Сергей Гаврилов Тензорное исчисление для чайников
 Скачать 386.72 Kb.
|
|
v p (2.7) При малых скоростях имеем привычную формулу: v v p m c v m » - = 2 2 / 1 Мы без труда получили две вещи: 1) релятивистскую формулу для трехмерного импульса: 2 2 / 1 c v m - = v p ; 2) 4-вектор импульса, имеющий еще и некоторую загадочную временную компонен- ту. Займемся ею. 19 При малых скоростях данная составляющая равна: ÷÷ ø ö çç è æ + = + = ÷÷ ø ö çç è æ + » - 2 1 2 2 1 / 1 2 2 2 2 2 2 2 mv mc c c mv mc c v mc c v mc В скобках оказалась полная энергия E , состоящая из двух слагаемых: 1) энергия покоя, равная 2 mc ; 2) кинетическая энергия (для малых скоростей равная 2 2 mv ). Теперь окончательно ясен физический смысл компонент 4-вектора импульса. Это полная энергия (с точностью до коэффициента) и три компоненты импульса: ( ) p , / c p i E Отсюда название: 4-вектор энергии-импульса. Напомню, что квадрат его равен 2 2 c m . То есть: 2 2 2 2 2 c m p c = - E (2.8) Без труда мы получили фундаментальное уравнение релятивистской динамики. Сопоставляя два члена в (2.7): 2 2 / 1 c v mc c - = E и 2 2 / 1 c v m - = v p , получаем и вторую важную формулу: v pc 2 = E 4-сила Ее можно ввести по аналогии с трехмерным случаем dt dp f = . Но для 4-вектора прини- маем уже: ds dp f i i = . Как и ранее, используя (2.3), легко получается: ÷÷ ø ö çç è æ - - = 2 2 2 2 2 / 1 , / 1 1 c v c c v c dt d f i f E (2.9) Здесь, как всегда, f это обычный трехмерный вектор силы. Кстати, fv = dt dE это мощность, вот вам и физический смысл нулевой компоненты 4- силы! Теперь подставим в ds dp f i i = определение 4-импульса: i i mcu p = . Получим: ds du mc f i i = (2.10) Перед нами аналог знакомой формулы: dt d m m v a f = = . Производная ds du i это 4- ускорение. А множитель с появляется в связи с уравниванием размерностей. 20 Еще раз увидели, как знакомые трехмерные векторы превращаются в 4-векторы. А в качестве нулевой компоненты последнего выступает некоторый «скаляр». В кавычках, пото- му что в 4-пространстве он скаляром не является. Дифференцирование по координатам В физике рассматриваются скалярные и векторные поля и их производные – применя- ется аппарат векторного анализа. Поскольку поле зависит от четырех координат, речь идет о частных производных. Для того, чтобы образовывать инвариант, производные по координатам должны со- ставлять тензор. Запишем тензор производных векторного поля i A : ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ 2 2 2 1 1 2 1 1 x A x A x A x A x A k i Очевидно, что это смешанный (один раз контравариантный, один раз ковариантный) тензор второго ранга. С его помощью можно выразить дифференциалы компонент 4-вектора: k k i i dx x A dA ¶ ¶ = (2.11) Надеюсь, уже можно опускать надоевшее напоминание, что мы на самом деле имеем здесь сумму – в сокращенной записи. Правда, логично задаться вопросом, действительно ли таблица частных производных это тензор. И если нет, то i dA уже не являются компонентами вектора… В самом начале мы принимали, что при переходе к другому базису – новые значения компонент выражаются из старых просто линейными функциями, согласно (1.1). Но это не- справедливо в случае криволинейных координат! В искривленном пространстве k i x A ¶ ¶ и i dA это уже не тензоры. Чтобы составлять тен- зорные выражения, требуется вносить некоторые поправки, зависящие от геометрической кривизны пространства. Такие поправки называются символами Кристоффеля. И оказывается, что они же ха- рактеризуют гравитационное поле! Впрочем, здесь мы вступаем уже в сферу теории грави- тации, чего в данном популярном очерке делать не собирались… 21 3. Антисимметричные тензоры Из предыдущего раздела можно опрометчиво заключить, что любая вообще физиче- ская величина, традиционно изображаемая вектором, превращается в 4-пространстве в «про- странственную» часть 4-вектора. А роль временной компоненты играет некоторая «скаляр- ная» величина. Но это не так – не любая! Например, есть конструкции, очень похожие на вектор… кроме одной мелочи. Почти незаметной в трехмерном пространстве. Тем и хорош тензорный подход, что с легкостью выявляет совсем другую природу подобных объектов (их называют псевдовекторами). Антисимметричность Ряд физических законов формулируется