Главная страница
Навигация по странице:

  • II-25.

  • II-37.

  • Основы_вектан. Учебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ


    Скачать 1.02 Mb.
    НазваниеУчебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ
    Дата25.04.2019
    Размер1.02 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаОсновы_вектан.pdf
    ТипУчебно-методический комплекс
    #75269
    страница5 из 9
    1   2   3   4   5   6   7   8   9
    § 5. Инварианты тензоров второго ранга Подобно тому, как при повороте декартовой системы координат и изменении компонент векторов их длины остаются неизменными, для тензоров второго ранга также существуют свои инварианты. Для получения явного вида этих выражений распишем характеристическое уравнение (30) в явном виде, приведя подобные с одинаковыми степенями λ:
    (
    )
    0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 22 21 12 11 33 31 13 11 33 32 23 22 33 22 11 Тензор
    T
    ij
    может быть записан в разных системах координатно при этом корни характеристического уравнения – его собственные значения – от системы координат не зависят, т.к. являются скалярами. Это означает, что коэффициенты характеристического уравнения не меняются при повороте системы координат, те. являются инвариантами. Выпишем эти инварианты.
    ( )
    ij
    T
    T
    T
    T
    I
    Sp
    33 22 11 1

    +
    +
    =
    ,
    22 21 12 11 33 31 13 11 33 32 23 22 2
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    I
    +
    +
    =
    ,
    33 32 31 23 22 21 13 12 11 3
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    I
    =
    . (33) Заметим, что ранее уже было доказано, что шпур тензора второго ранга инвариантен по отношению к поворотам системы координат. Сейчас мы пришли к этому факту совсем с другой позиции. Инварианты можно выразить также через собственные значения тензора, для этого достаточно расписать их в его собственной системе координат
    3 2
    1 1
    λ
    λ
    λ
    +
    +
    =
    I
    ,
    1 3
    3 2
    2 1
    2
    λ
    λ
    λ
    λ
    λ
    λ
    +
    +
    =
    I
    ,
    3 2
    1 Используя эти инварианты, можно составлять другие инварианты, представляющие собой различные комбинации
    1
    I ,
    2
    I и
    3
    I . Например, инвариантом является комбинация
    ji
    ij
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    T
    I
    I
    =
    +
    +
    +
    +
    +
    =

    32 23 31 13 21 12 2
    33 2
    22 2
    11 2
    2 1
    2 2
    2 2
    Задания для самостоятельного решения
    II-1. В исходной декартовой системе координат известны компоненты тензора
    ij
    A . Найти его компоненты в системе координат, повёрнутой относительно исходной на некоторый угол вокруг одной из осей а.











    =
    1 0
    2 0
    1 0
    2 0
    1
    ij
    A
    , вокруг осина б.













    =
    2 1
    2 1
    1 1
    2 1
    2
    ij
    A
    , вокруг осина в.












    =
    0 2
    2 0
    2 2
    0 1
    0 1
    0
    ij
    A
    , вокруг осина В системе координат, полученной из исходной декартовой системы путём её поворота на некоторый угол вокруг одной из осей, известны компоненты тензора
    ij
    A′ . Найти его компоненты в исходной системе координат (до поворота а.












    =

    1 0
    3 0
    1 3
    1 3
    1
    ij
    A
    , вокруг осина б.












    =

    3 0
    3 0
    0 4
    3 0
    3
    ij
    A
    , вокруг оси у на 120
    °; в.











    =

    0 4
    0 4
    0 0
    0 3
    2 2
    ij
    A
    , вокруг осина В некоторой декартовой системе координат даны компоненты тензора

    49












    =
    1 0
    0 0
    1 1
    0 На какой угол
    ϕ
    вокруг оси
    Oz нужно повернуть систему координат, чтобы в новой системе координат компонента
    12
    T стала равной нулю Чему равны остальные компоненты
    ik
    T
    в новой системе координат
    II-4. Доказать, что сумма
    ij
    ij
    B
    A

