Сергей Гаврилов Тензорное исчисление для чайников
 Скачать 386.72 Kb.
|
|
x 2 3 32 1 3 31 1 2 21 ) ( ) ( ) ( x x g x x g x x g + + + И окончательно: 3 3 2 2 1 1 2 x x x x x x + + = x (1.3) Здесь мы просто ввели обозначения: 3 13 2 12 1 11 1 x g x g x g x + + = , 3 23 2 22 1 21 2 x g x g x g x + + = , (1.4) 3 33 2 32 1 31 3 x g x g x g x + + = Сюрприз: формула (1.3) нам знакома, это опять скалярное произведение! В случае де- картовых координат квадрат длины это просто скалярное произведение вектора на себя же. А здесь, для общего случая, – это скалярное произведение вектора i x на… что? На некото- рый другой вектор ) , , ( 3 2 1 x x x x i . Его называют ковектором, то есть сопряженным вектором. Ковектор является тоже вектором – факт вообще-то неочевидный… Тем не менее, это так. Потому что его произведение с вектором – скаляр (квадрат длины). Вообще линейные операции с тензорами приводят к тензорам же! Формулы (1.4) нам тоже известны: это формулы преобразования координат, сравните с (1.1). Получается (опять сюрприз), ковектор – это никакой не другой, а тот же самый век- тор! Но только представленный в какой-то другой системе координат (ее называют иногда дуальной). 7 Для чего это нужно? Ясно, что в ортогональном базисе оба представления вектора i x и i x совпадают (то есть имеют идентичные компоненты). Дуальная система координат здесь попросту совпадает с главной. И только в общем случае компоненты будут различаться. Но тогда, казалось бы, приведенные выше построения, хотя и любопытны, но излиш- ни. Просто условимся использовать декартовы координаты! В самом деле, так и поступают, и спокойно обходятся без тензорной экзотики. Увы, такое возможно не всегда. Например, в искривленных пространствах пересече- ние сетки параллельных прямых не может быть всюду под прямым углом. Рассмотрите в ка- честве двумерного примера поверхность сферы, где «прямыми» являются окружности боль- ших кругов. Разделы, еще ожидающие вас впереди, как раз и посвящены применению тензорного аппарата в некоторых разделах физики. 8 1-2. Базовые понятия тензорного исчисления В конце предыдущего раздела мы нашли способ записывать инвариант (скалярное произведение) в инвариантной форме. В самом деле, наша формула 3 3 2 2 1 1 2 x x x x x x + + = x – в любой системе координат выглядит одинаково. Преобразования координат в ней есть… но как бы скрыты. Далее нам предстоит убедиться, что и в более сложных случаях также легко обеспечивается простая форма записи. В этой простоте и состоит главная идея. Правда, такое видимое упрощение достигается ценой введения разного типа пред- ставления одного и того же вектора. Это как раз и обозначается разным размещением индек- са: вверху или внизу (а вы, наверно, гадали – почему?). Они называются: ковариантное и контравариантное представление. Ковариантность и контравариантность Один и тот же вектор можно записать как в ковариантных, так и в контравари- антных компонентах. Обычно какие-то из них являются для рассматриваемого вектора ес- тественными. То есть действующими именно в тех координатах, которые присущи задаче. Координаты геометрического вектора (вектора перемещения) являются естест- венно контравариантными. Контравариантный вектор обозначается в форме i x , то есть с индексом наверху. Компоненты ковариантного вектора изменяются как бы противоположно изменению векторов базиса (отсюда название). Вот примитивный пример. Пусть мы перешли от одной системы координат к другой – такой, что: 1 1 ' Nx x = , 2 2 ' x x = , 3 3 ' x x = ( 1 > N ). Говоря попросту, мы изменили масштаб первой оси, сделав его более мелким. Новая единица длины на этой оси уменьшилась, и составляет N 1 от старой. А соответствующая но- вая координата вектора, напротив того, увеличилась в N раз – как бы противоположно мас- штабу оси. Это и есть контравариантность. Для ковариантного вектора все наоборот… Но это мы разберем чуть ниже. Хотя тот же самый вектор перемещения можно представить и в ковариантной форме: i x . Его ковариантные компоненты 3 2 1 , , x x x – это составляющие не в базисе нашей задачи. А в некоторой другой (дуальной) системе координат. Просто мы знаем, как к ней переходить: через коэффициенты ik g . И потому такой переход держим в уме. Оставляем его за кадром. Правило Эйнштейна Тензорное исчисление зародилось в середине XIX века, но было не слишком в ходу. Свое настоящее признание оно получило в связи с общей теорией относительности Эйн- штейна, которая не может быть