Сергей Гаврилов Тензорное исчисление для чайников

• Название: Сергей Гаврилов Тензорное исчисление для чайников
• Дата: 19.05.2019
• Размер: 386.72 Kb.
• Имя файла: tensor_dla_chainikov_2.1.pdf
• Тип: Документы; #77815
• страница: 5 из 5

z, так что окончательно получается:

25
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
=
0 0
0 1
2 1
3 2
3
z
z
z
z
z
z
Z
ik
(3.5)
Сравните с (3.3): перед нами тензор, дуальный вектору z. Любому псевдовектору
можно указать дуальный антисимметричный истинный тензор:
l
ikl
ik
z
e
Z
=
. Дуальный тензор получается здесь истинным потому, что
i
z это компоненты псевдовектора, а не век- тора.
Природа антисимметричного тензора
Интересно, что антисимметричный тензор, если он ненулевой, невозможно записать в виде произведения двух векторов. Действительно, поскольку
0 11
=
Z
, первая компонента хо- тя бы одного из предполагаемых сомножителей должна быть нулевой. Но тогда вся строка или столбец
ik
Z должны целиком заполниться нулями… ну и так далее.
Антисимметричный тензор имеет иную природу. Он может быть представлен, напри- мер, как разность двух произведений:
i
k
k
i
ik
y
x
y
x
Z
-
=
(3.6а)
Вот другой источник получения антисимметричного тензора:
k
i
i
k
ik
x
y
x
y
Z
¶
¶
-
¶
¶
=
(3.6б)
То, что тензоры по (3.6а) и (3.6б) получаются антисимметричными, вполне очевидно.
Антисимметричный 4-тензор
Зная свойства антисимметричного тензора, сконструируем теперь антисимметричный
4-тензор 2-го ранга. Вот его общий вид (с условными буквенными обозначениями):
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
-
-
-
=
0 0
0 0
x
e
g
x
d
b
e
d
a
g
b
a
ik
A
Разобьем тензор на части, как показано штриховыми линиями. И сразу кое-что заме- чаем!
Во-первых, правый нижний квадрат это тоже антисимметричный тензор, только трех- мерный. Запишем его в такой форме:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
0 0
0 1
2 1
3 2
3
a
a
a
a
a
a
(принимая
x
-
=
1
a
,
e
=
2
a
,
d
-
=
2
a
).
Вспомнив (3.5), заключаем, что
3 2
1
,
,
a
a
a
это компоненты некоторого аксиального век- тора а: тензор дуален псевдовектору.
Во-вторых, верхняя и левая части соответствуют некоторому другому (полярному) трехмерному вектору р. Принимая:
a
=
1
p
,
b
=
2
p
,
g
=
3
p
, получаем наш тензор в оконча- тельном виде:

26
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
-
-
-
=
0 0
0 0
1 2
3 1
3 2
2 3
1 3
2 1
a
a
p
a
a
p
a
a
p
p
p
p
A
ik
(3.7)
Антисимметричный вектор нередко записывают в компактном виде:
)
,
( a
p
=
ik
A
(3.8)
– имея в виду, что компоненты
ik
A по сути дела являются просто компонентами тех самых векторов
a
p, .
Примем на веру (просто дабы не отвлекаться), что тот же тензор в ковариантных ком- понентах будет выглядеть:
)
,
(
a
p
-
=
ik
A
(3.8а)
Векторные компоненты антисимметричного 4-тензора
Фокус с нахождением внутри антисимметричного 4-тензора двух трехмерных векто- ров – имеет ли какой-то практический смысл? Да, и это обнаруживается при свертке тензора
ik
A с некоторым 4-вектором
k
x :
k
ik
x
A
. Запишем, например, 0-ю компоненту искомой сверт- ки:
3 3
2 2
1 1
3 03 2
02 1
01 0
00 0
0
x
p
x
p
x
p
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
k
k
+
+
+
=
+
+
+
=
Да ведь это просто скалярное произведение:
px .
(3.8а)
Здесь х – пространственная часть 4-вектора
k
x .
Теперь запишем 1, 2 и 3 компоненты свертки:
3 2
2 3
0 1
3 13 2
12 1
11 0
10 1
0
x
a
x
a
x
p
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
k
k
-
+
+
-
=
+
+
+
=
,
3 2
1 3
0 2
3 23 2
22 1
21 0
20 2
0
x
a
x
a
x
p
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
k
k
+
+
-
-
=
+
+
+
=
,
0 2
2 1
2 0
3 3
33 2
32 1
31 0
30 3
+
-
+
-
=
+
+
+
=
x
a
x
a
x
p
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
k
k
Три строки легко объединить в одну:
]
[
0
ax
p
-
- x
,
(3.8б) где второй член представляет собой векторное произведение.
Итак, результат свертки антисимметричного 4-тензора с 4-вектором удобно рас-
кладывается на два выражения, содержащие трехмерные векторы:
])
[
,
(
0
ax
p
px
-
-
=
x
x
A
k
ik
(3.9)
Это нам пригодится при физической интерпретации 4-мерных выражений.
Не стоит удивляться тому, что в составе истинного тензора обнаружилось векторное произведение. Оно является здесь истинным вектором, а не псевдовектором, поскольку вхо- дящий в него сомножитель а – уже псевдовектор.
Следует отметить также, что векторы р и а не являются пространственными частями каких-либо 4-векторов. Это – векторы относительно только чисто пространственных преоб- разований координат… Но в общем случае 4-мерных поворотов – не преобразуются как век- торы. Они представляют собой как бы (соответственно) временную и пространственную час- ти 4-тензора!