    +

    β
    α
    представляет собой компоненты тензора второго ранга, если известно, что
    ij
    A и
    ij
    B – тензоры второго ранга, аи скаляры.
    II-5. Доказать, что произведение
    n
    n
    j
    ij
    C
    B
    A
    δ
    является вектором, если
    A
    r
    ,
    B
    r и
    C
    r
    – векторы.
    II-6. В некоторой декартовой системе координат известно соотношение
    jk
    i
    ijk
    B
    A
    M
    =
    . Известно, что
    i
    A и
    jk
    B составляют компоненты тензоров го иго рангов соответственно. Доказать, что
    ijk
    M – тензор го ранга.
    II-7.
    nkml
    R
    – тензор го ранга. Доказать, что
    nkkl
    nl
    R
    D
    =
    – тензор го ранга.
    II-8. В некоторой декартовой системе координат известно соотношение
    kn
    n
    k
    T
    H
    F
    =
    , где
    kn
    T
    – тензор го ранга, F
    r
    – вектор. Доказать, что
    n
    H
    образует вектор.
    II-9. В некоторой декартовой системе координат известно соотношение
    k
    ik
    i
    C
    B
    A
    =
    . Доказать, что а.
    ik
    B – тензор го ранга, если A
    r и
    C
    r
    – векторы б.
    i
    A – вектор, если
    ik
    B – тензор го ранга, C
    r
    – вектор.
    II-19. В некоторой декартовой системе координат известно соотношение
    ki
    jk
    ij
    C
    B
    A
    F
    =
    . Доказать, что а.
    F – скаляр, если
    ij
    A ,
    jk
    B ,
    ki
    C – тензоры второго ранга б.
    jk
    B – тензор второго ранга, если F – скаляра тензоры второго ранга.

    50
    II-20. В некоторой декартовой системе координат имеет место соотношение
    ink
    mi
    nkm
    R
    A
    T
    =
    . Доказать, что а.
    mi
    A – тензор го ранга, если
    nkm
    T и
    ink
    R – тензоры го ранга б.
    ink
    R
    – тензор го ранга, если
    nkm
    T
    и
    mi
    A
    – тензоры го иго рангов соответственно.
    II-21. В некоторой декартовой системе координат имеет место соотношение
    nl
    mknl
    m
    k
    R
    T
    A
    S
    =
    . Доказать, что а.
    m
    A – вектор, если
    k
    S – вектора и
    nl
    R – тензоры го иго рангов соответственно б.
    mknl
    T
    – тензор го ранга, если
    k
    S и
    m
    A – векторы, а
    nl
    R – тензор го ранга в.
    nl
    R – тензор го ранга, если
    k
    S и
    m
    A – векторы, а
    mknl
    T
    – тензор го ранга.
    II-22. Даны два тензора го иго рангов соответственно –
    ik
    P и
    nml
    R . Получить из них путём перемножения и свёртывания тензоры го, го иго рангов.
    II-23. Записать в развёрнутой форме и по возможности упростить выражение
    j
    i
    ij
    x
    x
    D
    , если а.
    ji
    ij
    D
    D
    =
    ; б.
    ji
    ij
    D
    D

    =
    II-24. Даны три вектора –
    i
    A ,
    j
    B ,
    k
    C . Построить зависящие от них а. инварианты б. тензоры го ранга в. симметричный тензор го ранга.
    II-25. Используя свойства матрицы поворота, доказать, что определитель тензора второго ранга является инвариантом.
    II-26. В некотором базисе задан тензор го ранга

    51










    =
    2 4
    3 0
    1 1
    1 Известны также два вектора }
    3
    ,
    1
    ,
    2
    {
    =
    A
    r и
    }
    3
    ,
    1
    ,
    1
    {

    =
    B
    r
    . Найти а.
    j
    i
    ij
    B
    A
    T
    ; б.
    nn
    ij
    ij
    T
    T







    δ
    5 2
    ; в.
    j
    i
    ij
    ij
    B
    A
    T







    δ
    5 2
    II-27. Доказать, что произведение компонент двух векторов A
    r и B
    r образует тензор второго ранга. Найти матрицу этого тензора в системе
    K, если известны компоненты
    }
    2
    ,
    1
    ,
    1
    {

    =
    A
    r в системе
    K ив системе
    K', получаемой из K поворотом вокруг осина Доказать, что произведение компонент векторов
    i
    A и
    j
    B образуют тензор второго ранга. Найти компоненты этого тензора в системе координат
    K', если известны компоненты
    }
    2
    ,
    0
    ,
    1
    {
    =
    A
    r ив системе
    K и матрица, связывающая систему
    K с системой K':











