Главная страница
Навигация по странице:

  • Дифференцирование по координатам

  • 3. Антисимметричные тензоры

  • Антисимметричность Ряд физических законов формулируется математически с использованием векторного произведения ][xy z

  • «зеркальное отражение» базиса, не сводимое к поворотам

  • Радиальный и аксиальный векторы Пусть ),,(3 21 x x x x

  • Вектор, являющийся результатом векторного произведения, не является истин- ным вектором

  • Векторное произведение в тензорной записи В тензорных обозначениях переход к векторному произведению осуществляется через совершенно антисимметричный единичный тензор

  • Сергей Гаврилов Тензорное исчисление для чайников


    Скачать 386.72 Kb.
    НазваниеСергей Гаврилов Тензорное исчисление для чайников
    Дата19.05.2019
    Размер386.72 Kb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаtensor_dla_chainikov_2.1.pdf
    ТипДокументы
    #77815
    страница4 из 5
    1   2   3   4   5
    v
    p
    (2.7)
    При малых скоростях имеем привычную формулу:
    v
    v
    p
    m
    c
    v
    m
    »
    -
    =
    2 2
    /
    1
    Мы без труда получили две вещи:
    1) релятивистскую формулу для трехмерного импульса:
    2 2
    /
    1
    c
    v
    m
    -
    =
    v
    p
    ;
    2) 4-вектор импульса, имеющий еще и некоторую загадочную временную компонен- ту. Займемся ею.

    19
    При малых скоростях данная составляющая равна:
    ÷÷
    ø
    ö
    çç
    è
    æ
    +
    =
    +
    =
    ÷÷
    ø
    ö
    çç
    è
    æ
    +
    »
    -
    2 1
    2 2
    1
    /
    1 2
    2 2
    2 2
    2 2
    mv
    mc
    c
    c
    mv
    mc
    c
    v
    mc
    c
    v
    mc
    В скобках оказалась полная энергия E , состоящая из двух слагаемых:
    1) энергия покоя, равная
    2
    mc ;
    2) кинетическая энергия (для малых скоростей равная
    2 2
    mv
    ).
    Теперь окончательно ясен физический смысл компонент 4-вектора импульса. Это полная энергия (с точностью до коэффициента) и три компоненты импульса:
    (
    )
    p
    ,
    / c
    p
    i
    E
    Отсюда название: 4-вектор энергии-импульса.
    Напомню, что квадрат его равен
    2 2
    c
    m
    . То есть:
    2 2
    2 2
    2
    c
    m
    p
    c
    =
    -
    E
    (2.8)
    Без труда мы получили фундаментальное уравнение релятивистской динамики.
    Сопоставляя два члена в (2.7):
    2 2
    /
    1
    c
    v
    mc
    c
    -
    =
    E
    и
    2 2
    /
    1
    c
    v
    m
    -
    =
    v
    p
    , получаем и вторую важную формулу:
    v
    pc
    2
    =
    E
    4-сила
    Ее можно ввести по аналогии с трехмерным случаем
    dt
    dp
    f
    =
    . Но для 4-вектора прини- маем уже:
    ds
    dp
    f
    i
    i
    =
    . Как и ранее, используя (2.3), легко получается:
    ÷÷
    ø
    ö
    çç
    è
    æ
    -
    -
    =
    2 2
    2 2
    2
    /
    1
    ,
    /
    1 1
    c
    v
    c
    c
    v
    c
    dt
    d
    f
    i
    f
    E
    (2.9)
    Здесь, как всегда, f это обычный трехмерный вектор силы.
    Кстати,
    fv
    =
    dt
    dE
    это мощность, вот вам и физический смысл нулевой компоненты 4- силы!
    Теперь подставим в
    ds
    dp
    f
    i
    i
    =
    определение 4-импульса:
    i
    i
    mcu
    p
    =
    . Получим:
    ds
    du
    mc
    f
    i
    i
    =
    (2.10)
    Перед нами аналог знакомой формулы:
    dt
    d
    m
    m
    v
    a
    f
    =
    =
    . Производная
    ds
    du
    i
    это 4-
    ускорение. А множитель с появляется в связи с уравниванием размерностей.

