Основы_вектан. Учебнометодический комплекс по дисциплине Векторный и тензорный анализ
 Скачать 1.02 Mb.
|
|
IV-16. ( ) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∫ ∫ ∫ V j k ijk i V j k ijk i V dV x A x dV x A x dV A ε ϕ ε ϕ ϕ rot , grad r ( ) ∫ ∫ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = S V j k ijk S d A dV x A r r , rot При выводе было использовано очевидное равенство 0 2 = ∂ ∂ ∂ j i k ijk x x A ε IV-17. а. Обозначим ( ) ( ) a I S d a r S r r r r r = ∫ , . Очевидно, a I r r λ = , где λ – некоторая постоянная. Рассмотрим произведение ( ) a I r r , : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V a dV r a a S d r a a S d a r a a I V S S 2 , div , , , , , r r r r r r r r r r r r r С другой стороны, ( ) 2 , a a I r r r λ = . Таким образом, λ = V, следовательно, ( ) V a S d a r S r r r б. Действуя аналогично па, получим ( ) V a S d r a S r r r r = ∫ , IV-18. а. Обозначим I S d S r r = ∫ ϕ и рассмотрим ( ) A I r r , , где A r – произвольный постоянный вектор. Тогда будет ( ) ( ) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = = ∫ ∫ ∫ dV A dV A S d A A I V V S ϕ ϕ ϕ grad , div , , r r r r r r , откуда ∫ = V dV I ϕ grad r . При выводе было использовано тождество, доказанное в примере 27. б. Действуя аналогично предыдущему пункту, рассмотрим произведение [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ V V S S dV a A dV a A a A S d S d a A r r r r r r r r r r rot , , div , , , , , откуда [ ] ∫ ∫ − = V S dV a S d a r r r rot , . При выводе было использовано тождество (б) из задачи IV-5. в. ( ) ∫ ∇ V dV a b r r , IV-25. а. Искомый интеграл – вектор, независящий от координатно в определении такого вектора нет, поэтому б. j i n n – инвариантный симметричный тензор второго ранга. Очевидно, единственная возможность, что ij j i n n λδ = , где λ – некоторая постоянная. Поскольку ив тоже время 1 2 = i n , то 3 1 = λ . Таким образом, в. ( ) ( ) ( ) 3 , , , b a n n b a n b n a n b n a j i j i j j i i r r r r r г. l k j i n n n n – инвариантный симметричный тензор четвёртого ранга, компоненты которого могут быть построены как комбинация символов Кронекера: ( ) jk il jl ik kl ij l k j i n n n n δ δ δ δ δ δ λ + + = . Из условия 1 2 2 = k i n n нетрудно найти 15 Следовательно, ( ) 15 jk il jl ik kl ij l k j i n n n n δ δ δ δ δ δ + + = IV-26. 1 = r H , r H = θ , θ ϕ sin r H = Приложение Дельта-функция Дирака принадлежит к классу сингулярных обобщённых функций и определяется равенствами ( ) ⎩ ⎨ ⎧ = ∞ ≠ = − , при , , при , 0 a x a x a x δ (П) ( ) 1 = − ∫ ∆ dx a x δ . (П) Интегрирование в последнем случае выполняется по промежутку ∆ произвольной длины, содержащему внутри себя точку a x = (в противном случае интеграл равняется нулю. Приведём ряд практически полезных соотношений, где используется дельта-функция: ( ) ( ) ( ) a f dx x f a x = − ∫ ∆ δ , (П) ( ) ( ) ( ) ∑ ∫ = ∆ ′ = n i i x dx x 1 1 ϕ ϕ δ , (П) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∫ = ∆ ′ = n i i i x x f dx x f x 1 ϕ ϕ δ . (П) В формулах (Пи (П) i x ( n i , , 1 K = ) – корни уравнения ( ) 0 = x ϕ , принадлежащие промежутку интегрирования ∆ , а ( ) x f – произвольная непрерывная функция. Дельта-функция может быть также представлена в виде интеграла ( ) ( ) ∫ ∞ ∞ − − = − dk e a x a x ik π δ 2 1 (Пили как производная функции ( ) ( ) a x dx d a x − = − θ δ , где ( ) ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − если , 0 , если , 1 a x a x a x θ (П) 98 Дельта-функцию также можно представить как предел непрерывной функции, зависящей от параметра. Например, ( ) 2 2 0 lim 1 x x + = → ε ε π δ ε . (П) Аналогично одномерной дельта-функции, определённой выше, можно ввести трёхмерную дельта-функцию: ( ) ( ) ( ) ( ) z y x a z a y a x a r − − − = − δ δ δ δ r r . (П) Соответственно, ( ) ( ) ( ) a f dV r f a r V r r r r = − ∫ δ (П) при условии, что точка пространства, определяемая вектором ar , находится внутри объёма интегрирования V . С помощью трёхмерной дельта-функции можно определить, например, объёмную плотность точечного заряда, расположенного вначале координат ( ) ( ) r q r r r δ ρ = Литература МА. Акивис, В.В. Гольдберг, Тензорное исчисление, М, Наука, 1972 г. НЕ. Кочин, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М, Наука, 1965 г. АИ. Борисенко, И.Е. Тарапов, Векторный анализ и начало тензорного исчисления, М, Высшая школа, 1966 г. 4. А.Дж. Мак-Конелл, Введение в тензорный анализ, М, “Физматгиз”, 1963 г. 5. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, М, Наука г. 6. Л.Г. Гречко и др, Сборник задач по теоретической физике, М, Высшая школа, 1972 г. Дж. Мейз, Теория и задачи механики сплошных сред, М, Мир, 1974 г. 8. Ю.А. Амензаде, Теория упругости, М, Высшая школа, 1976 г. Содержание Стр. Предисловие 3 I. Векторная алгебра 4 §1. Векторное пространство, его размерность и базис 4 §2. Вектор как направленный отрезок. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов 14 §3. Преобразования компонент векторов при повороте декартовой системы координат 17 §4. Преобразования компонент векторов при инверсии декартовой системы координат 20 Задания для самостоятельного решения 23 II. Тензорная алгебра 27 §1. Определение тензора. Основы тензорной алгебры 27 §2. Симметрия тензоров 34 §3. Изотропные тензоры 37 §4. Приведение симметричного тензора го ранга к диагональному виду 41 Инварианты тензоров второго ранга 47 Задания для самостоятельного решения 48 III. Приложения теории тензоров 54 §1. Ковариантность физических законов в тензорной форме 54 §2. Тензор инерции 59 Задания для самостоятельного решения 65 IV. Тензорные поля 67 §1. Дифференциальные операторы тензорного анализа. Векторные 67 тождества §2. Интегральное представление дифференциальных операторов. Интегральные теоремы векторного анализа 74 §3. Криволинейные системы координат 79 §4. Дифференциальные операторы в криволинейных координатах 82 Задания для самостоятельного решения 85 Ответы 91 Приложение 97 Литература 99 Александр Игоревич Малышев Галина Михайловна Максимова Основы векторного и тензорного анализа для физиков Электронное учебно-методическое пособие Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. НИ. Лобачевского 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23. Подписано в печать 08.11.2012 |