    =
    1 0
    0 0
    0 1
    0 1
    0
    ik
    α
    II-29. В некоторой системе координат известны компоненты двух векторов –
    }
    1
    ,
    2
    ,
    1
    {

    =
    A
    r и
    }
    4
    ,
    3
    ,
    2
    {

    =
    B
    r
    . Найти матрицу тензора
    k
    ijk
    j
    i
    ij
    A
    B
    A
    T
    ε

    =
    и вычислить его след.
    II-30. Из тензора второго ранга












    =
    4 0
    0 2
    1 1
    2 и векторов
    }
    1
    ,
    1
    ,
    1
    {
    =
    A
    r и
    }
    1
    ,
    2
    ,
    0
    {
    =
    B
    r построить величины а.
    j
    i
    ll
    ij
    ij
    B
    A
    T
    T







    δ
    4 1
    ; б.
    n
    ij
    ij
    A
    T
    δ

    52
    II-31. В некотором базисе известны два вектора –
    }
    1
    ,
    2
    ,
    1
    {

    =
    A
    r и
    }
    4
    ,
    2
    Из компонент этих векторов построить симметричный и антисимметричный тензоры второго ранга.
    II-32. В некоторой системе координат известны компоненты тензора го ранга. Разложить его на симметричную
    ij
    S и антисимметричную
    ij
    A составляющие. Найти
    (
    )
    nj
    in
    A
    S
    Sp .
    II-33. Разложить тензор
    ij
    F , матрица которого имеет следующий видна симметричную
    ij
    S и антисимметричную
    ij
    A составляющие. Найти матрицу тензора
    nn
    ij
    ij
    ij
    F
    S
    G
    δ
    3 1

    =
    . Чему равен его след
    II-34. Разложить тензор
    ij
    H , матрица которого имеет следующий видна симметричную
    ij
    S и антисимметричную
    ij
    A составляющие. Найти свёртку
    ij
    ij
    A
    S
    II-35. В некоторой системе координат задан тензор второго ранга











    =
    1 0
    3 0
    2 1
    3 Чему равны следующие свёртки: а.
    ik
    ik
    C
    δ
    ; б.
    jk
    ijk
    C
    ε
    ?

    53
    II-36. Даны векторы
    }
    2
    ,
    1
    ,
    1
    {

    =
    B
    r и
    }
    1
    ,
    2
    ,
    0
    {
    =
    C
    r
    . Чему равны следующие свёрт- ки: а.
    k
    i
    ik
    C
    B
    δ
    ; б.
    k
    j
    ijk
    C
    B
    ε
    ?
    II-37. Пусть вектор A
    r имеет компоненты {1, 2, 3}. Найти свёртку:
    m
    klm
    ikl
    A
    ε
    ε
    II-38. Определить компоненты антисимметричного тензора
    ik
    T в системе координат, если компоненты вектора, дуального
    ik
    T
    , в системе
    K' есть
    {1, 2, 1}, а матрица преобразования к системе
    K' имеет вид










    =
    0 0
    1 1
    0 0
    0 1
    0
    ik
    α
    II-39. Найти собственные значения и собственные векторы приведённых ниже тензоров. Проверить свойство ортогональности собственных векторов. а.










    =
    1 3
    0 3
    4 1
    0 1
    1
    ij
    A
    ; г.












    =
    0 1
    1 1
    1 1
    1 1
    0
    ij
    D
    ; б.












    =
    0 0
    2 0
    0 1
    2 1
    4
    ij
    B
    ; две. Приложения теории тензоров

