Сергей Гаврилов Тензорное исчисление для чайников
 Скачать 386.72 Kb.
|
|
Сергей Гаврилов Тензорное исчисление для «чайников» 1-1. Инварианты......................................................................................................................................... 3 Понятие тензора.................................................................................................................................. 3 Вектор ................................................................................................................................................. 3 Компоненты вектора........................................................................................................................... 4 Матричное представление.................................................................................................................. 4 Переход к другим координатам.......................................................................................................... 4 Длина вектора в прямоугольных координатах................................................................................... 5 Скаляр ................................................................................................................................................. 5 Скалярное произведение .................................................................................................................... 5 Длина вектора в произвольных координатах..................................................................................... 6 Для чего это нужно? ........................................................................................................................... 7 1-2. Базовые понятия тензорного исчисления........................................................................................ 8 Ковариантность и контравариантность.............................................................................................. 8 Правило Эйнштейна ........................................................................................................................... 8 О ковариантных векторах................................................................................................................... 9 Тензоры............................................................................................................................................... 9 Запись тензорных выражений .......................................................................................................... 10 Тензорные операции. Произведение ................................................................................................ 10 Свертка.............................................................................................................................................. 11 Инвариант тензора............................................................................................................................ 11 Метрический тензор ......................................................................................................................... 11 Свойства метрического тензора ....................................................................................................... 12 Единичный тензор ............................................................................................................................ 12 Физические векторы ......................................................................................................................... 13 2. Тензоры в релятивистской механике ................................................................................................ 15 Пространство СТО............................................................................................................................ 15 Метрика 4-пространства................................................................................................................... 15 Дифференциал интервала................................................................................................................. 16 Четырехвекторы................................................................................................................................ 16 Преобразования координат .............................................................................................................. 17 Четырехскорость............................................................................................................................... 17 4-вектор энергии-импульса .............................................................................................................. 18 4-сила ................................................................................................................................................ 19 Дифференцирование по координатам .............................................................................................. 20 3. Антисимметричные тензоры .............................................................................................................. 21 Антисимметричность........................................................................................................................ 21 Псевдотензоры.................................................................................................................................. 