изложена иначе, как в тензорной форме. Правило Эйнштейна позволяет еще более упростить запись многих тензорных выра- жений. В соответствии с этим правилом, выражение для квадрата длины запишется компакт- нее: i i x x x x x x x x = + + = 3 3 2 2 1 1 2 x 9 Правило состоит в том, что по индексу, встречающемуся дважды (один раз наверху, другой раз внизу) подразумевается суммирование. То есть, i i b a – это просто сокращенная запись выражения: å i i i b a . Здесь индекс i (пробегающий значения 1, 2, 3) называется немым: в результирующее выражение он не вошел – как бы «сократился». В подобных случаях гово- рят, что произведена свертка. Подробно о ней будет ниже. О ковариантных векторах В пространстве задано скалярное поле j . Построим частные производные: 1 x ¶ ¶ j , 2 x ¶ ¶ j , 3 x ¶ ¶ j Их смысл – изменение величины поля вдоль данного направления на единицу протя- женности. Если эти величины рассматривать как компоненты, то можно убедиться, что мы име- ем дело с вектором: при повороте осей пересчет координат будет по стандартным формулам. Такой вектор, как известно, называют градиентом поля. Пусть масштаб первой оси снова сжали в N раз. Единица протяженности сократилась, но само поле-то не изменилось. Ясно, что изменение поля в пересчете на новую, уменьшен- ную единицу будет соответственно меньше: 1 1 1 1 ) ( ' x N Nx x ¶ ¶ = ¶ ¶ = ¶ ¶ j j j Компонента вектора изменилась в те же сторону, что и масштаб оси! Причина ясна: сами выражения для компонент имеют внутри себя зависимость от координат. Такое свойство векторов называется ковариантностью. Вектор градиента естест- венно ковариантен в том базисе, в котором задано поле. Тензоры Перепишем еще раз формулы (1.4) получения ковариантных компонент из исходных контравариантных: 3 13 2 12 1 11 1 x g x g x g x + + = , 3 23 2 22 1 21 2 x g x g x g x + + = , (1.4) 3 33 2 32 1 31 3 x g x g x g x + + = И присмотримся к выражениям. Мы увидим в них результат умножения двух матриц: [ ] ú ú ú û ù ê ê ê ë é ´ ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 2 1 x x x g g g g g g g g g x x x Помните, мы упомянули, что вектор это частный случай тензора? Пора уточнить, что вектор это тензор первого ранга (иногда вместо «ранг» говорят «валентность»). Контрава- риантный вектор принято изображать матрицей-столбцом. Ковариантный – матрицей- строкой. А в лице матрицы 3х3 ( ik g ) мы знакомимся здесь с тензором второго ранга. Тензор третьего ранга придется уже представить себе в виде трехмерной таблицы. И так далее. 10 Количество индексов в символическом обозначении соответствует рангу тензора. А размеры строк и столбцов всегда соответствуют числу измерений пространства (в нашем примере оно трехмерно). Запись тензорных выражений Запишем (1.4) сокращенной записью: k ik i x g x = (1.5) Что мы можем усмотреть из (1.5)? Многое. 1) Это запись, укороченная по правилу Эйнштейна. В полном виде она выглядит так: å = k k ik i x g x (1.5а) Здесь k это немой индекс (не попадающий в результат). 2) ik g это условное обозначение ковариантного тензора второго ранга. Второго – потому что два индекса. Ковариантного – потому что индексы внизу. А внизу потому, что есть правило: повторяющиеся индексы должны чередоваться (верх – низ). При комбиниро- вании ковариантных и контравариантных компонент законы их преобразования взаимно «со- кращаются». А иначе конечный результат не будет являться тензором – потеряет инвариант- ность! 3) Результат является ковариантным вектором (i внизу), потому что справа индекс i ковариантный. 4) Количество измерений пространства (количество значений, которые пробегает ин- декс суммирования) здесь явно не видно, и должно подразумеваться из контекста задачи. Соответственно, под (1.5а) следует понимать на самом деле три формулы: для 3 , 2 , 1 = i . Это тоже остается за кадром. Тензорные операции. Произведение Возможно покомпонентное сложение тензоров одинаковой структуры, умножение их на число – на этом особо задерживаться не будем. Пространство тензоров, как и в случае векторов, полагаем линейным, то есть результат таких операций будет снова тензором. По большому счету придется иметь в виду две основные операции с тензорами: пере- множение и свертка. Эти операции над тензорами приводят к тензорам же. Вот иллюстрация тензорного произведения: ú ú ú û ù ê ê ê ë é = = 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x X x x ik k i Как видим, результирующий тензор ik X это тензор суммарного ранга. Он содержит компоненты, равные произведению компонент сомножителей – каждый с каждым. А все индексы сомножителей просто перешли к произведению. Важно: из того, что произведение двух векторов это тензор 2-го ранга, вовсе не следу- ет, что любой такой тензор можно представить произведением некоторых векторов! А, например, произведение: lmn ik lmn ik C B A = – будет тензором 5-го ранга. Причем, как говорят, смешанным: дважды контравариантным и три раза ковариантным. 