математически с использованием векторного произведения ] [xy z = . Операция с тензорных позиций кажется странной, что-то не сходится даже по счету индексов. Перемножение векторов должно приводить либо к свертке по оди- наковым индексам (к скаляру), либо – при разных индексах – к структуре 2-го ранга… Впрочем, хорошо известно представление векторного произведения в декартовых ко- ординатах: ) , , ( 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 y x y x y x y x y x y x - - - = z (3.1) И можно предложить тензорную операцию, дающую в точности такой результат: k ik i y X z = (3.2) Структуру ik X несложно подобрать, вот она: ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - = 0 0 0 1 2 1 3 2 3 x x x x x x X ik (3.3) В самом деле, получим, для примера, 1 z , пользуясь (3.2): 3 2 2 3 3 13 2 12 1 11 1 0 y x y x y X y X y X z + - = + + = – как и должно быть в соответствии с (3.1). Итак, векторное произведение возможно получить обычной сверткой. Только на ме- сто первого сомножителя i x надо подставить некоторый тензор ik X , составленный из ком- понент вектора i x . Назовем его дуальным вектору i x . В структуре ik X (3.3) подмечается особенность: сумма двух компонент, таких, что у них переставлены местами индексы (например, 21 12 X X + ), равна нулю. Соответственно, главная диагональ не может быть заполнена ничем иным, как нулями. Такое свойство назы- вается антисимметричностью. Антисимметричные тензоры играют важную роль в физике! Значит, тензор, дуальный вектору, антисимметричен. Псевдотензоры На самом деле мы пока не уверены, является ли ik X тензором. Не всякая таблица чи- сел есть тензор! Впрочем, при повороте координатных осей ik X преобразуется как обычный тензор. И, однако… 22 Возьмем для сравнения заведомо истинный тензор 2-го ранга: ú ú ú û ù ê ê ê ë é = = 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x Z k i ik Изменим направление одного из ортов системы координат (например, первого) на противоположное. Ясно, что компоненты 1 x и 1 y исходных векторов изменят свой знак (а остальные нет). Соответственно, некоторые компоненты тензора ik Z тоже поменяют знак – по схеме: + + - + + - - - + Так ведет себя тензор. Но наша структура: ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - = 0 0 0 1 2 1 3 2 3 x x x x x x X ik при изменении направления первого орта изменит знаки компонентов по другой схе- ме: 0 0 0 - + - + + + Нулевые компоненты можно трактовать произвольно: изменившими, или не изме- нившими знак. Приняв первое, получим: - - + - - + + + - Сюрприз: ik X изменил знаки своих компонент противоположно обычному тензору! То же будет, если обратить направления не одного, а трех ортов. Если же поменять направ- ления двух любых ортов, то разницы в поведении компонент ik X и ik Z не будет – проверьте! Отличие ik X от истинного тензора проявляется тогда, когда имеет место «зеркальное отражение» базиса, не сводимое к поворотам. Подобный объект называется псевдотензо- ром. Обычному (истинному) вектору всегда можно сопоставить дуальный ему псевдо- тензор. Псевдотензор Леви-Чивиты Кажется, что дуальный тензор как бы падает с неба… На самом деле он получается из «вектора-хозяина» таким образом: l ikl ik x e X = Тензор ikl e знаменит, и имеет особое название: совершенно антисимметричный еди- ничный тензор, или псевдотензор Леви-Чивиты. В данном случае он имеет 3-й ранг (а во- 23 обще его ранг соответствует числу измерений пространства). Изобразить трехмерную мат- рицу на бумаге – морока, да и нет особого смысла. Попробуем просто понять ее свойства. Для чего не поленимся расписать нашу свертку (3.2): k i ikl k ik i y x e y X z = = – для, на- пример, 1-й компоненты векторного произведения: 3 3 133 3 2 123 3 1 113 2 3 132 2 2 122 2 1 112 1 3 131 1 2 121 1 1 111 1 y x e y x e y x e y x e y x e y x e y x e y x e y x e z + + + + + + + + = Но согласно (3.1) должно получиться: 2 3 3 2 1 y x y x z - = . Следовательно, из имеющихся компонент ikl e – не равны нулю только 123 e и 132 e . Причем: 1 123 = e а 1 132 - = e Рассматривая аналогично остальные компоненты векторного произведения, устано- вим пару примечательных фактов. 1) У тензора ikl e не равны нулю только компоненты, для которых все три индекса раз- ные (а таких всего 6 ! 