21 Псевдотензор Леви-Чивиты.............................................................................................................. 22 Радиальный и аксиальный векторы.................................................................................................. 23 Почему «псевдовектор»? .................................................................................................................. 24 Векторное произведение в тензорной записи .................................................................................. 24 Природа антисимметричного тензора .............................................................................................. 25 Антисимметричный 4-тензор ........................................................................................................... 25 Векторные компоненты антисимметричного 4-тензора .................................................................. 26 4. Тензоры в электродинамике............................................................................................................... 27 Сила Лоренца.................................................................................................................................... 27 Тензор поля....................................................................................................................................... 27 4-сила Лоренца ................................................................................................................................. 28 Инварианты тензора поля................................................................................................................. 29 2 Четырехмерный потенциал .............................................................................................................. 29 3 1-1. Инварианты Изучение общей теории относительности (да и специальной – на адекватном уровне) затрудняется особым математическим аппаратом: тензорами. Полагаю, что с тензорами у вас плохо? Мутная какая-то тема… Здесь я попытался дать базовые сведения, которые должны помочь понимать физиче- ские тексты. Предполагается, что читатель имеет образование в рамках втуза, что-то из ин- ститутской математики помнит (и из физики тоже). А вот школьного курса, к сожалению, никак недостаточно. Ожидается готовность воспринимать новые взгляды, новый непривычный подход. Да и просто желание разобраться. Потому что потребуется изрядная перенастройка мозгов! Читатель не найдет здесь строгости и полноты изложения, оставим их математикам, которых данное сочинение, пожалуй, шокирует примитивностью. Просто хотелось предста- вить тему как можно доступнее – как ныне говорится, для «чайников». Увы, сам предмет сложен, и ошибется тот, кто решит, что можно освоить материал, не утруждаясь собственной работой мысли. Иллюстрации применения тензоров в некоторых разделах физики никоим образом не следует рассматривать как исчерпывающее изложение данных физических разделов – на это существуют учебники! Понятие тензора Не станем ходить вокруг да около… Тензор – то, что отвечает трем пунктам: 1) это математическое представление некоторого объекта (геометрического или физи- ческого), существующего в пространстве, в виде таблицы величин – компонент тензора; 2) значения компонент зависят от принятой системы координат и изменяются (преоб- разуются) при переходе к другим координатам; 3) преобразование компонент таково, что оставляет, тем не менее, неизменными неко- торые особые величины – инварианты. Разумеется, что это не строгое определение, а просто пояснение. Вектор Частным примером тензора является вектор, который привычно видится чем-то вроде палки, заостренной на конце. При всей комичности такого представления, оно отчасти даже полезно. Ясно, что вектор это цельный, самостоятельный объект, независимый от того, как мы его представим математически. Принцип целостности вообще любого тензора может показаться тривиальным… Но мы убедимся, что из него вытекают особые следствия. Во всяком случае, пока отметим, что вектор объективно имеет длину. Вектор рассматривается в пространстве. Пространство характеризуется числом изме- рений, фиксированным для данного класса задач. Мы не сомневаемся в том, что в пространстве введены векторные операции: сложение векторов и умножение вектора на число. В трехмерном пространстве рассмотрим перемещение из точки А в точку В. Его при- нято изображать вектором, то есть направленным отрезком из А в В. Это так называемый вектор перемещения x (обычный геометрический вектор). 4 Очевидно, что при сложении перемещений – результирующее перемещение (вектор- ная сумма) определяется по известному правилу параллелограмма. Компоненты вектора Идея состоит в том, чтобы уметь производить с нашим объектом (вектором) операции – пользоваться векторной алгеброй. Для этого вводят систему координат, или базис. В пространстве (для начала будем считать его трехмерным) выберем три вектора 3 2 1 , , e e e . Это будут единичные векторы, или орты. Непременное условие: орты линейно не- зависимы. Это значит, что ни один из них нельзя представить в виде линейной комбинации остальных (такое было бы, если бы тройка векторов лежала в одной плоскости). Несложно доказать, что любой вектор x можно представить однозначным образом в виде: 3 3 2 2 1 1 e e e x x x x + + = , то есть в качестве линейной комбинации ортов. Коэффициенты ) , , ( 3 2 1 x x x и есть компоненты вектора x в принятом базисе. Примечание: верхние индексы – это не показатели