11 Свертка Мы уже отметили свертку – на примере квадрата длины вектора: простейшая свертка это скалярное произведение. Рассмотрим вопрос подробнее. Свертка возникает при записи перемножения, когда один из индексов повторяется сверху и снизу. Так произведение: mn k imn ik C B A = – будет иметь не 5-й, а 3-й ранг: при однократной свертке ранг понижа- ется на 2. Здесь свертка идет по индексу i. Вспомнив, что повторяющийся индекс означает суммирование, запишем нашу сверт- ку детально: mn k mn k mn k i imn ik imn ik B A B A B A B A B A 3 3 2 2 1 1 + + = = å Здесь видно, каким образом пропадает немой индекс i. Свертка тензора 2-го ранга внутри себя называется следом тензора, специалисты ста- рой школы предпочитают немецкий эквивалент: шпур (Spur). Так квадрат длины i i x x = 2 x это след (шпур) тензора i i i i x x X = . По сути дела это сумма элементов его главной диагонали. Очевидно, что след, как любой скаляр – инвариант. Инвариант тензора Мы знаем, что инвариантом вектора является его длина, выражающаяся через свертку вектора с ковектором. А что с тензором большего ранга? Любой тензор имеет инвариант (скаляр), получающийся сверткой с сопряженным тен- зором. Например, инвариантом тензора второго ранга, дважды контравариантного: ik A – бу- дет, очевидно, выражение: ik ik A A На этом можно бы закончить… Но, ради полной ясности, все-таки распишем, что та- кое двойная свертка. Сначала свертываем, например, по индексу i: k k k k k k ik ik A A A A A A A A 3 3 2 2 1 1 + + = Вторым шагом свертываем по k каждый из трех получившихся членов: ) ( ) ( ) ( 33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ik ik + + + + + + + + = Что полученное громоздкое выражение является инвариантом, ничуть не «очевид- но»… Но мы в этом уверены! Просто потому, что в результате двойной свертки все индексы пропадают. Следовательно, обязан получиться скаляр. Выполнение простых правил оперирования индексами избавляет от трудоемких дока- зательств. Разумеется, инвариантом комбинированного тензора k i A будет величина i k k i A A Метрический тензор Завершив затянувшийся экскурс в общие вопросы, возвращаемся к тому, с чего все началось – к формуле для длины вектора: 3 3 2 2 1 1 2 x x x x x x + + = x (1.3) Сейчас мы умеем записать ее в сокращенном виде: i i x x = 2 x (1.3а) Вспомним теперь, что: 12 k ik i x g x = (1.5) Подставляя в (1.3а), имеем: k i ik x x g = 2 x (1.6) Это общий вид тензорного выражения для длины, использующее контравариантные (естественные) компоненты. Тензор ik g есть метрический тензор пространства. Метрический тензор это как бы правило вычисления длины любого вектора по значениям его компонент. Применительно к (1.5) говорят, что здесь вектор i x свертывается с метрическим тензором и получается век- тор i x . То есть метрический тензор это еще и способ преобразования компонент – от контра- вариантных к ковариантным и наоборот. Теперь для длины вектора мы теперь имеем ряд вариантов (на выбор): i i x x = 2 x ; k i ik x x g = 2 x ; k i ik x x g = 2 x Аналогично для скалярного произведения: i i y x = xy ; k i ik y x g = xy ; k i ik y x g = xy Свойства метрического тензора Мы не утруждали себя вычислением составляющих метрического тензора, и потому кажется, что про их значения ничего сказать нельзя. Но это не так. Во-первых, вспомним, что коэффициенты в выражении для длины мы (из соображе- ний симметрии) вводили так, что ki ik g g = . Вот вам и первое свойство метрического тензора: его матрица симметрична (элементы, симметричные относительно главной диагонали, оди- наковы). Далее, в декартовых координатах 2 3 2 2 2 1 2 ) ( ) ( ) ( x x x + + = x , то есть, между i x и i x нет разницы. Делаем второй вывод: именно здесь метрический тензор выглядит крайне просто: ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ik g (1.7) Члены со смешанными индексами ( ) k i ¹ в выражение для длины не входят. Итак, метрический тензор для случая прямоугольных координат является диагональной матрицей, причем все элементы главной диагонали равны единице. |