    20
    Еще раз увидели, как знакомые трехмерные векторы превращаются в 4-векторы. А в качестве нулевой компоненты последнего выступает некоторый «скаляр». В кавычках, пото- му что в 4-пространстве он скаляром не является.
    Дифференцирование по координатам
    В физике рассматриваются скалярные и векторные поля и их производные – применя- ется аппарат векторного анализа. Поскольку поле зависит от четырех координат, речь идет о
    частных производных.
    Для того, чтобы образовывать инвариант, производные по координатам должны со- ставлять тензор. Запишем тензор производных векторного поля
    i
    A :
    ú
    ú
    ú
    ú
    ú
    ú
    û
    ù
    ê
    ê
    ê
    ê
    ê
    ê
    ë
    é








    =


    2 2
    2 1
    1 2
    1 1
    x
    A
    x
    A
    x
    A
    x
    A
    x
    A
    k
    i
    Очевидно, что это смешанный (один раз контравариантный, один раз ковариантный) тензор второго ранга.
    С его помощью можно выразить дифференциалы компонент 4-вектора:
    k
    k
    i
    i
    dx
    x
    A
    dA


    =
    (2.11)
    Надеюсь, уже можно опускать надоевшее напоминание, что мы на самом деле имеем здесь сумму – в сокращенной записи.
    Правда, логично задаться вопросом, действительно ли таблица частных производных это тензор. И если нет, то
    i
    dA уже не являются компонентами вектора…
    В самом начале мы принимали, что при переходе к другому базису – новые значения компонент выражаются из старых просто линейными функциями, согласно (1.1). Но это не- справедливо в случае криволинейных координат!
    В искривленном пространстве
    k
    i
    x
    A


    и
    i
    dA это уже не тензоры. Чтобы составлять тен- зорные выражения, требуется вносить некоторые поправки, зависящие от геометрической кривизны пространства.
    Такие поправки называются символами Кристоффеля. И оказывается, что они же ха- рактеризуют гравитационное поле! Впрочем, здесь мы вступаем уже в сферу теории грави- тации, чего в данном популярном очерке делать не собирались…

    21
    3. Антисимметричные тензоры
    Из предыдущего раздела можно опрометчиво заключить, что любая вообще физиче- ская величина, традиционно изображаемая вектором, превращается в 4-пространстве в «про- странственную» часть 4-вектора. А роль временной компоненты играет некоторая «скаляр- ная» величина.
    Но это не так – не любая!
    Например, есть конструкции, очень похожие на вектор… кроме одной мелочи. Почти незаметной в трехмерном пространстве.
    Тем и хорош тензорный подход, что с легкостью выявляет совсем другую природу подобных объектов (их называют псевдовекторами).
    Антисимметричность
    Ряд физических законов формулируется математически с использованием векторного
    произведения
    ]
    [xy
    z
    =
    . Операция с тензорных позиций кажется странной, что-то не сходится даже по счету индексов. Перемножение векторов должно приводить либо к свертке по оди- наковым индексам (к скаляру), либо – при разных индексах – к структуре 2-го ранга…
    Впрочем, хорошо известно представление векторного произведения в декартовых ко- ординатах:
    )
    ,
    ,
    (
    1 2
    2 1
    3 1
    1 3
    2 3
    3 2
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    -
    -
    -
    =
    z
    (3.1)
    И можно предложить тензорную операцию, дающую в точности такой результат:
    k
    ik
    i
    y
    X
    z
    =
    (3.2)
    Структуру
    ik
    X несложно подобрать, вот она:
    ú
    ú
    ú
    û
    ù
    ê
    ê
    ê
    ë
    é
    -
    -
    -
    =
    0 0
    0 1
    2 1
    3 2
    3
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    X
    ik
    (3.3)
    В самом деле, получим, для примера,
    1
    z , пользуясь (3.2):
    3 2
    2 3
    3 13 2
    12 1
    11 1
    0
    y
    x
    y
    x
    y
    X
    y
    X
    y
    X
    z
    +
    -
    =
    +
    +
    =
    – как и должно быть в соответствии с (3.1).
    Итак, векторное произведение возможно получить обычной сверткой. Только на ме- сто первого сомножителя
    i
    x надо подставить некоторый тензор
    ik
    X , составленный из ком- понент вектора
    i
    x . Назовем его дуальным вектору
    i
    x .
    В структуре
    ik
    X (3.3) подмечается особенность: сумма двух компонент, таких, что у них переставлены местами индексы (например,
    21 12
    X
    X
    +
    ), равна нулю. Соответственно, главная диагональ не может быть заполнена ничем иным, как нулями. Такое свойство назы- вается антисимметричностью. Антисимметричные тензоры играют важную роль в физике!
    Значит, тензор, дуальный вектору, антисимметричен.
    Псевдотензоры
    На самом деле мы пока не уверены, является ли
    ik
    X тензором. Не всякая таблица чи- сел есть тензор! Впрочем, при повороте координатных осей
    ik
    X преобразуется как обычный тензор. И, однако…