степени, а попросту индексы! Сте- пени тут всюду первые, ведь мы занимаемся чисто линейными преобразованиями. Все помнят, конечно, что операции с векторами представляются в координатах так: ) , , ( 3 3 2 2 1 1 y x y x y x + + + = + y x – сложение векторов, ) , , ( 3 2 1 Ax Ax Ax A = x – умножение вектора на число. Имея в виду представление через компоненты, вектор далее нередко будем обозна- чать i x . Матричное представление Тензор это таблица величин, и вектор, в частности – тоже. Значит, для них естествен- но матричное представление, иногда привлекать его бывает удобно. Разумеется, вектор это матрица-столбец или матрица-строка. Так, вектор ) , , ( 3 2 1 x x x x i можно изобразить матрицей: ú ú ú û ù ê ê ê ë é 3 2 1 x x x Полезно вспомнить хотя бы базовые понятия, относящиеся к матрицам – они далее пригодятся. Переход к другим координатам Если мы выберем другой базис (например, повернем оси координат), то компоненты вектора изменятся. Разумеется, новые компоненты ) ' , ' , ' ( 3 2 1 x x x можно выразить через преж- ние ) , , ( 3 2 1 x x x , если знать углы поворота осей. Задача кажется весьма громоздкой, с сину- сами и косинусами… В общем же виде она проста: 3 13 2 12 1 11 1 ' x a x a x a x + + = , 3 23 2 22 1 21 2 ' x a x a x a x + + = , (1.1) 3 33 2 32 1 31 1 ' x a x a x a x + + = Можно записать коэффициенты ik a в виде матрицы преобразования: 5 ú ú ú û ù ê ê ê ë é 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a Правда, мы пока не знаем, чему равны эти коэффициенты… Но есть хорошая новость: мы и не будем здесь интересоваться их конкретными выражениями. Достаточно иметь в ви- ду, что они существуют и известны (могут быть выведены, или взяты из справочной литера- туры). Важно одно: любой объект, компоненты которого преобразуются согласно (1.1), явля- ется вектором. А если нет – то не является. Хотя бы он изображался тройкой чисел! Очевидный, но немаловажный факт: если в некоторой системе координат все компо- ненты вектора равны нулю, то они нулевые и в любой другой системе. Это же относится к тензорам вообще. Длина вектора в прямоугольных координатах Если мы имеем декартову, то есть ортогональную (а еще точнее – ортонормальную) систему координат, то длина геометрического вектора х (ее квадрат) выражается через ком- поненты общеизвестным образом по теореме Пифагора: 2 3 2 2 2 1 2 ) ( ) ( ) ( x x x + + = x (1.2) Двойка за скобками здесь изображает уже показатель степени, разумеется. При переходе к другому базису (когда значения компонент изменятся) длина должна остаться той же самой, ведь она является атрибутом собственно вектора! По нашему угово- ру, она не может зависеть от выбора координат. Говорят, что длина инвариантна относи- тельно перехода к другим координатам; является инвариантом вектора. По существу это определяет требования к формулам преобразования координат, то есть к той самой матрице коэффициентов ik a : их значения не могут быть произвольными! Скаляр Вероятно, еще из школы вам запало в память правило: величины делятся на вектор- ные и скалярные; все, что не вектор, то скаляр. В тензорном исчислении скаляр это тоже тензор (нулевого ранга). Это число- инвариант, которое не меняется при переходе к другим координатам. Применительно к вектору, его длина – классический скаляр. Далее мы узнаем, что скаляры получаются как окончательный результат свертки тензоров. Любая из компонент вектора – число. И не вектор… Но скаляром его тоже не счита- ют: ведь эта величина не инвариантна. Скалярное произведение Напомню о понятии скалярного произведения двух векторов. Оно выражается через координаты так: 3 3 2 2 1 1 y x y x y x + + = xy Собственно говоря, квадрат длины вектора – это просто его скалярное произведе- ние на себя. 6 Скалярное произведение тоже инвариантно (как любой скаляр). Ведь оно несет геометрический смысл, независимый от координатного представления: произведение длин векторов и косинуса угла. Теперь вы подготовлены к тому, чтобы понять, в каком смысле говорят об инвари- антности вектора, да и вообще любого тензора. Идея, что тензор является чем-то целост- ным, выливается в утверждение об его инвариантности при преобразованиях координат, имея в виду все то, что вы уже успели узнать. Наверняка изложенные до сих пор сведения представляются тривиальными, общеиз- вестными. Но теперь – важное предупреждение. Следующий параграф, хотя и рябит форму- лами (элементарными по сути), требует внимательного прочтения: он ключевой для понима- ния всего. Длина вектора в произвольных координатах Прямоугольные координаты это случай все-таки специальный. Координаты могут быть, скажем, косоугольными (единичные векторы не ортогональны). Ясно, что формула для длины окажется сложнее, чем (1.2). Однако (и тут снова хорошая новость!) мы выводить ее не собираемся. Достаточно записать в общем виде: 2 3 32 1 3 31 1 2 21 3 2 23 3 1 13 2 1 12 2 3 33 2 2 22 2 1 11 2 ) ( ) ( ) ( x x g x x g x x g x x g x x g x x g x g x g x g + + + + + + + + = x Откуда такое? Да просто из соображений размерности – это квадратичная форма! Не- кие коэффициенты ik g зависят от конкретной системы координат. Конечно, можно привести подобные члены, и тогда слагаемых выйдет 6, а не 9… Но мы, наоборот, специально вводим из соображений симметрии ki ik g g = : так будет удобнее. Теперь запишем то же самое немного иначе: + + + + + + = 3 2 23 3 1 13 2 1 12 3 3 33 2 2 22 1 1 11 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x x g x x g x x g x x g x x g x x g |