    § 1. Тензорная форма физических законов Понятие тензора и математический аппарат тензорного анализа широко и плодотворно используются в самых различных областях физики. Например, спектр электромагнитных волн, которые могут распространяться в плазме, определяет тензор диэлектрической проницаемости. При этом само понятие плазма охватывает широкий круг объектов и явлений, включающий в себя ионосферную плазму, плазму газового разряда, твердотельную плазму и т.д.
    Ещё пример – эффект Холла, состоящий в том, что протекание тока в металле, помещённом в магнитное поле, сопровождается возникновением поперечного электрического поля. При этом связь между компонентами вектора плотности тока
    j
    r и напряжённости электрического поля
    E
    r определяется тензором удельного сопротивления
    ik
    ρ
    : Специальная (СТО) и общая (ОТО) теории относительности – это две области физики, само существование которых было бы невозможным без тензорного исчисления. В то время как математический аппарат СТО сводится к теории тензорных полей в четырёхмерном псевдоевклидовом пространстве, в ОТО пространство событий псевдориманово
    1
    . В квантовой теории поля, являющейся основой для описания взаимодействий элементарных частиц, также широко используются понятия и методы тензорного анализа. Наконец, физические свойства кристаллов, как анизотропных сред, наиболее естественно описываются именно тензорами, примеры которых мы рассмотрим ниже. Действительно, анизотропия (те. зависимость свойств от выбранного направления) предъявляет требования к форме записи физических соотношений. Так, например, для однородных изотропных сред закон Ома имеет вид
    E
    j
    r r
    σ
    =
    и определяет, таким образом, коллинеарность векторов плотности электрическо-
    1
    Рассмотрение тензоров в псевдоевклидовом и псевдоримановом пространствах выходит за рамки данного пособия. Желающие могут ознакомиться с этим материалом, например, по книге П.К. Рашевского Риманова геометрия и тензорный анализ (посл. издание в 2010 г.
    го тока
    j
    r и напряжённости электрического поля
    E
    r
    . В анизотропной среде закон Ома приобретает иной вид Здесь компоненты векторов
    j
    r и E
    r связаны через составляющие тензора проводимости
    nk
    σ
    . Это означает, что в общем случае направление протекания электрического тока отличается от направления приложенного электрического поля. Тензорное соотношение в общем случае связывает вектор поляризации диэлектрика P
    r с вектором E
    r
    :
    j
    ij
    i
    E
    P
    α
    =
    , где
    ij
    α
    – тензор поляризуемости. Наряду с ним вводится также симметричный тензор диэлектрической проницаемости
    ij
    ε
    :
    ij
    ij
    ij
    πα
    δ
    ε
    4
    +
    =
    , который в свою очередь позволяет найти компоненты вектора электрической индукции Аналогичным образом описываются и магнитные свойства кристаллов. Так компоненты вектора намагниченности
    I
    r связаны с компонентами вектора напряжённости магнитного поля
    H
    r посредством симметричного тензора магнитной восприимчивости
    ij
    χ
    : Вектор магнитной индукции
    B
    r в общем случае неколлинеарен вектору
    H
    r
    : Здесь
    ij
    ij
    ij
    πχ
    δ
    µ
    4
    +
    =
    – тензор магнитной проницаемости, также симметричный. Если какое-либо его собственное значение оказывается больше единицы, это означает, что кристалл в данном направлении (направлении соответствующей собственной оси) парамагнитен. Если собственное значение меньше единицы, тов соответствующем направлении кристалл проявляет диамагнитные свойства. Существуют также некоторые свойства кристаллов, которые связаны с тензорным откликом анизотропной среды на скалярные внешние воздействия. Одним из таких свойств является, например, тепловое расширение при изменении температуры кристалла на малую величину T
    происходит пропорциональная ей деформация, описываемая симметричным тензором деформации не путать с тензором диэлектрической проницаемости
    T
    ij
    ij

    =
    α
    ε
    , где
    ij
    α
    – тензор теплового расширения, также симметричный. Для некоторых кристаллов характерно проявление прямого пьезоэлектрического эффекта, когда под действием механических напряжений в объёме кристалла возникает электрическая поляризация. При этом компоненты вектора поляризации
    P
    r связаны с компонентами тензора напряжений
    ij
    σ
    через свёрт- ку последнего с тензором третьего ранга
    ijk
    d , составляющие которого называют пьезоэлектрическими модулями Тензор
    ijk
    d симметричен по второй паре индексов, отчего имеет 18 независимых компонент. Если пьезокристалл помещён во внешнее электрическое поле, в нём возникает деформация. Этот эффект называется обратным пьезоэлектрическим эффектом. При этом компоненты тензора деформации
    ij
    ε
    определяются соотношением Пример 20. Используя закон Кулона и принцип суперпозиции, можно показать, что потенциал системы из трёх зарядов (см. рис. 6) на расстояниях
    a
    R
    >> может быть представлен в виде