    22
    Возьмем для сравнения заведомо истинный тензор 2-го ранга:
    ú
    ú
    ú
    û
    ù
    ê
    ê
    ê
    ë
    é
    =
    =
    3 3
    3 2
    3 1
    2 3
    2 2
    2 1
    1 3
    1 2
    1 1
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    Z
    k
    i
    ik
    Изменим направление одного из ортов системы координат (например, первого) на противоположное. Ясно, что компоненты
    1
    x и
    1
    y исходных векторов изменят свой знак (а остальные нет). Соответственно, некоторые компоненты тензора
    ik
    Z тоже поменяют знак – по схеме:
    +
    +
    -
    +
    +
    -
    -
    -
    +
    Так ведет себя тензор. Но наша структура:
    ú
    ú
    ú
    û
    ù
    ê
    ê
    ê
    ë
    é
    -
    -
    -
    =
    0 0
    0 1
    2 1
    3 2
    3
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    X
    ik
    при изменении направления первого орта изменит знаки компонентов по другой схе- ме:
    0 0
    0
    -
    +
    -
    +
    +
    +
    Нулевые компоненты можно трактовать произвольно: изменившими, или не изме- нившими знак. Приняв первое, получим:
    -
    -
    +
    -
    -
    +
    +
    +
    -
    Сюрприз:
    ik
    X изменил знаки своих компонент противоположно обычному тензору!
    То же будет, если обратить направления не одного, а трех ортов. Если же поменять направ- ления двух любых ортов, то разницы в поведении компонент
    ik
    X и
    ik
    Z не будет – проверьте!
    Отличие
    ik
    X от истинного тензора проявляется тогда, когда имеет место «зеркальное
    отражение» базиса, не сводимое к поворотам. Подобный объект называется псевдотензо-
    ром.
    Обычному (истинному) вектору всегда можно сопоставить дуальный ему псевдо-
    тензор.
    Псевдотензор Леви-Чивиты
    Кажется, что дуальный тензор как бы падает с неба… На самом деле он получается из
    «вектора-хозяина» таким образом:
    l
    ikl
    ik
    x
    e
    X
    =
    Тензор
    ikl
    e знаменит, и имеет особое название: совершенно антисимметричный еди-
    ничный тензор, или псевдотензор Леви-Чивиты. В данном случае он имеет 3-й ранг (а во-

    23 обще его ранг соответствует числу измерений пространства). Изобразить трехмерную мат- рицу на бумаге – морока, да и нет особого смысла. Попробуем просто понять ее свойства.
    Для чего не поленимся расписать нашу свертку (3.2):
    k
    i
    ikl
    k
    ik
    i
    y
    x
    e
    y
    X
    z
    =
    =
    – для, на- пример, 1-й компоненты векторного произведения:
    3 3
    133 3
    2 123 3
    1 113 2
    3 132 2
    2 122 2
    1 112 1
    3 131 1
    2 121 1
    1 111 1
    y
    x
    e
    y
    x
    e
    y
    x
    e
    y
    x
    e
    y
    x
    e
    y
    x
    e
    y
    x
    e
    y
    x
    e
    y
    x
    e
    z
    +
    +
    +
    +
    +
    +
    +
    +
    =
    Но согласно (3.1) должно получиться:
    2 3
    3 2
    1
    y
    x
    y
    x
    z
    -
    =
    . Следовательно, из имеющихся компонент
    ikl
    e – не равны нулю только
    123
    e и
    132
    e . Причем:
    1 123
    =
    e
    а
    1 132
    -
    =
    e
    Рассматривая аналогично остальные компоненты векторного произведения, устано- вим пару примечательных фактов.
    1) У тензора
    ikl
    e не равны нулю только компоненты, для которых все три индекса раз- ные (а таких всего
    6
    !
    3
    = из общего количества
    27 3
    3
    =
    ). Эти компоненты равны 1 либо 1
    - .
    2) Сумма двух компонент
    ikl
    e , таких, что у них переставлена местами пара индексов
    (например,
    132 123
    e
    e
    +
    ), равна нулю. Как мы знаем, это свойство называется антисимметрич-
    ностью. В данном случае – абсолютной или совершенной (поскольку указанное справедливо для любых индексов, а не для какой-то одной пары).
    Тензор
    ikl
    e не меняется при переходе к другим координатам. Впрочем, это свойство любого антисимметричного тензора с рангом, соответствующим размерности пространства.
    Радиальный и аксиальный векторы
    Пусть
    )
    ,
    ,
    (
    3 2
    1
    x
    x
    x
    x
    это истинный вектор. Если изменить направление одной из осей базиса – например, первой – на противоположное, то изменит знак первая компонента
    i
    x .
    Это можно схематически изобразить так:
    – + +.
    Если изменить направление двух осей, получим:
    – – +
    Изменив направление всех трех осей на противоположное, получим смену знаков всех трех компонент:
    – – –
    Сравним поведение вектора, являющегося результатом векторного произведения:
    )
    ,
    ,
    (
    1 2
    2 1
    3 1
    1 3
    2 3
    3 2
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    -
    -
    -
    =
    z
    . В первом случае (меняется знак
    1
    x и
    1
    y ) сохраняет прежний знак только первая компонента z:
    + – –
    Противоположно обычному вектору! Во втором случае (сменили знак
    2 1
    2 1
    ,
    ,
    ,
    y
    y
    x
    x
    ) результат такой, как и ранее:
    – – +
    В третьем снова противоположный:
    + + +
    Вывод: z ведет себя не совсем так, как обычный вектор. А именно, при зеркальном отражении координатного базиса (когда изменяют направление одна либо три оси) он меня- ет направление в пространстве на противоположное! Это может быть проверено и по про- стой картинке со стрелками, если вспомнить определение векторного произведения из обыч- ной геометрии.