27
4. Тензоры в электродинамике
Теория относительности родилась в значительной мере из проблемы инвариантной записи уравнений электродинамики. Опыт показывает, что электромагнитные явления в лю- бой системе координат совершенно одинаковы, следовательно, инвариантная формулировка законов должна существовать. Первые шаги к этому сделал еще Лоренц. Но проблема ис- черпывающе решена только на базе тензорного аппарата.
Сила Лоренца
Сила, действующая на заряд, находящийся в электромагнитном поле – это предмет бесчисленных опытов по электромагнетизму, прекрасно изученный. С нее мы и начнем.
Уравнение силы Лоренца выглядит так:
]
[vH
E
f
c
e
e
+
=
(4.1)
Здесь векторы Е и Н представляют электрическое и магнитное поля, v – скорость движения заряда величиной е. А квадратные скобки, как и ранее – векторное произведение.
Напомню (хотя предполагается известным), что первый член правой части отображает воздействие на заряженную частицу электрического поля. Второй член – действие магнитно- го поля, проявляющееся только при движении заряда (
0
¹
v
).
Уравнение это выглядит неинвариантным. Действительно, если перейти в систему ко- ординат, в которой заряд покоится, то магнитное поле действовать на него не должно. Но сила-то никуда не девается!
Чтобы подойти к четырехмерной формулировке, заменим векторы силы и скорости – на «пространственные» части, соответственно, 4-силы и 4-скорости. Просто разделим урав- нение (4.1) на
2 2
/
1
c
v
c
-
:
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
-
=
-
H
v
E
f
2 2
2 2
2 2
/
1
/
1 1
/
1
c
v
c
c
e
c
v
c
e
c
v
c
Слева записана теперь пространственная часть 4-силы
ds
d
mc
u
– смотрите (2.9), (2.10).
В крайнем правом члене обнаруживается пространственная часть 4-скорости u (2.6а). А в среднем – временная часть 4-скорости
0
u . Все это дает право записать:
(
) (
)
]
[
]
[
0 0
Hu
E
uH
E
u
-
=
+
=
u
c
e
u
c
e
ds
d
mc
(4.2)
Выражение в скобках напоминает что-то знакомое! Это же (3.8б) – пространственная часть 4-вектора, являющегося произведением некоторого антисимметричного 4-тензора
на 4-вектор
i
u . Обозначим этот (пока неизвестный) тензор:
ik
F .
Тензор поля
Запишем формально уравнение силы Лоренца через 4-тензор – просто по аналогии с
(3.9):
k
ik
i
u
F
c
e
ds
du
mc
=
(4.3)

28
Надо лишь понять структуру антисимметричного тензора
ik
F . Это сделать несложно
– просто сопоставляя (3.8), (3.8б) и (4.2). Очевидно, что в (4.2) роль а выполняет Н, а роль р
– минус Е, так что:
)
,
(
H
E
-
=
ik
F
ik
F называют тензором электромагнитного поля. Сопоставляя с (3.7), можно изобра- зить матричную структуру тензора поля в координатах
z
y
x ,
,
:
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
-
-
-
=
0 0
0 0
x
y
z
x
z
y
y
z
x
z
y
x
ik
H
H
E
H
H
E
H
H
E
E
E
E
F
(4.4)
Если мы убедимся, что (4.3) справедливо (а мы в этом ниже убедимся!)… то выясня- ется, что поле в электродинамике имеет тензорную природу. А представление полей (от- дельно электрического и магнитного) в виде трехмерных векторов допустимо лишь, пока и поскольку мы не переходим в движущуюся систему координат.
Заметим, что тензор:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
0 0
0
x
y
x
z
y
z
H
H
H
H
H
H
– является антисимметричным истинным тензором (как часть истинного тензора).
Однако он дуален вектору Н. Следовательно, вектор магнитного поля это аксиальный
вектор (псевдовектор).
4-сила Лоренца
Пока что запись (4.3) гипотетическая; впрочем, для «пространственной» части
ik
F она уже проверена. Осталось рассмотреть «временную» часть:
k
k
u
F
c
e
ds
du
mc
0 0
=
(4.5)
Временная компонента 4-силы (левая часть уравнения) нам известна – смотрите (2.9).
Она равна
2 2
2
/
1 1
c
v
c
dt
d
-
E
Ну а произведение
k
k
u
F
0
, учитывая антисимметричность
ik
F , мы записываем по ана- логии с (3.8а):
Eu
-
=
k
k
u
F
0
Осталось только выразить 4-скорость через обычную скорость:
2 2
/
1
c
v
c
-
-
=
v
u
Внимание: знак минус получается оттого, что 4-вектор
k
u в (4.5) ковариантен! Как мы знаем, при переходе от контравариантного 4-вектора к ковариантному меняется знак пространст- венной части.
В итоге вместо (4.5) получаем:
2 2
2 2
2
/
1
/
1 1
c
v
c
c
e
c
v
c
dt
d
-
=
-
Ev
E
, или:

29
r
E
Ev
d
e
dt
e
d
=
=
E
Имеем здесь обычное уравнение работы, произведенной силой электрического по-
ля при перемещении заряда на r
d . Напомню, что магнитное поле не производит работы
над зарядом: его сила (по правилу векторного произведения) всегда ортогональна скорости.
Таким образом, временная компонента 4-силы также имеет физический смысл. Зна- чит, представление силы Лоренца в четырехмерной форме правомерно, и отражает реально имеющую место инвариантность явлений.
Инварианты тензора поля
Тензорное представление физических величин полезно тем, что можно легко выявить инварианты, которые отнюдь не лежат на поверхности. Инвариант для тензора поля записы- ваем, как и для любого тензора 2-го ранга:
ik
ik
F
F
. Подобную свертку нам уже доводилось проводить, воспользуемся готовым результатом, подставив значения компонент:
-
+
+
-
+
+
-
-
-
-
=
2 2
2 2
2 2
2 2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
z
y
y
z
x
z
y
x
ik
ik
H
H
E
H
H
E
E
E
E
F
F
)
(
2
)
(
)
(
)
(
2 2
2 2
2
E
H
-
=
+
+
-
x
y
z
H
H
E
Здесь учтено, что для ковариантных компонент:
i
i
E
E
-
=
, а
i
i
H
H
=
– см. (3.8а).
Таким образом, величина
2 2
E
H
- является инвариантом поля.
Из тензора поля можно образовать еще один «инвариант»:
lm
ik
iklm
F
F
e
. Здесь
iklm
e
это совершенно антисимметричный единичный тензор четвертого ранга.
Несложно доказать (мы уже опустим), что в трехмерном виде это приводит к инвари- антности скалярного произведения ЕН.
Инвариантность вытекает из того, что все четыре индекса «сокращаются» при сверт- ке. Правда,
iklm
e
является псевдотензором, так что мы получаем не вполне инвариант: не ска- ляр, а псевдоскаляр. Но его квадрат уже будет настоящим скаляром.
Четырехмерный потенциал
Вернемся к тензору поля. Мы уже знаем: природа антисимметричного тензора такова, что он является разностью двух тензоров, индексы в которых меняются местами. Запишем, следовательно, тензор
ik
F предположительно в таком виде:
k
i
i
k
ik
x
A
x
A
F
¶
¶
-
¶
¶
=
, где А – некоторый 4-вектор. Нам предстоит понять физический смысл этого 4-вектора
(если таковой смысл существует, конечно).
Здесь тензор удобнее будет рассматривать в ковариантных компонентах.
Выразим трехмерный вектор электрического поля Е – он является верхней строкой ковариантного тензора:
k
k
k
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
F
F
F
F
¶
¶
-
¶
¶
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
-
¶
¶
=
=
0 0
3 0
0 3
2 0
0 2
1 0
0 1
03 02 01 0
,
,
)
,
,
(
Запишем его как покомпонентную разность двух векторов:
1) первый:
0 0
3 0
2 0
1
,
,
x
A
x
A
x
A
x
A
k
¶
¶
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
¶
¶
;

30 2) второй:
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
¶
¶
3 0
2 0
1 0
,
,
x
A
x
A
x
A
Вспомнив, что
ct
x
=
0
, первый вектор записываем в трехмерном виде как
dt
c
A
¶
-
1
Знак минус появился за счет ковариантности 4-вектора А.
Ну а второй пункт – это знакомые компоненты градиента скалярного поля. Оконча- тельно записываем в трехмерной форме:
0
grad
1
A
dt
c
-
¶
-
=
A
E
Очевидно, что
0 0
A
A
=
это просто потенциал (скалярный потенциал)
j электрическо- го поля. По аналогии А называют векторным потенциалом, и первый член отражает элек- трическое поле, создаваемое меняющимся во времени магнитным полем.
А потенциал поля в целом является 4-вектором.