3 = из общего количества 27 3 3 = ). Эти компоненты равны 1 либо 1 - . 2) Сумма двух компонент ikl e , таких, что у них переставлена местами пара индексов (например, 132 123 e e + ), равна нулю. Как мы знаем, это свойство называется антисимметрич- ностью. В данном случае – абсолютной или совершенной (поскольку указанное справедливо для любых индексов, а не для какой-то одной пары). Тензор ikl e не меняется при переходе к другим координатам. Впрочем, это свойство любого антисимметричного тензора с рангом, соответствующим размерности пространства. Радиальный и аксиальный векторы Пусть ) , , ( 3 2 1 x x x x это истинный вектор. Если изменить направление одной из осей базиса – например, первой – на противоположное, то изменит знак первая компонента i x . Это можно схематически изобразить так: – + +. Если изменить направление двух осей, получим: – – + Изменив направление всех трех осей на противоположное, получим смену знаков всех трех компонент: – – – Сравним поведение вектора, являющегося результатом векторного произведения: ) , , ( 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 y x y x y x y x y x y x - - - = z . В первом случае (меняется знак 1 x и 1 y ) сохраняет прежний знак только первая компонента z: + – – Противоположно обычному вектору! Во втором случае (сменили знак 2 1 2 1 , , , y y x x ) результат такой, как и ранее: – – + В третьем снова противоположный: + + + Вывод: z ведет себя не совсем так, как обычный вектор. А именно, при зеркальном отражении координатного базиса (когда изменяют направление одна либо три оси) он меня- ет направление в пространстве на противоположное! Это может быть проверено и по про- стой картинке со стрелками, если вспомнить определение векторного произведения из обыч- ной геометрии. 24 Вектор, являющийся результатом векторного произведения, не является истин- ным вектором, он не инвариант в полном смысле. Это псевдовектор, или аксиальный век- тор. Истинные же векторы называют еще полярными. В лице аксиального вектора имеем, разумеется, частный случай псевдотензора. При поворотах системы координат он преобразуется вроде бы так же, как и обычный вектор… пока дело не доходит до зеркального отражения осей. Почему «псевдовектор»? Если i x это псевдовектор, ему соответствует дуальный истинный тензор: ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - = 0 0 0 1 2 1 3 2 3 x x x x x x X ik Такой тензор имеет инвариант: ik ik X X . В декартовых координатах (мы его когда-то расписывали) это сумма квадратов всех компонент. Отсюда следует, что 2 3 2 2 2 1 ) ( ) ( ) ( x x x + + инвариант. Но данная величина формально соответствует длине i x . Это значит, что компоненты псевдовектора преобразуются по тому же закону, что и компоненты истинного (пока мы не вдаемся в их знаки). Именно это позволяет оперировать аксиальными векторами до определенного предела так же, как истинными: это проще, чем работать с тензорами, и результат тот же. Но учитывая их особенность, которую отметили выше! Там, где она несущественна, говорят просто о векторах, не уточняя, что, к примеру, вектор угловой скорости это аксиальный вектор. Векторное произведение в тензорной записи В тензорных обозначениях переход к векторному произведению осуществляется через совершенно антисимметричный единичный тензор: k l ikl i y x e z = . Здесь с индексами все в порядке… Обратите внимание: справа псевдотензор – значит, и слева псевдотензор (псевдовек- тор). А вот произведение двух псевдотензоров дало бы истинный тензор… Впрочем, перед нами запись не в тензорах, а в псевдотензорах! Но векторное произ- ведение можно выразить в настоящей тензорной записи: i k k i ik y x y x Z - = (3.4) Слева стоит тензор второго ранга. Истинный, так как тут тензорная операция над по- лярными векторами. Терпеливо распишем его: ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - - - = ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - - - - - - = 0 0 0 2 3 3 2 1 3 3 1 3 2 2 3 2 1 2 1 3 1 1 3 2 1 1 2 3 3 3 3 2 3 3 2 1 3 3 1 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 1 3 2 1 1 2 1 1 1 1 y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x Z ik . (3.4) Мы обнаруживаем знакомые по (3.1) компоненты аксиального вектора |