    24
    Вектор, являющийся результатом векторного произведения, не является истин-
    ным вектором, он не инвариант в полном смысле. Это псевдовектор, или аксиальный век-
    тор. Истинные же векторы называют еще полярными.
    В лице аксиального вектора имеем, разумеется, частный случай псевдотензора. При поворотах системы координат он преобразуется вроде бы так же, как и обычный вектор… пока дело не доходит до зеркального отражения осей.
    Почему «псевдовектор»?
    Если
    i
    x это псевдовектор, ему соответствует дуальный истинный тензор:
    ú
    ú
    ú
    û
    ù
    ê
    ê
    ê
    ë
    é
    -
    -
    -
    =
    0 0
    0 1
    2 1
    3 2
    3
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    X
    ik
    Такой тензор имеет инвариант:
    ik
    ik
    X
    X
    . В декартовых координатах (мы его когда-то расписывали) это сумма квадратов всех компонент.
    Отсюда следует, что
    2 3
    2 2
    2 1
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    x
    x
    x
    +
    +
    инвариант. Но данная величина формально соответствует длине
    i
    x .
    Это значит, что компоненты псевдовектора преобразуются по тому же закону, что и компоненты истинного (пока мы не вдаемся в их знаки). Именно это позволяет оперировать аксиальными векторами до определенного предела так же, как истинными: это проще, чем работать с тензорами, и результат тот же. Но учитывая их особенность, которую отметили выше!
    Там, где она несущественна, говорят просто о векторах, не уточняя, что, к примеру, вектор угловой скорости это аксиальный вектор.
    Векторное произведение в тензорной записи
    В тензорных обозначениях переход к векторному произведению осуществляется
    через совершенно антисимметричный единичный тензор:
    k
    l
    ikl
    i
    y
    x
    e
    z
    =
    . Здесь с индексами все в порядке…
    Обратите внимание: справа псевдотензор – значит, и слева псевдотензор (псевдовек- тор). А вот произведение двух псевдотензоров дало бы истинный тензор…
    Впрочем, перед нами запись не в тензорах, а в псевдотензорах! Но векторное произ- ведение можно выразить в настоящей тензорной записи:
    i
    k
    k
    i
    ik
    y
    x
    y
    x
    Z
    -
    =
    (3.4)
    Слева стоит тензор второго ранга. Истинный, так как тут тензорная операция над по- лярными векторами. Терпеливо распишем его:
    ú
    ú
    ú
    û
    ù
    ê
    ê
    ê
    ë
    é
    -
    -
    -
    -
    -
    -
    =
    ú
    ú
    ú
    û
    ù
    ê
    ê
    ê
    ë
    é
    -
    -
    -
    -
    -
    -
    -
    -
    -
    =
    0 0
    0 2
    3 3
    2 1
    3 3
    1 3
    2 2
    3 2
    1 2
    1 3
    1 1
    3 2
    1 1
    2 3
    3 3
    3 2
    3 3
    2 1
    3 3
    1 3
    2 2
    3 2
    2 2
    2 2
    1 2
    1 3
    1 1
    3 2
    1 1
    2 1
    1 1
    1
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    y
    x
    Z
    ik
    . (3.4)
    Мы обнаруживаем знакомые по (3.1) компоненты аксиального вектора
    1   2   3   4   5


    написать администратору сайта