    57
    ( )
    5 2R
    R
    R
    D
    R
    j
    i
    ij
    =
    r
    ϕ
    , где
    i
    R
    – компоненты радиус-вектора R
    r
    , а
    ij
    D – тензор квадрупольного момента системы из N зарядов (в нашем случае N = 3):
    (
    )

    =

    =
    N
    ij
    n
    n
    j
    i
    ij
    x
    x
    x
    x
    q
    D
    1 3
    α
    α
    α
    α
    α
    α
    δ
    , где
    α
    i
    x

    i
    -ая компонента радиус-вектора заряда с номером. Задача состоит в том, чтобы выяснить свойства тензора квадрупольного момента найти матрицу этого тензора для системы зарядов, изображённой на рисунке найти потенциал
    ( )
    R
    r
    ϕ
    и установить его зависимость от угла
    θ
    сферической системы координат. Итак, что касается свойств тензора
    ij
    D
    , то легко заметить, что это тензор симметричный. Кроме того,
    (
    )
    0 3
    3
    Sp
    1
    =

    =

    =
    N
    n
    n
    i
    i
    ij
    x
    x
    x
    x
    q
    D
    α
    α
    α
    α
    α
    α
    , откуда, в частности, следует, что
    33 22 Обратимся к системе зарядов, изображённой на рис. 6. Очевидно, что выбранная там система координат, является системой главных осей тензора
    ij
    D
    , причём, в силу симметрии
    22 11
    D
    D
    =
    . Таким образом, необходимо определить только одну из диагональных компонент тензора, например,
    11
    D :
    (
    )
    ( ) ( )
    ( )
    2 2
    2 1
    2 3
    1 1
    1 11 2
    0 Соответственно,












    =
    2 2
    2 4
    0 0
    0 2
    0 0
    0 Используя это выражение, получим Рис. 6.

    58
    ( )
    (
    )
    5 2
    3 2
    2 2
    2 1
    2 2
    4 или, переходя к сферическим координатам,
    (
    )
    (
    )
    1
    cos
    3
    ,
    2 Заметим также, что эта формула может быть представлена в виде
    (
    )
    (
    )
    θ
    θ
    ϕ
    cos
    2
    ,
    2 3
    2
    P
    R
    qa
    R
    =
    , где
    (
    )
    θ
    cos
    2
    P
    – полином Лежандра второго порядка.
    Пример 21. Найти потенциал точечного заряда в однородной анизотропной среде, характеризуемой тензором диэлектрической проницаемости В общем случае потенциал
    ( )
    r
    r
    ϕ
    удовлетворяет уравнению
    ( )
    r
    q
    x
    x
    j
    ij
    i
    r
    δ
    π
    ϕ
    ε
    4

    =




    , где
    ( )
    r
    r
    δ
    – дельта-функция Дирака (см. Приложение. Для однородной среды уравнение примет вид
    ( )
    r
    q
    x
    x
    j
    i
    ij
    r
    δ
    π
    ϕ
    ε
    4 В системе главных осей тензора
    ij
    ε
    уравнение значительно упрощается
    ( )
    r
    q
    x
    x
    x
    r
    δ
    π
    ϕ
    ε
    ϕ
    ε
    ϕ
    ε
    4 2
    3 2
    3 2
    2 2
    2 2
    1 2
    1

    =


    +


    +


    Произведём теперь замену переменных
    i
    i
    i
    x
    x
    ε
    =

    , тогда
    (
    ) (
    ) (
    )
    3 3
    2 2
    1 1
    2 Используя свойство дельта-функции
    ( ) ( )
    γ
    δ
    γ
    δ
    x
    x
    =
    , придём к уравнению
    ( )
    ( )
    r
    q
    r


    =


    r r
    δ
    ε
    ε
    ε
    π
    ϕ
    3 2
    1 4
    , решение которого

    59
    ( )
    3 2
    3 2
    2 2
    1 2
    1 3
    2 От системы главных осей нетрудно перейти ив произвольную систему координат, обобщив полученное решение. Действительно,
    ij
    ε
    ε
    ε
    ε
    det
    3 2
    1
    =
    , а
    1 1
    ε
    ,
    2 1
    ε
    ,
    3 1
    ε
    – собственные значения тензора
    1

    ij
    ε
    . Таким образом,
    ( Задача решена.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9


    написать администратору сайта