1 cos 3 , 2 Заметим также, что эта формула может быть представлена в виде ( ) ( ) θ θ ϕ cos 2 , 2 3 2 P R qa R = , где ( ) θ cos 2 P – полином Лежандра второго порядка. ☺ Пример 21. Найти потенциал точечного заряда в однородной анизотропной среде, характеризуемой тензором диэлектрической проницаемости В общем случае потенциал ( ) r r ϕ удовлетворяет уравнению ( ) r q x x j ij i r δ π ϕ ε 4 − = ∂ ∂ ∂ ∂ , где ( ) r r δ – дельта-функция Дирака (см. Приложение. Для однородной среды уравнение примет вид ( ) r q x x j i ij r δ π ϕ ε 4 В системе главных осей тензора ij ε уравнение значительно упрощается ( ) r q x x x r δ π ϕ ε ϕ ε ϕ ε 4 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ Произведём теперь замену переменных i i i x x ε = ′ , тогда ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 2 Используя свойство дельта-функции ( ) ( ) γ δ γ δ x x = , придём к уравнению ( ) ( ) r q r ′ − = ′ ∆ r r δ ε ε ε π ϕ 3 2 1 4 , решение которого |